重難點(diǎn)專題45離散型隨機(jī)變量及其分布列十四大題型匯總

01內(nèi)容i

題型1普通型.....................................................................1

題型2競(jìng)賽（游戲）型.............................................................7

題型3一人比賽（測(cè)試）型........................................................17

題型4兩人比賽賽制型............................................................26

題型5兩隊(duì)比賽型................................................................35

題型6三人比賽型................................................................43

題型7摸球型....................................................................52

題型8藥物相關(guān)型................................................................60

題型9商品利潤(rùn)型................................................................68

題型10頻率分布圖型.............................................................75

題型11分布表型.................................................................83

題型12折線圖型.................................................................95

題型13導(dǎo)數(shù)型..................................................................104

題型14數(shù)列型..................................................................113

題型1普通型

【例題11（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）“英才計(jì)劃”最早開(kāi)始于2013年，由中國(guó)科協(xié)、教

育部共同組織實(shí)施，到2022年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學(xué)生，為選拔

培養(yǎng)對(duì)象，某高校在暑假期間從武漢市的中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、信息

技術(shù)學(xué)科夏令營(yíng)活動(dòng).若化學(xué)組的12名學(xué)員中恰有5人來(lái)自同一中學(xué)，從這12名學(xué)員中

選取3人，《表示選取的人中來(lái)自該中學(xué)的人數(shù),求《的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】分布列見(jiàn)解析，E（f）=；

【分析】求出f的的可能取值及其對(duì)應(yīng)的概率，即可求出隨機(jī)變量6的分布列，再由期望公式

求解即RJ得出答案.

【詳解】由題意可知f的可能取值有0、1、2、3,

「（1=。）=卷=&%=】）=器短，

第1頁(yè)共150頁(yè)

%=2)=要=?抬=3)=魯=/

所以，隨機(jī)變量《的分布列如下表所示：

【變式1-1]1.(2023上遼寧?高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中)某職稱考試有A,B兩門(mén)課

程，每年每門(mén)課程均分別有一次考試機(jī)會(huì)，若某門(mén)課程上一年通過(guò)，則下一年不再參加該科

考試，只要在連續(xù)兩年內(nèi)兩門(mén)課程均通過(guò)就能獲得該職稱.某考生準(zhǔn)備今年兩門(mén)課程全部參

加考試，預(yù)測(cè)每門(mén)課程今年通過(guò)的概率均為楙；若兩門(mén)均沒(méi)有通過(guò)，則明年每門(mén)課程通過(guò)的

概率均為:;若只有一門(mén)沒(méi)過(guò)，則明年這門(mén)課程通過(guò)的概率為，

34

(1)求該考生兩年內(nèi)可獲得該職稱的概率;

(2)設(shè)該考生兩年內(nèi)參加考試的次數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【答案】⑴,

(2)答案見(jiàn)解析

【分析】(1)設(shè)該考生兩年內(nèi)可獲得該職稱的事件為4,計(jì)算概率得到答案.

(2)X的可能取值為2,3,4,計(jì)算概率得到分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可.

【詳解】(1)設(shè)該考生兩年內(nèi)可獲得該職稱的事件為4,

PM)=^xi+(l-i)x(l-l)x2x1+2x(l-i)xlx^=^;

(2)X的可能取值為2,3,4.

P(X=2)十鴻；

P(X=3)=1x(l-1)x2=i；

第2頁(yè)共150頁(yè)

P(X=4)=(l-l)x(l-l)=l;

X的分布列為：

數(shù)學(xué)期望為E(X)=2x：+3x打4x；=3.

424

【變式1-1]2.(2023上云南昆明?高三昆明一中?？茧A段練習(xí))某同學(xué)進(jìn)行投籃訓(xùn)練，

已知該同學(xué)每次投籃投中的概率均為;.

(1)求該同學(xué)進(jìn)行三次投籃恰好有兩次投中的概率；

(2)若該同學(xué)進(jìn)行三次投籃，第一次投中得1分，第二次投中得1分，第三次投中得2分，

記X為三次總得分，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【答案】⑴3

(2)分布列見(jiàn)解析，2

【分析】(1)應(yīng)用獨(dú)立事件概率乘積公式計(jì)算即可；

(2)應(yīng)用獨(dú)立事件概率乘積公式結(jié)合對(duì)立事件的概率公式計(jì)算概率，寫(xiě)出分布列計(jì)算數(shù)學(xué)

