第三章整式及其加減2整式的加減第三章整式及其加減第1課時整式（預(yù)習(xí)教材P81～P82，完成以下練習(xí)）1.

糖果每千克20元，買m

kg需

元；三角形的底和高分別為a和

b，則面積為

?.2.

溫度由t

℃上升5

℃后的溫度是

℃.3.

某種蘋果的售價是每千克x元（x＜10）.用50元買5

kg這種蘋果，應(yīng)

找回

元.20m

（t＋5）

（50－5x）

定義系數(shù)/項次數(shù)單

項

式數(shù)字與字母

的

?叫作

單項式，如：

20m，ab單項式中的

?

因數(shù)叫作系數(shù)，如

20m的系數(shù)是

?單項式中所有

?

的

?叫作單項式

的次數(shù)，如ab的次數(shù)

是

?多

項

式幾個單項式

的

?叫作多

項式，如：t＋

5，50－5x在多項式中，每

個

?叫作多

項式的項，如50－5x

的項有

?一個多項式中，次數(shù)

?

?的次數(shù)叫作這個

多項式的次數(shù)，如50－

5x的次數(shù)是

?乘積

數(shù)字

20

字母

指數(shù)和

2

和

單項式

50，－5x

最

高的項

1

4.

填表：注意：單獨(dú)一個數(shù)或一個字母也是單項式.單項式和多項式統(tǒng)稱為

?

?.整

式

①③⑥

②⑤⑦

①②③⑤⑥⑦

①②⑥⑦

③④⑧

①②③④⑥⑦⑧

【變式1】將下列代數(shù)式歸類.（填序號）知識點(diǎn)2

單項式和多項式的相關(guān)概念【例2】（1）填表：單項式2a2－1.2hxy2－t2－系數(shù)2－1.21－1－次數(shù)21322（2）多項式3a－2a2b－1的項分別是

，該多項式

的次數(shù)是

，常數(shù)項是

，它是

次

項式.

2－1.21－1－213223a，－2a2b，－1

3

－1

三

三

多項式－5a2b＋2ab－b2－2h＋1x3y－7x2y3＋x－5項－5a2b，2ab，－b2－2h，1x3y，－7x2y3，x，－5次數(shù)315

4

π

4

－5a2b，2ab，－b2－2h，1x3y，－7x2y3，x，－5315【變式2】填空：知識點(diǎn)3

列整式表示面積或體積【例3】（北師教材P81“嘗試·思考”改編）一個十字形花壇鋪滿了草

皮，這個花壇草地面積是

，周長是

?.ab－4c2

2（a＋b）

ab＋ac＋bc

【變式3】（北師教材P82“嘗試·思考”改編）填空：課堂歸納：1.

（易錯）單項式的次數(shù)是指所有字母的指數(shù)和，而多項式的次數(shù)是指

次數(shù)最高的項的次數(shù)，并不是所有項的次數(shù)和.2.

多項式的每一項都包括它前面的符號.注意“π”是數(shù)字不是字母.1.

下列各式中，不是整式的是（B

）A.

x－yB.

C.

4xyD.02.

組成多項式2x2－x－3的單項式是下列中的（B

）A.

2x，x，3B.

2x2，－x，－3C.

2x2，x，－3D.

2x2，－x，33.

（易錯題）下列說法中，正確的是（D

）A.

x的系數(shù)是0B.

－

的系數(shù)是－1C.2πr3的系數(shù)是2D.24xyz2是四次單項式4.

已知單項式－2x2ym的次數(shù)為5，則m的值是

?.BBD3

5.

（2025·福州模擬）多項式－2x＋x2y－1的次數(shù)是

?.6.

若關(guān)于x，y

的多項式x2y3＋（a＋7）xy＋5不含二次項，則a＝

??.3

－7

7.

（開放設(shè)題）根據(jù)要求寫出代數(shù)式.（1）請寫出所有系數(shù)是－5，次數(shù)是4，且只含有字母a，b的單項

式：

?；（2）請寫出一個滿足下列條件的四次三項式：①只含有字母x和y；②

含有常數(shù)項；③最高次項的系數(shù)是－1.你寫出的是

?

