函數(shù)的奇偶性1函數(shù)奇偶性的概念①一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).②一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).由奇偶函數(shù)的概念可知道其定義域I是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的.2性質(zhì)①偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱；②奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；③若奇函數(shù)f(x)定義域內(nèi)含有0，則f(0)=0；④在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)(或奇函數(shù))的和(或差)仍是偶函數(shù)(或奇函數(shù))，兩個(gè)偶函數(shù)(或奇函數(shù))的積(或商)是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積(或商)是奇函數(shù)．3判斷函數(shù)奇偶性的方法①定義法先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再求f(-x),看下與f(x)的關(guān)系：若f-x=f(x)，則y=fx是偶函數(shù)；若f-x②數(shù)形結(jié)合若函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)是奇函數(shù)；若函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，則函數(shù)是偶函數(shù).③取特殊值排除法(選擇題)比如：若根據(jù)函數(shù)得到f(1)≠f(-1)，則排除f(x)是偶函數(shù).④性質(zhì)法偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為0)仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的和、差(分母不為0)仍為奇函數(shù)；奇(偶)數(shù)個(gè)奇函數(shù)的積為奇(偶)函數(shù)；兩個(gè)奇函數(shù)的商(分母不為0)為偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)與偶函數(shù)的積為奇函數(shù).對(duì)于復(fù)合函數(shù)Fxg(x)f(x)F偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)【題型一】對(duì)函數(shù)奇偶性概念的理解角度1函數(shù)奇偶性的概念【典題1】已知f(x)=ax2+bx是定義在[a-1,2a]上的偶函數(shù)，那么a+b【解析】依題意得f(-x)=f(x)，∴b=又a-1=-2a(奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)，∴a=13，【典題2】f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，下列結(jié)論中，不正確的是________：13【解析】根據(jù)奇函數(shù)的定義可知f(-x)=-f(x)，則(1)，(2)正確；對(duì)于3，對(duì)于(4)，f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(0)=0,則(4)不正確，故答案為：角度2判斷函數(shù)的奇偶性情況1具體函數(shù)的奇偶性判斷【典題1】函數(shù)f(x)=4-x2|x+3|-3【解析】要使函數(shù)有意義，則4-x2≥0|x+3|-3≠0解得-2<x<0或0<x<2，則定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．此時(shí)x+3=x+3，則函數(shù)fx=4-∵f-x=-∴函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，【點(diǎn)撥】本題利用定義法判斷函數(shù)的奇偶性，首先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這點(diǎn)很重要；情況2抽象函數(shù)的奇偶性判斷【典題1】設(shè)f(x)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是()A.f(x)f(-x)是奇函數(shù)B.f(x)|f(-x)|是奇函數(shù)C.f(x)-f(-x)是奇函數(shù)D.f(x)+f(-x)是奇函數(shù)【解析】方法一定義法A選項(xiàng)：設(shè)F(x)=f(x)f(-x)，則F(-x)=F(x)為偶函數(shù)．B選項(xiàng)：設(shè)G(x)=f(x)|f(-x)|，則G(-x)=f(-x)|f(x)|.∴G(x)與C選項(xiàng)：設(shè)MxD選項(xiàng)：設(shè)N(x)=f(x)＋故選C.方法二取特殊函數(shù)排除法令fx=x，可知Fx=f令fx=x2，可知可知Nx=fx＋【點(diǎn)撥】①判斷函數(shù)的奇偶性，一般利用定義法：先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再求f(-x)，看下與f(②判斷抽象函數(shù)的奇偶性時(shí)，可以通過(guò)“取特殊函數(shù)排除法”.③一般情況下，奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)，偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù).鞏固練習(xí)1(★)下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是()A．y=|x2+x| 【答案】B【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，y=|x2+x|，f(-x)=|對(duì)于B，y=2x，f(-x)=2對(duì)于C，y=x3+x，f(-x)=-(對(duì)于D，y=lgx，是對(duì)數(shù)函數(shù)，不是偶函數(shù)，不符合題意；故選：B．2(★)函數(shù)f(x)=9x+13xA．原點(diǎn) B．y=x C．x軸 D．y軸【答案】D【解析】f(x)=則f(-x)=f(x)，即函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故選：D．3(★★)若函數(shù)f(x)的定義域是R，且對(duì)任意x,y∈R，都有f(x＋y)=f(x)【答案】奇函數(shù)【解析】在fx+y令x=y=0，得f(0+0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0.再令y=－x，則f(x－∴f(－x)=－【題型二】函數(shù)奇偶性的運(yùn)用角度1已知函數(shù)奇偶性，求值問(wèn)題【典題1】設(shè)f(x)為定義上R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=2x+2x+b(b【解析】因?yàn)閒(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)=0?20＋所以當(dāng)x≥0時(shí)，f又因?yàn)閒(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3【點(diǎn)撥】若奇函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)為I，且0∈I，則有f0=0.