期望即得；

【詳解】(1)記該同學(xué)進(jìn)行三次投籃恰好有兩次投中為事件"歹，

則P(B)=

、)2222222228

(2)設(shè)事件4，42)3分別表示第一次投中，第二次投中，第三次投中，

根據(jù)題意可知X=0,1,2,34

故P(X=0)=P(4)P(/)P(A3)=

o

P(X=1)=P(4)P(才2)P(33)+P(才1)P(公)P(/3)=；，

P(X=2)=P(4I)P(A2)P(才3)+P(A)P(才2)P(&)=\

第3頁(yè)共150頁(yè)

P(x=3)=P(4i)P(/)P(&)+P(4I)P(&)PQ43)=；，

P(X=4)=PG4I)P(A2)P(%)=；X；X；=I-

4^ZZo

所以于X的分布列為：

X01234

11111

P

84448

X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0x1+lx；+2x；+3x；+4xl=2

04440

【變式1-1]3.(2023上?湖南邵陽(yáng)?高三統(tǒng)考期中)某公司有A,B,C型三輛新能源電動(dòng)

汽車參加陽(yáng)光保險(xiǎn)，每輛車需要向陽(yáng)光保瞼繳納800元的保險(xiǎn)金，若在一年內(nèi)出現(xiàn)事故每

輛車可賠8000元的賠償金(假設(shè)每輛車每年最多賠償一次).設(shè)4B,C型三輛車一年內(nèi)發(fā)生

事故的概率分別為白，士,g且每輛車是否發(fā)生事故相互獨(dú)立.

Q)求該公司獲賠的概率；

(2)設(shè)獲賠金額為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】⑴：

4

(2)分布列見(jiàn)解析，等

【分析】(1)由每輛車發(fā)生事故相互獨(dú)立，可通過(guò)對(duì)立事件的概率計(jì)算即可；

(2)由題意可得獲賠金額可能為0,8000,16000,24000元，分別計(jì)算出概率,列出分

布列，求出期望即可.

【詳解】(1)設(shè)該公司獲賠的概率為P(D),

則P(D)=1-P(A)P(B)P(C)=l-(l-^)x(l-^)x(l-^)=i

(2)由題意可知:X=0,8000,16000,24000.

則P(X=0)=P(A)P(B)P(C)=(1-^)x(1-^)x(1-^)=^;

第4頁(yè)共150頁(yè)

P(X=24000)=P(4)P(B)P(C)=?,嗎=焉；

JLUJLJLJL/JLJ4U

P(X=16000)=P(4)P(B)P?+P(4)P(8)P(C)+P(才)P(B)P(C)

=^x7rx(1-n)+^x(1"n)xn+(1-^)xnxn=7H;

?7□1OQQ

P(X=8000)=1--------=—.

',413213201320

X080001600024000

329931

P

413201321320

E(X)=0x：+8000x噩+16000x總+24000x點(diǎn)二安?

【變式1-1]4.(2023上?江蘇南通?高三統(tǒng)考期中)2023年9月25日，在富陽(yáng)銀湖體育

中心舉行的杭州亞運(yùn)會(huì)射擊項(xiàng)目男子25米手槍速射團(tuán)體決賽中，中國(guó)隊(duì)以1765環(huán)的總成

績(jī)擊敗韓國(guó)隊(duì)奪得冠軍，并打破世界記錄.現(xiàn)已知男子25米手槍速射決賽規(guī)則如下：取資

格賽前6名選手進(jìn)入決賽，5發(fā)子彈為一組，每發(fā)子彈9.7環(huán)以上得1分，否則得0分.若

進(jìn)入決賽的每位選手每組能得5分與4分概率分別為0.6,0.4.

(1)求某位進(jìn)入決賽的選手三組射擊后得分為14分的概率;

(2)設(shè)某位進(jìn)入決賽的選手三組射擊后得分為隨機(jī)變量S，求隨機(jī)變量S的分布列與期望.

【答案】Q)黑

(2)分布列見(jiàn)解析，f

【分析】(1)根據(jù)獨(dú)立重復(fù)事件的概率公式即可求解.

(2)根據(jù)獨(dú)立事件概率公式求解概率，即可列分布列，由期望公式求解期望即可.