?.－5ab3，－5a2b2，－5a3b

（答案不唯一）－

xy3－xy＋1

8.

（中考新考法·閱讀理解）歷史上的數(shù)學(xué)巨人歐拉最先把關(guān)于x的多項

式用記號f（x）的形式來表示（f可用其他字母，但不同的字母表示不

同的多項式），例如：f（x）＝x2＋3x－5，把x＝“某數(shù)”時的多項

式的值用f（某數(shù)）來表示，例如：當(dāng)x＝－1時，多項式x2＋3x－5的值

記為f（－1）＝（－1）2＋3×（－1）－5＝－7.已知g（x）＝－2x2－3x＋1，h（x）＝x3＋2x2－a.（1）求g（－2）的值；解：（1）g（－2）＝－2×（－2）2－3×（－2）＋1＝－2×4－3×（－2）＋1＝－8＋6＋1＝－1.解：（1）g（－2）＝－2×（－2）2－3×（－2）＋1＝－2×4－3×（－2）＋1＝－8＋6＋1＝－1.8.

（中考新考法·閱讀理解）歷史上的數(shù)學(xué)巨人歐拉最先把關(guān)于x的多項

式用記號f（x）的形式來表示（f可用其他字母，但不同的字母表示不

同的多項式），例如：f（x）＝x2＋3x－5，把x＝“某數(shù)”時的多項

式的值用f（某數(shù)）來表示，例如：當(dāng)x＝－1時，多項式x2＋3x－5的值

記為f（－1）＝（－1）2＋3×（－1）－5＝－7.已知g（x）＝－2x2－3x＋1，h（x）＝x3＋2x2－a.

第三章整式及其加減第2課時整式的加減（1）——合并同類項（預(yù)習(xí)教材P88～P89，完成以下練習(xí)）利用乘法分配律計算：（1）49×2＋51×2＝（49＋51）×2＝100×2，49×2－51×2＝（49－

51）×2＝－2×2；（2）49x＋51x＝（49＋51

）x＝

，15ab2－9ab2＝

?

＝

?.1.

所含字母

，并且相同字母的指數(shù)也

?的項叫作同類

項.如：49x和51x，15ab2和－9ab2，幾個常數(shù)項也是同類項.2.

把同類項合并成

項，叫作合并同類項.49＋51100x

（15

－9）ab2

6ab2

相同

相同

一

1.

下列是同類項的是（B

）BA.

x3和x2B.

5xy和－yxC.5和mD.

2a和ab2.

合并同類項：（1）2x＋5x＝

＝

?；（2）8m2－5m2＝

＝

?.（2＋5）x

7x

（8－5）m2

3m2

知識點(diǎn)1

判斷同類項【例1】下列是同類項的打“√”，不是的打“×”.（1）ab2和3ab（×）；

（2）3xy和5x（×）；（3）x2和7x2（√）；

（4）7和－1（√）.【變式1】已知－x3yn與3xmy2是同類項，則nm的值是（D

）A.2B.3C.6D.8××√√D知識點(diǎn)2

合并同類項：把同類項的系數(shù)

，字母和字母的指

數(shù)

?.相加

不變

（－2＋5）x

3x

（－2－5）x

－7x

（3－4）mn

－mn

（5＋3）a2

8a2

（12－20）x

－8x

（1＋7－5）x

3x

解：原式＝（3－4）a＋（2－1）b＝－a＋b.

【變式3】合并同類項：（1）3b－3a3＋1＋a3－2b－5；解：原式＝（3－2）b＋（－3＋1）a3＋1－5＝b－2a3－4.解：原式＝（3－2）b＋（－3＋1）a3＋1－5＝b－2a3－4.