【典題2】若函數(shù)F(x)=f(x)-2x4是奇函數(shù)，則f-1=【解析】∵函數(shù)F(x)=f(x)-2x∴F(1)+F(-1)=0，即f(1)-2+f(-1)-2=0，則f(1)+f(-1)=4①，∵G(x)=f(x)+(1∴G(1)=G(-1)，即f(1)+12=f(-1)+2，則f(1)-f(-1)=由①-②解得f(-1)=4-角度2判斷函數(shù)的圖像【典題1】函數(shù)f(x)=x32-xA． B． C．D．【解析】函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(-x)=-(或由y=x3,y=2即函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可排除CD；又f1=1故選：B．【點(diǎn)撥】選擇題中判斷函數(shù)的圖像，可采取排除法，主要是研究函數(shù)性質(zhì)(定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性等)、取特殊值等手段進(jìn)行排除選項(xiàng)！其中取特殊值排除法最簡(jiǎn)單.鞏固練習(xí)1(★)若函數(shù)f(x)=2x-a2x+1的圖象關(guān)于【答案】-1【解析】可知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則f(-1)=f(1)，即2-1-a2將a=-1代入解析式驗(yàn)證，符合題意．2(★)已知函數(shù)f(x)=x5-ax3+bx+2，【答案】-13【解析】∵gx∴g(-x)=-gx∵f(-5)=17=g(-5)+2∴g(5)=-15∴f53(★★)已知函數(shù)f(x)=g(x+1)-2x為定義在R上的奇函數(shù)，則g(0)+g(1)+g(2)【答案】72【解析】因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(x)=-f(-x)，特別地，當(dāng)x=0時(shí)，得到f(0)=0．由f(x)=g(x+1)-2x取x=0，所以f(0)=g(1)-1，所以再分別令x=-1和x=1，得f(-1)=g(0)-2-1，兩式相加得f(-1)+f(1)=g(0)-2-1+g(2)-2∴f(0)+g(2)=5所以g(0)+g(1)+g(2)=1+54(★★)函數(shù)f(x)=(3x-1)lnA．B．C． D．【答案】B【題型三】函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合【典題1】已知奇函數(shù)y=f(x)在(-∞,0)為減函數(shù)，且f(2)=0，則不等式(x-1)f(x-1)>0的解集為()A．{x|-3<x<-1} C．{x|-3<x<0【解析】由題意畫(huà)出f(x)的草圖如下，因?yàn)?x-1)f(x-1)>0，所以(x-1)與f(x-1)同號(hào)，由圖象可得-2<x-1<0或0<x-1<2，解得-1<x<1或1<x<3，故選：D．【點(diǎn)撥】涉及到函數(shù)奇偶性和單調(diào)性綜合的題目，多利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行理解，對(duì)每個(gè)條件要等價(jià)轉(zhuǎn)化，做到有根有據(jù)的，不能“想當(dāng)然”.【典題2】設(shè)函數(shù)f(x)=lg(x2+1)，則使得f(3x-2)>f(x-4)成立的x的取值范圍為A．13,1B．【解析】方法一∵f(x)=lg(∴由f(3x-2)>f(x-4)得lg3x-22+1>則3x-22+1>x-42+1方法二根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=lg(x2+1)，其定義域?yàn)橛衒(-x)=lg(x2+1)=f(x)設(shè)t=x2+1在區(qū)間[0,+∞)上，t=x2+1為增函數(shù)且t≥1，y=lgt則f(x)=lg(x2+1)f(3x-2)>f(x-4)?f(|3x-2|)>f(|x-4|)?|3x-2|>|x-4|，解得x<-1或x>32，故選：【點(diǎn)撥】①若函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，則函數(shù)在y軸兩側(cè)的單調(diào)性是相反的，若函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)，則函數(shù)在y軸兩側(cè)的單調(diào)性是相同的，②若函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，在[0,+∞)上遞增，則求解f(x2)>f(x1)③遇到類似f(3x-2)>f(x-4)的函數(shù)不等式，一般都是利用函數(shù)的單調(diào)性處理.鞏固練習(xí)1(★)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在(0,+∞)上單調(diào)遞增的是()A．f(x)=1-x2 C．f(x)=【答案】D【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，y=x2+2x，為二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為x=-1對(duì)于B，y=e|x|=對(duì)于C，y=2x-對(duì)于D，y=1-1g|x|=1-lgx,x>01-lg(-x),x<0，既是偶函數(shù)，又在故選：D．2(★)如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,5]上是減函數(shù)，且最小值為6，那么f(x)在區(qū)間[-5,-1]上是()A．減函數(shù)且最大值為-6 B．增函數(shù)且最大值為C．減函數(shù)且最小值為-6 D．【答案】A【解析】當(dāng)-5≤x≤-1時(shí)1≤-x≤5，∴f(-x)≥6，即-f(x)≥6．從而f(x)≤-6，又奇函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)的對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相同，故f(x)在[-5,-1]是減函數(shù)．故選：A．3(★★)已知函數(shù)f(x)=x3+2x，則不等式f(2x)+f(x-1)>0【答案】(1【解析】函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且函數(shù)f(x)為增函數(shù)，則不等式f(2x)+f(x-1)>0等價(jià)為f(2x)>-f(x-1)=f(1-x)，則2x>1-x，得3x>1，得x>1即不等式的解集為14(★★)已知函數(shù)f(x)=ln|x|+x2，設(shè)a=f(-2),b=f(1),c=f(20.3)【答案】a>c>b【解析】f(x)是偶函數(shù)，且x>0時(shí)遞增，所以f2>f5(★★★)已知f(x)是R上的奇函數(shù)且單調(diào)遞增，則下列函數(shù)是偶函數(shù)且在(0,+∞)上單調(diào)遞增的有.①y=|f(x)|；②y=f(x2