【詳解】(1)"某位進(jìn)入決賽的選手三組射擊后得分為14分"記事件A,

所以P⑷=C塞㈠希

答：某位進(jìn)入決賽的選手三組射擊后得分為14分的概率為二

第5頁(yè)共150頁(yè)

(2)隨機(jī)變量6的可能取值為12,13,14,15,

P*=12)=竊=嚷;P(”13)=￡(|)2xX卷;

P(…4)=洸)*=哉〃=均=目=獲

所以隨機(jī)變量6的分布表為：

【變式1-1]5.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))某獵人發(fā)現(xiàn)在距離他100米處的位置有一只獵

物，如果直接射擊，則只射擊一次就擊中獵物的概率為|,為了有更大的概率擊中獵物，獵

人準(zhǔn)備多次射擊.假設(shè)每次射擊結(jié)果之間相互獨(dú)立，獵人每次英擊擊中獵物的概率與他和獵

物之間的距離成反比.如果獵人第一次射擊沒(méi)有擊中藥物，則獵人經(jīng)過(guò)調(diào)整后進(jìn)行第二次射

擊，但由于獵物受到驚嚇奔跑，使得第二次射擊時(shí)獵物和他之間的距離增加了50米；如果

第二次射擊仍然沒(méi)有擊中獵物,則第三次射擊時(shí)獵物和他之間的距離又增加了50米，如此

進(jìn)行下去，每次射擊如果沒(méi)有擊中，則下一次射擊時(shí)獵物和他之間的距離都會(huì)增加50米,

當(dāng)獵人擊中獵物或發(fā)現(xiàn)下次射擊擊中的概率小于;時(shí)就停止射擊，求獵人停止射擊時(shí)射擊次

數(shù)的概率分布列與數(shù)學(xué)期望.

【答案】分布列見(jiàn)解析，魯

【分析】設(shè)第i次射擊擊中獵物的概率為Pi,獵人和獵物之間的距離為由根據(jù)題求得k=60,

求得歷=y彳導(dǎo)出隨機(jī)變量X的所有取值，結(jié)合相互對(duì)立事件的概率公式，求得相應(yīng)的概率，

ai

列出分布列，利用期望的公式求得數(shù)學(xué)期望.

【詳解】解：因?yàn)楂C人每次射擊擊中獵物的概率與他和獵物之間的距離成反比，

設(shè)第i次射擊擊中獵物的概率為P《eNx),獵人和獵物之間的距離為山(i6N-),

第6頁(yè)共150頁(yè)

則Pi=7(k為常數(shù)iGN*),因?yàn)镻i=1心=100,所以k=p-dj=60,

ai5x

mii60uui'i602603606

則Pi=￡,所以22=石=孑"3=麗=而，24=京=五?

當(dāng)年5時(shí)，PT黑停止射擊.

設(shè)獵人的射擊次數(shù)為X,則X的所有取值為1,2,3,4,

可得P(X=1)=1,P(X=2)=(l-|)x1=^f

P(X=3)=(1)X(IV)X和展，蛇=4)=(一%(】_?(]弋卜蚩

所以隨機(jī)變量X的分布列為：

X1234

34921

P

525125125

所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=ix[+2x卷+3x治+4乂熬=賓

題型2競(jìng)賽(游戲)型

【例題21(2023上?北京?高三北京市第三十五中學(xué)?？计谥?某校舉辦知識(shí)競(jìng)賽，已知學(xué)

生甲是否做對(duì)每個(gè)題目相互獨(dú)立，做對(duì)A,B,C三道題目的概率以及做對(duì)時(shí)獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)

金如表所示.規(guī)則如下：按照A,B,C的順序做題，只有做對(duì)當(dāng)前題目才有資格做下一題.

題目ABC

311

做對(duì)的概率

424

獲得的獎(jiǎng)金/元3264128

[注：甲最終獲得的獎(jiǎng)金為答對(duì)的題目相對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)金總和.]

(1)求甲沒(méi)有獲得獎(jiǎng)金的概率；

(2)求甲最終獲得的獎(jiǎng)金X的分布列及期望；

(3)如果改變做題的順序，最終獲得的獎(jiǎng)金期望是否相同？如果不同，你認(rèn)為哪個(gè)順序最終

第7頁(yè)共150頁(yè)

獲得的獎(jiǎng)金期望最大？(不需要具體計(jì)算過(guò)程，只需給出判斷)

【答案】⑴：

4

(2)分布列見(jiàn)解析，60

(3)不同，按照A,B,C的順序獲得獎(jiǎng)金的期望最大.

【分析】(1)即甲4題沒(méi)有答對(duì)；

(2)由相互獨(dú)立事件概率乘;去公式計(jì)算概率，后可得分布列，由期望公式可得均值；

(3)分別求出每種順序的期望,然后比較可知.

【詳解】(1)甲沒(méi)有獲得獎(jiǎng)金為事件M,則P(M)=1-;

(2)分別用A,B,C表示做對(duì)題目A,B,C的事件，貝!JA,B,C相互獨(dú)立.