知識點(diǎn)3

合并同類項在圖形中的應(yīng)用【例4】（北師教材P93T4）某種T形零件尺寸如圖所示.（1）你能表示出AB的長度嗎？解：（1）AB的長度是2x＋0.5x＝2.5x.解：（1）AB的長度是2x＋0.5x＝2.5x.（2）陰影部分的周長是多少？解：（2）陰影部分的周長是2（y＋x＋x＋0.5x）＋3y×2＝5x＋8y.解：（2）陰影部分的周長是2（y＋x＋x＋0.5x）＋3y×2＝5x＋8y.（3）陰影部分的面積是多少？解：（3）陰影部分的面積是y（2x＋0.5x）＋0.5x×3y＝4xy.解：（3）陰影部分的面積是y（2x＋0.5x）＋0.5x×3y＝4xy.【變式4】（北師教材P83T5）如圖所示，回答下列問題：（1）標(biāo)出未注明的邊的長度；解：（1）如圖所示.

（2）陰影部分的周長是

?；（3）陰影部分的面積是

?；（4）當(dāng)x＝5.5，y＝4時，陰影部分的周長是

，面積是

?.4x＋6y

46

77

1.

（北師教材P89T2改編）下列運(yùn)算正確的是（C

）A.

3a－2a＝1B.

2a＋b＝2abC.

a2b－ba2＝0D.

a＋a2＝a2

C－ab

9.5y2

4mn2

－1

5.

化簡：（1）x－5y＋3y－2x；

解：（1）原式＝（1－2）x＋（－5＋3）y＝－x－2y.（2）4xy－3x2－3xy－2y＋2x2.解：（2）原式＝（4－3）xy＋（－3＋2）x2－2y＝xy－x2－2y.解：（1）原式＝（1－2）x＋（－5＋3）y＝－x－2y.解：（2）原式＝（4－3）xy＋（－3＋2）x2－2y＝xy－x2－2y.

6.（北師教材P89T3）求下列各式的值：（1）8p2－7q＋6q－7p2－7，其中p＝3，q＝3；

解：（1）原式＝（8－7）p2＋（－7＋6）q－7＝p2－q－7.當(dāng)p＝3，q＝3時，原式＝32－3－7＝－1.解：（1）原式＝（8－7）p2＋（－7＋6）q－7＝p2－q－7.當(dāng)p＝3，q＝3時，原式＝32－3－7＝－1.

7.

（中考新考法·新定義閱讀理解）如果整式A與整式B的和為一個數(shù)值

m，我們稱A，B為數(shù)m的“伙伴整式”，例如：x－4和－x＋6為數(shù)2

的“伙伴整式”；2ab＋4和－2ab＋4為數(shù)8的“伙伴整式”.若關(guān)于x的

整式4x2＋kx＋6與－4x2－3x＋k－1為數(shù)n的“伙伴整式”，則n的值

為

?.8

第三章整式及其加減第3課時整式的加減（2）——去括號（預(yù)習(xí)教材P89～P91，完成以下練習(xí)）利用乘法分配律去括號：（1）a＋2（b－1）＝a＋2b－2，a＋3（b－2）＝a＋3b－6.（2）a＋（b－1）＝a＋b－1，a－（b－1）＝a＋（－1）（b－1）

＝a＋（－1）b＋（－1）×（－1）＝a－b＋1.（3）模仿（1）（2）完成下列各題，并觀察去括號前后括號里各項的符

號的變化：①a＋（b＋c）＝

，a＋（b－c）＝

?；②a－（b＋c）＝

，a－（b－c）＝

?.a＋b＋c

a＋b－c

a－b－c

a－b＋c

去括號法則：（1）括號前是“＋”，把括號和它前面的“＋”去掉后，

原括號里各項的符號都

?；（2）括號前是“－”，把括號和它前面的“－”去掉后，原括號里各項

的符號都

?.不變

改變

知識點(diǎn)1

去括號【例1】去括號：（1）x－（y＋5）＝

?；（2）x＋（－y＋z－3）＝

?.【變式1】去括號：（1）m＋（x－n＋1）＝

?；（2）m－（－x＋n－5）＝

?.x－y－5

x－y＋z－3

m＋x－n＋1

m＋x－n＋5

知識點(diǎn)2

整式的加減【例2】（北師教材P90例3改編）化簡下列各式：（1）5a－（a＋2b）；解：原式＝5a－a－2b＝4a－2b.（2）a＋（3a－5b）－（2a－b）.解：原式＝a＋3a－5b－2a＋b＝2a－4b.解：原式＝5a－a－2b＝4a－2b.解：原式＝a＋3a－5b－2a＋b＝2a－4b.【變式2】（北師教材P91T1改編）化簡下列各式：（1）8x－（－3x－5）＝