由題意，X的可能取值為0,32,96,224.

P(X=0)=P(3)=；;

P(X=32)=P(/IF)=|x|=|;

P(X=96)=PG48G=：x那=/

P(X=224)=P(ABC)」三號(hào),

所以甲最終獲得的獎(jiǎng)金X的分布列為

X03296224

393

P1

483232

E(X)=0xl+32x1+96x^+224x^=60.

(3)按照AC,B順序：

P(X=0)=P0)=J

P(X=32)=P(而)="詈，

第8頁(yè)共150頁(yè)

P(x=160)=P(/1CF)=|xlx|=^,

,、，.3113

產(chǎn)(X=224)=PQ4CB)=-x-x-=—

**乙D乙

所以甲獲得的獎(jiǎng)金X的分布列為

X032160224

1933

P

4163232

E(X)=0x：+32x白+160x焉+224x義=54按照B,4,C|l?￥：

P(X=0)=P⑻=J

P(X=64)=P(8可=：x；=]

P(X=96)=P(BAC)=Jx川=》

,、，、1313

P(X=224)=P(BAC)=-x-x-=—

乙11。乙

所以甲獲得的獎(jiǎng)金X的分布列為

X06496224

1193

P

283232

E(X)=56按照8,C,A順序:

P(X=0)=P⑻=1,

P(X=64)=P(呵=*1

P(X=192)=P^BCA)=|x1xi=^,

,、，、1133

P(X=224)=P(BCA)=-x-x-=—

24432

所以甲獲得的獎(jiǎng)金X的分布列為

X064192224

第9頁(yè)共150頁(yè)

1313

P

283232

￡。)=51按照。48順序：

P(X=0)=P(C)=；,

P(X=128)=P(CR=：X：=?

P(.X=160)=P(C力豆)=|x|xi=^,

,、，、1313

P(X=224)=P(CAB)=-x-x-=—

?I,乙。乙

所以甲獲得的獎(jiǎng)金X的分布列為

X0128160224

3133

P

4163232

￡。)=44按照。,8,4順序：

P(X=0)=P(C)=I,

P(X=128)=P(CF)=ix1=i,

網(wǎng)

P(X=192)=P(C=ix1xi=^f

/、，、1133

P(X=224)=P(CBA)=-x-x-=—

■乙i,o乙

【變式2-1]1.（2023?江西景德鎮(zhèn)?統(tǒng)考一模）某娛樂(lè)節(jié)目闖關(guān)游戲共有三關(guān)，游戲規(guī)則如

下，選手依次參加第一，二，三關(guān)，闖關(guān)成功可獲得的獎(jiǎng)金分別為1000元、2000元、3000

第10頁(yè)共150頁(yè)

元.獎(jiǎng)金可累加，若某關(guān)闖關(guān)成功，選手可以選擇結(jié)束闖關(guān)游戲并獲得相應(yīng)獎(jiǎng)金，也可以選

擇繼續(xù)闖關(guān)，若有任何一關(guān)闖關(guān)失敗，則連同前面所得獎(jiǎng)金全部歸零，闖關(guān)游戲結(jié)束.選手

小劉參加闖關(guān)游戲，已知他第一，二，三關(guān)闖關(guān)成功的概率分別為1;，1.第一關(guān)闖關(guān)成功

543

選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率為g,第二關(guān)闖關(guān)成功選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率為I,且每關(guān)闖關(guān)成功與否互

不影響.

(1)求小劉第一關(guān)闖關(guān)成功，但所得總獎(jiǎng)金為零的概率;

(2)設(shè)小劉所得獎(jiǎng)金為X,求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【答案】⑴急；

⑵分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為1544元.

【分析】(1)利用獨(dú)立事件乘法及互斥事件加法求小劉第一關(guān)闖關(guān)成功，但所得總獎(jiǎng)金為

零的概率；

(2)首先確定可能X=(),10C0.3000,6000,應(yīng)用乘法公式、加法公式求對(duì)應(yīng)概率，寫(xiě)出分

布列，進(jìn)而求期望即可.

【洋解】(1)由題意，要使小劉第一關(guān)闖關(guān)成功,但所得總獎(jiǎng)金為零，

選擇闖第二關(guān)且失敗，或選擇闖第二關(guān)且成功，又選擇闖第三關(guān)且失敗，

所以小劉第一關(guān)闖關(guān)成功，但所得總獎(jiǎng)金為零的概率P=gx：x：+gx(x；x;x2=焉

55455453125

(2)由題意,X=0,1000,3000,6000,且P(X=。)="我=趣，

P(X=1000)=ix1=A,P1：X=3000)=lx|x^x|=^.

P(X=6000)=1x|x|x|x|=^/

X的分布列如下：

X0100030006000

第11頁(yè)共150頁(yè)

4682712

P

12525125125

E(X)=0x黑+1000x^+3000x名+6000x=1544元.

【變式2-1]2.(2023?河南新鄉(xiāng)?統(tǒng)考一模)某闖關(guān)游戲共設(shè)置4道題，參加比賽的選手

從第1題開(kāi)始答題，一旦答錯(cuò)則停止答題，否則繼續(xù)，直到答完所有題目.設(shè)選手甲答對(duì)

第1題的概率為',甲答對(duì)題序?yàn)閕的題目的概率*=7,/e11,234},各題回答IF確與否相

互之間沒(méi)有影響.

(1)若甲已經(jīng)答對(duì)了前3題，求甲答對(duì)第4題的概率；

(2)求甲停止答題時(shí)答對(duì)題目數(shù)量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【答案】⑴：

D

(2)分布列見(jiàn)解析，期望為鬻

【分析】(1)根據(jù)題意，得到Pi=7,進(jìn)而求得甲答對(duì)第4題的概率；

(2)根據(jù)題意，得到X可取0,1,234,取得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望的公式，即

可求解.

【詳解】(1)解：因?yàn)檫x手甲答對(duì)第1題的概率為彳，所以k=，即m=熱，

JJ

所以若甲已經(jīng)答對(duì)了前3題，則甲答對(duì)第4題的概率為5.

O

(2)解：由題意得P[=,P2=]P3=/P4=3.

隨機(jī)變量X可取0,1,234,

貝UP(X=0)=[P(X=l)=：xg=lP(X=2)="：x：=$

p(X=3)=-xix-x-=—,P(X=4)=-x-x-xi=—.

',3396243''73396243

所以隨機(jī)變量X分布列如下：

第12頁(yè)共150頁(yè)

X01234

1414102

rP

3981243243

所以￡（X）=0x1+lx^+2x^+3x^-+4x—=

73981243243243

【變式2-1]3.（2023上廣東佛山?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在十一黃金周期間，某商場(chǎng)規(guī)定

單次消費(fèi)超過(guò)500元的顧客可參與如下的游戲.活動(dòng)規(guī)則如下：現(xiàn)有甲，乙，丙三個(gè)游戲，

每位參與者從中隨機(jī)選擇一個(gè)游戲，若不通過(guò)，則游戲結(jié)束，若通過(guò)，則再?gòu)氖Ｏ碌膬蓚€(gè)游

戲中隨機(jī)選擇一個(gè)游戲，若不通過(guò)，則游戲結(jié)束，若通過(guò),則再進(jìn)行最后一個(gè)游戲，最后一

個(gè)游戲無(wú)論是否通過(guò)都結(jié)束游戲.每通過(guò)一個(gè)游戲都可獲得對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)金，且參與游戲的111頁(yè)序

由顧客確定，顧客是否通過(guò)每個(gè)游戲相互獨(dú)立，已知通過(guò)游戲的概率以及獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)金如

下表所示

游戲甲乙丙

通過(guò)的概率0.80.60.4

獲得的獎(jiǎng)金金額/元100200300

Q）求參與游戲的顧客沒(méi)有獲得獎(jiǎng)金的概率；

（2）現(xiàn)有王先生、李先生兩名顧客分別以甲一乙一丙、丙一乙一甲的順序進(jìn)行游戲，請(qǐng)問(wèn)哪

位顧客獲得獎(jiǎng)金的期望值較大？

【答案】（1）0.4

⑵王先生獲得獎(jiǎng)金的期望值較大

【分析】（1）利用條件概率與全概率公式計(jì)算即可；

（2）利用離散型隨機(jī)變量的分布列及期望公式計(jì)算即可.