＝

?；8x＋3x＋5

11x＋5

（2）3x＋（4－x）＝

＝

?；（3）（3x－1）－（2－5x）＝

?＝

?；（4）（－4y＋3）＋（－y－1）＝

?＝

?.2y＋2＝5y＋1.3x＋4－x

2x＋4

3x－1－2＋5x

8x－3

－4y＋3－y－1

－5y＋2

解：原式＝3y－1＋2y＋2＝5y＋1.（2）5x－y－2（x＋3y）.解：原式＝5x－y－2x－6y＝3x－7y.2a2b＝解：原式＝5x－y－2x－6y＝3x－7y.【變式3】化簡：（1）（2x－3y）－5（x＋y）；解：原式＝2x－3y－5x－5y＝－3x－8y.（2）（2a2b－5ab）－2（－ab－a2b）.解：原式＝2a2b－5ab＋2ab＋2a2b＝4a2b－3ab.解：原式＝2x－3y－5x－5y＝－3x－8y.解：原式＝2a2b－5ab＋2ab＋2a2b＝4a2b－3ab.

解：2x2－3x＋1＋（－3x2＋4x－5）＝2x2－3x＋1－3x2＋4x－5＝－x2＋x－4.

1.

（北師教材P91T2改編）下列正確的是（D

）A.3（x＋8）＝3x＋8B.

－（x－6）＝－x－6C.

－a＋b＝－（a＋b）D.

－2（3x＋1）＝－6x－2

D2－4x

6m－n

4.

（北師教材P91改編）一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字為a，個位上的數(shù)字

為b，若交換十位和個位的數(shù)字，得到一個新數(shù).試說明：新舊兩數(shù)的和

是11的倍數(shù).解：原來兩位數(shù)是10a＋b，交換后的兩位數(shù)是10b＋a.兩數(shù)的和為10a＋b＋10b＋a＝11a＋11b＝11（a＋b），∴新舊兩數(shù)的和是11的倍數(shù).解：原來兩位數(shù)是10a＋b，交換后的兩位數(shù)是10b＋a.兩數(shù)的和為10a＋b＋10b＋a＝11a＋11b＝11（a＋b），∴新舊兩數(shù)的和是11的倍數(shù).5.

（分類討論思想）如圖1，有一電腦程序：每按一次按鍵，屏幕A，

B，C三個區(qū)域就會自動出現(xiàn)三個不同的多項式，再按一次按鍵后，屏

幕上出現(xiàn)的式子為任意兩個多項式相加后的結(jié)果，已知按一次按鍵后屏

幕上出現(xiàn)的多項式如圖2所示，請你寫出再按一次鍵后，屏幕上可能會出

現(xiàn)的所有結(jié)果.解：①若相加的多項式為x2＋2x，3x2－2x－6，則x2＋2x＋（3x2－2x－6）＝x2＋2x＋3x2－2x－6＝4x2－6.顯示結(jié)果為4x2－6；②若相加的多項式為x2＋2x，－4x＋1，則x2＋2x＋（－4x＋1）＝x2＋2x－4x＋1＝x2－2x＋1.顯示結(jié)果為x2－2x＋1；解：①若相加的多項式為x2＋2x，3x2－2x－6，則x2＋2x＋（3x2－2x－6）＝x2＋2x＋3x2－2x－6＝4x2－6.顯示結(jié)果為4x2－6；②若相加的多項式為x2＋2x，－4x＋1，則x2＋2x＋（－4x＋1）＝x2＋2x－4x＋1＝x2－2x＋1.顯示結(jié)果為x2－2x＋1；③若相加的多項式為3x2－2x－6，－4x＋1，則3x2－2x－6＋（－4x＋1）＝3x2－2x－6－4x＋1＝3x2－6x－5.顯示結(jié)果為3x2－6x－5.綜上所述，屏幕上可能會出現(xiàn)的結(jié)果為4x2－6或x2－2x＋1或3x2－6x－5.③若相加的多項式為3x2－2x－6，－4x＋1，則3x2－2x－6＋（－4x＋1）＝3x2－2x－6－4x＋1＝3x2－6x－5.顯示結(jié)果為3x2－6x－5.綜上所述，屏幕上可能會出現(xiàn)的結(jié)果為4x2－6或x2－2x＋1或3x2－6x－5.第三章整式及其加減第4課時求代數(shù)式的值