第13頁(yè)共150頁(yè)

【詳解】(1)設(shè)顧客選擇甲，乙，丙作為第一個(gè)游戲分別為事件4,G；

設(shè)顧客通過(guò)游戲甲，乙,丙分別為事件A,BC,

顧客沒(méi)有獲得獎(jiǎng)金等價(jià)于顧客一個(gè)游戲也沒(méi)有通過(guò)，設(shè)此事件為事件M,

由已知得P(4)=P(BJ=P(CJ=；,P(川4)=0.8,P(B|Bi)=0.6,P(C|G)=0.4,

J

由全概率公式得：

P(M)=P(4)P(7|4)+p(&)p(^&)+P(G)P?G)

=1x(1-0.8)+1x(l-0.6)4-1x(l-0.4)=0.4

(2)設(shè)王先生獲得獎(jiǎng)金總額為X,按甲一乙一丙的順序進(jìn)行，

則X的可能取值有0,100,300,600,

P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=100)=0.8x(1-0.6)=0.32,

P(X=300)=0.8x0.6x(1-0.4)=0.288,P(X=600)=0.3x0.6x0.4=0.192

概率分布表為：

X010030060C

P0.20.320.2880.192

E(X)=0x0.2+100x0.32+300x0.200+600x0.192=233.6元，

同理，設(shè)李先生獲得獎(jiǎng)金總額為y,按丙一乙一甲的順序進(jìn)行，

則y的可能取值有0,300,500,600,

p(Y=0)=1-0.4=0.6,P(Y=300)=0.4x(1-0.6)=0.16,

P(y=500)=0.4x0.6x(l-0.8)=0.048,P(Y=600)=0.4x0,6x0.8=0.192,

概率分布表為：

Y0300500600

第14頁(yè)共150頁(yè)

P0.60.160.0480.192

獲得獎(jiǎng)金金額的均值為￡(丫)=0x0.6+300x0.16+500x0.048+600x0.192=187.2

元.

綜上可知王先生獲得獎(jiǎng)金的期望值較大.

【變式2-1]4.(2023上?內(nèi)川?高二重慶第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥?重慶市第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)

校在83周年校慶時(shí)組織了“校史"知識(shí)競(jìng)賽，有4B兩類問(wèn)題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩

類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正

確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類

問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得40分，否則得0分；B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得60

分，否則得0分.已知小王同學(xué)能正確回答A類問(wèn)題的概率為0.7,能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題的

概率為0.5,且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).

(1)若小王先回答A類問(wèn)題，記X為小王的累計(jì)得分，求X的分布列；

(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小王應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由.

【答案】Q)分布列見(jiàn)解析

(2)A類，理由見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)題意得到P(X=0)=0.3,P(X=40)=0.35,P(X=40)=0.35,再列

出分布列即可.

(2)分別算出數(shù)學(xué)期望，再比較即可得到答案.

【詳解】(1)因?yàn)镻(X=0)=1-0.7=0.3,P(X=40)=0.7x0.5=0.35,P(X=100)=

0.7x0.5=0.35.

所以分布列為：

第15頁(yè)共150頁(yè)

(2)若小王先回答B(yǎng)類問(wèn)題，記丫為小王的累計(jì)得分,

因?yàn)镻(y=0)=1-0.5=0.5,P(X=60)=0.5x(1-0.7)=0.15fP(Y=100)=0.5x

0.7=0.35.

所以分布列為：

Y060100

P0.50.150.35

F(X)=()x0.3+40x0.354-100x0.35=49,

E(r)=0x0.5+60x0.15+100x0.35=44,E(X)>E(Y),

所以先回答A類問(wèn)題.

【變式2-1]5.(2023上?江蘇南京?高三校聯(lián)考期中)某校在一次慶?；顒?dòng)中，設(shè)計(jì)了一個(gè)

“套圈游戲"，規(guī)則如下：每人3個(gè)套圈，向M,N兩個(gè)目標(biāo)投擲，先向目標(biāo)M擲一次，套

中得1分，沒(méi)有套中不得分，再向目標(biāo)N連續(xù)擲兩次,每套中一次得2分，沒(méi)套中不得分,

根據(jù)累計(jì)得分發(fā)放獎(jiǎng)品.已知小明每投擲一次，套中目標(biāo)M的概率為[套中目標(biāo)N的概率為

|,假設(shè)小明每次投擲的結(jié)果相互獨(dú)立，累計(jì)得分記為X.

(1)求小明恰好套中2次的概率；

(2)求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【答案】(喘；

(2)分布列見(jiàn)解析,向

第16頁(yè)共150頁(yè)

【分析】(1)分類討論及利用概率乘法公式計(jì)算即可;

(2)利用隨機(jī)變量的分布列與期望公式計(jì)算即可.

【詳解】(1)記"小明恰好套中2次”為事件A,

分3種情況第一次，第二次套中；第一次，第三次套中；第二次第三次套中；

則：

…P(4)=4-x2x3-x3i+4-x3-x3-=—36=9-,'

小明恰好套中2次的概率為；；

(2)由題意可得：X的可能取值為0,1,2,3,4,5,

P(X=0)=ixixi=-,P(X=1)=-xix-=-,

',43336'、743336,

P(X=2)=-x2x-xi=—,P(X=3)=-x2x-xi=—,

P(X=4)=ix1x1=±,P(X=5)=1x|x1=^f

題型3一人比賽(測(cè)試)型

【例題3】(2023?陜西西安校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))4海參加甲、乙兩項(xiàng)測(cè)試，每次測(cè)試結(jié)果只

有3種，分別是優(yōu)秀、良好、合格,結(jié)果為優(yōu)秀得3分、良好得1分、合格得0分，4痼

參加甲項(xiàng)測(cè)試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為］良好的概率為I參加乙項(xiàng)測(cè)試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為)

良好的概率為(，兩項(xiàng)測(cè)試互不影響，兩項(xiàng)測(cè)試結(jié)束后，小梅得分之和為，

(1)求小梅參加兩項(xiàng)測(cè)試恰有一次為合格的概率;

(2)求珀勺分布列與數(shù)學(xué)期望.

【答案】⑴卷

第0頁(yè)共150頁(yè)

(2)分布列見(jiàn)解析,E(0=非

JU

【分析】(1)小梅恰有一次為合格這個(gè)事件可拆分為四個(gè)互斥事件的和：甲項(xiàng)合格乙項(xiàng)優(yōu)

秀，甲項(xiàng)合格乙項(xiàng)良好，甲項(xiàng)優(yōu)秀乙項(xiàng)合格，甲項(xiàng)良好乙項(xiàng)合格，由互斥事件和獨(dú)立事件的

概率公式可得；

(2)f的所有取值為0,1,2,3,4,6,分別求得其概率及其分布列，再由期望公式計(jì)算出期望.

【詳解】(1)記4為事件"小梅參加甲項(xiàng)測(cè)試的得分為i分"(i=0,1,3),

則P(&)=1P(4)=《，PQo)=l-

記以為事件"小梅參加乙項(xiàng)測(cè)試的得分為i分"(i=0,1,3)

則P(%)=JP(4)=1,PR)==

記。為事件"小梅參加兩項(xiàng)測(cè)試恰有一次為合格”，

由題意/D=A2BQ+A^BQ+AQB^+AQB^I

由事件的獨(dú)立性和互斥性，

P(D)=P(A3B0+48。+A0B.+A0B3)=P(A3B0)+P(A.B0)+P(4A)+P(A0B3)

=PG43)P(BO)+P(&)P(80)+PQ4O)P(8I)+P(A0)P(B3)

11,11,13,113

=-X-+-X-+-X-+-X-=—.

2535656510

所以小梅參加兩項(xiàng)測(cè)試恰有一次為合格的概率為2；

(2)由題意，隨機(jī)變量何能的取值為0,1,2,3,4,6,

由事件的獨(dú)立性與互斥性，得：

P(1=0)=P(A0B0)=京xg='

P(f=1)=P(A.B+AM=PGM。)+PQMi)=：x,+濯=：,

0oZ>O□O

P(f=2)=P(&Bi)=*

P(f=3)=P(A3B0+AM=PGMo)+PG%%)=那+2=2，

P(f=4)=PGM1+4%)=P(AM+P(4/)=*+2=方

/5S*>SU

第18頁(yè)共150頁(yè)

P(f=6)=Pg)=±

可得隨機(jī)變量f的分布列為

1211

301530

所以數(shù)學(xué)期望￡G)=0xa+lx：+2x：+3xE+4x^+6x5=M.

JUODIDOU1U，U

【變式3-1]1.（2023上?湖南邵陽(yáng)?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在一個(gè)有獎(jiǎng)游戲中，參與者可

從A,B兩類數(shù)學(xué)試題中選擇作答，答題規(guī)則如下：

規(guī)則一：參與者只有在答對(duì)第一次所選試題的情況下,才有資格進(jìn)行第二次選題，目連續(xù)兩

次選題不能是同一類試題，每人至多有兩次答題機(jī)會(huì)；

規(guī)則二：參與者連續(xù)兩次選題可以是同一類試題，答題次數(shù)不限.

（1）小周同學(xué)按照規(guī)則一進(jìn)行答題，已知小周同學(xué)答對(duì)A類題的概率均為0.75,答對(duì)一次可

得2分；答對(duì)B類題的概率均為0.6,答對(duì)一次可得3分.如果答題的順序由小周選擇，那

么A,B兩類題他應(yīng)優(yōu)先選擇答哪一類試題？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）小南同學(xué)按照規(guī)則二進(jìn)行答題，小南同學(xué)第1次隨機(jī)地選擇其中一類試題作答，如果小

南第1次選擇A類試題，那么第2次選擇A類試題的概率為0.6;如果第1次選擇B類試

題，那么第2次選擇A類試題的概率為0.8.求小南同學(xué)第2次選擇A類試題作答的概率.