3

1

4

化簡

解：原式＝－x2＋3x＋4.

解：原式＝7x2－2y2.當(dāng)x＝1，y＝－2時，原式＝7×12－2×（－2）2＝－1.

＝－3x＋y2.

當(dāng)x＝－1，y＝5時，原式＝5－5×（－1）2＝0.知識點(diǎn)3

化簡求值——整體思想【例3】（原創(chuàng)）（1）若3a2－a＝2，則6a2－2a＝

?；（2）已知x2＋2x＝3，求代數(shù)式3x2－2x＋8（x－1）的值.解：（2）原式＝3x2－2x＋8x－8＝3x2＋6x－8＝3（x2＋2x）－8.當(dāng)x2＋2x＝3時，原式＝3×3－8＝1.4

解：（2）原式＝3x2－2x＋8x－8＝3x2＋6x－8＝3（x2＋2x）－8.當(dāng)x2＋2x＝3時，原式＝3×3－8＝1.【變式3】（1）已知a－2b－2＝1，則2a－4b－5的值是

?；1

（2）已知m2－4m＝－5，求代數(shù)式3（m2－2m）－（m2＋2m）＋1

的值.解：原式＝3m2－6m－m2－2m＋1＝2m2－8m＋1＝2（m2－4m）＋1.當(dāng)m2－4m＝－5時，原式＝2×（－5）＋1＝－9.解：原式＝3m2－6m－m2－2m＋1＝2m2－8m＋1＝2（m2－4m）＋1.當(dāng)m2－4m＝－5時，原式＝2×（－5）＋1＝－9.1.

已知x－2y＋3＝8，則整式x－2y的值為（A

）A.5B.10C.12D.152.

已知a2－3a－5＝0，則代數(shù)式2a2－6a＋1的值為

?.3.

已知a－b＝5，c＋d＝－6，則（a－c）－（b＋d）的值為

（D

）A.

－1B.1C.

－11D.11A11

D

解：原式＝5x2－（2xy＋xy－6＋5x2）＝5x2－2xy－xy＋6－5x2＝－

3xy＋6.當(dāng)x＝－3，y＝2時，原式＝－3×（－3）×2＋6＝24.

解：原式＝2x2－x2y－2xy＋2xy－2x2＝－x2y.∵｜x－3｜＋（y＋2）2＝0，∴x－3＝0，y＋2＝0，即x＝3，y＝－2.∴原式＝－32×（－2）＝18.6.

（2025·唐山二模）如圖，嘉淇將一正方形紙片ABCD裁剪成①，②，

③，④四塊，其中①～③是三塊小長方形，④是一塊小正方形.若已知長

方形②和③的周長和為20，則正方形ABCD與正方形④的周長和為

（D

）A.20B.30C.35D.40D第三章整式及其加減第5課時整式的加減的實際應(yīng)用（預(yù)習(xí)教材，完成以下練習(xí)）一種筆記本的單價是x元，圓珠筆的單價是y元，小紅買這種筆記本3

本，買圓珠筆2支；小明買這種筆記本4本，買圓珠筆3支.小明比小紅多

花費(fèi)多少錢？解：小紅共花費(fèi)（3x＋2y）元，小明共花費(fèi)（4x＋3y）元.小明比小紅多花費(fèi)（4x＋3y）－（3x＋2y）＝4x＋3y－3x－2y＝

（x＋y）（元）.解：小紅共花費(fèi)（3x＋2y）元，小明共花費(fèi)（4x＋3y）元.小明比小紅多花費(fèi)（4x＋3y）－（3x＋2y）＝4x＋3y－3x－2y＝

（x＋y）（元）.知識點(diǎn)1

整式的加減在順?biāo)?、逆水中的?yīng)用【例1】兩船從同一港口同時出發(fā)反向而行，甲船順?biāo)?，乙船逆水，兩?/p>

在靜水中的速度都是50

km/h，水流速度是a

km/h.（1）2

h后兩船相距多遠(yuǎn)？（1）2

h后兩船相距2（50＋a）＋2（50－a）＝100＋2a＋100－2a＝

200（km）.（1）2

h后兩船相距2（50＋a）＋2（50－a）＝100＋2a＋100－2a＝

200（km）.（2）2

h后甲船比乙船多航行多少千米？水速＝（50－a）（km/h）.解：順?biāo)剿伲酱伲伲剑?0＋a）（km/h）.逆水航速＝船速－水速＝（50－a）（km/h）.解：（2）2

h后甲船比乙船多航行2（50＋a）－2（50－a）＝100＋2a－100＋2a＝4a（km）.【變式1】飛機(jī)的無風(fēng)航速為a

km/h，風(fēng)速為20

km/h，飛機(jī)順風(fēng)飛行4

h

的行程是多少？飛機(jī)逆風(fēng)飛行3

h的行程是多少？兩個行程相差多少？解：飛機(jī)順風(fēng)飛行4

h的行程是4（a＋20）＝（4a＋80）（km）.飛機(jī)逆風(fēng)飛行3

h的行程是3（a－20）＝（3a－60）（km）.兩個行程相差（4a＋80）－（3a

－60）

＝4a＋80

－

3a＋60

＝（a＋

140）（km）.知識點(diǎn)2

整式的加減在幾何圖形中的應(yīng)用【例2】做大、小兩個長方體紙盒，尺寸如下（單位：cm）：長寬高小紙盒abc大紙盒1.5a2b2c（1）做這兩個紙盒共用料多少平方厘米？（1）做這兩個紙盒共用料（2ab＋2bc＋2ca）＋（6ab＋8bc＋6ca）＝2ab＋2bc＋2ca＋6ab＋8bc＋6ca＝（8ab＋10bc＋8ca）（cm2）.解：小紙盒的表面積是（2ab＋2bc＋2ca）cm2，大紙盒的表面積是（6ab＋8bc＋6ca）cm2.（2）做大紙盒比做小紙盒多用料多少平方厘米？解：小紙盒的表面積是（2ab＋2bc＋2ca）cm2，大紙盒的表面積是（6ab＋8bc＋6ca）cm2.【例2】做大、小兩個長方體紙盒，尺寸如下（單位：cm）：（2）做大紙盒比做小紙盒多用料（6ab＋8bc＋6ca）－（2ab＋2bc＋2ca）＝6ab＋8bc＋6ca－2ab－2bc－2ca＝（4ab＋6bc＋4ca）（cm2）.解：（2）做大紙盒比做小紙盒多用料（6ab＋8bc＋6ca）－（2ab＋2bc＋2ca）＝6ab＋8bc＋6ca－2ab－2bc－2ca＝（4ab＋6bc＋4ca）（cm2）.

解：（1）窗戶的面積為

（2）窗戶的外框的總長.解：（2）窗戶的外框的總長為πa＋2a×3＝（πa＋6a）（cm）.解：（2）窗戶的外框的總長為πa＋2a×3＝（πa＋6a）（cm）.課堂歸納：1.

多項式作為一個整體，必須加了括號才能參與運(yùn)算.2.

在幾何圖形、分段收費(fèi)、方案選擇問題上的應(yīng)用是本章的重點(diǎn)，要熟

練掌握方法.1.

某地居民的生活用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：每月用水量不超過15

m3，每立方米a

元，超過部分每立方米（a＋2）元，若該地區(qū)某家庭上月用水量為20

m3，則應(yīng)繳水費(fèi)