【答案】Q）小周應(yīng)該先答A類題，理由見(jiàn)解析

【分析】（1）利用概率的分布列和數(shù)學(xué)期望求解；

（2）利用條件概率求解.

【詳解】（1）根據(jù)題意，小周同學(xué)按照規(guī)則一進(jìn)行答題，

第19頁(yè)共150頁(yè)

若先選擇答A類題，設(shè)小周獲得的積分為隨機(jī)變量為X,

則X的所有可能取值為0、2、5,

P(X=0)=1-0.75=0.25,P(X=2)=0.75x(1-0.6)=03,

P(X=5)=0.75x0,6=0.45.

貝吐(X)=Ox0.25+2x0.3+5x0.45=2.85；

若先選擇答8類題，設(shè)小周獲得的積分為隨機(jī)變量為丫，

則y的所有可能取值為0、3、5,

=0)=1-0.6=0.4,P(V=3)=0.6x(1-0.75)=0.15,

P(Y=5)=0.6x0.75=0.45,

所以E(Y)=0x0.4+3x0.15+5x0.45=2.7,

因?yàn)?.85>2.7,所以小周應(yīng)該先答A類題.

(2)由于小南同學(xué)按照規(guī)則二進(jìn)行答題，

設(shè)4：第1次選擇4類題作答；/：第1次選擇8類題作答；

B：第2次選擇人類試題作答；

則p(4)-PJz)-05P(印4)-0.6,P(印4)-0.8,

故P(8)=P(4)P(8|4)+P(A2)P(B\A2)=0.5x0.6+0.5x08=0.7.

【變式3-1]2.(2023上?北京?高三北京五十五中?？茧A段練習(xí))某闖關(guān)游戲必須闖過(guò)若

干關(guān)口才能成功，其中第一關(guān)是答題，分別設(shè)置"文史常識(shí)題""生活常識(shí)題”"影視藝術(shù)

常識(shí)題”這3道題目，規(guī)定有兩種答題方案：

方案一：答題3道，至少有2道答對(duì)

方案二：在這3道題目中，隨機(jī)選取2道，這2道都答對(duì).

方案一和方案二中只要完成一個(gè)，就能通過(guò)第一關(guān)，假設(shè)甲選擇方案一、且答對(duì)每一道題的

第20頁(yè)共150頁(yè)

概率是］乙選擇方案二，且3道題中只能答對(duì)其中兩道題.

Q)求甲答對(duì)題目數(shù)量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(2)設(shè)甲和乙中通過(guò)第一關(guān)的人數(shù)為f,求f的分布列；

(3)若丙答對(duì)這3道題中每一道題的概率都是p(p6(0,1))，且這3道題是否答對(duì)相互之間沒(méi)

有影響，丙選擇方案一通過(guò)第一關(guān)的概率為小，選擇方案二通過(guò)第一關(guān)的概率為P2,直接比

較P1與P2的大小.

【答案】Q)分布列見(jiàn)解析，EW=1

(2)分布列見(jiàn)解析，EG)=《

(3)P1>P2

【分析】(1)寫(xiě)出隨機(jī)變量X的所有取值，求出對(duì)應(yīng)概率，即可得分布列，再根據(jù)期望公式

求期望即可；

(2)先分別求出兩人過(guò)關(guān)的概率，寫(xiě)出隨機(jī)變量《的所有取值，求出對(duì)應(yīng)概率，即可得分

布列，再根據(jù)期望公式求期望即可；

(3)先分別求出p1,pz,再作差即可得解.

【詳解】(1)由題意,X可取0,1,2,3,

則戶(X=0)=C；x(|)3=^,P(X=1)=C^.1x(|)2=l,

P(X=2)=6?X^,P(X=3)=CW"=>

所以分布列如下：

X0123

8421

P

279927

所以E(X)=0x^+lx：+2x"3x/=1;

第21頁(yè)共150頁(yè)

(2)甲通過(guò)的概率P甲=C；.出2x|+《?(1)3=/

乙通過(guò)的概率P乙=1=1,

f可取0,1,2,

則P(f=O)=(l號(hào))x(T)=￡,

P?=D=^x(l-1)+(l-^)xi=^,

所以分布列如下：

(3)Pl=C>p2(l-P)+C?p3=3P2-2P3,P2=p2,

則Pl_P2=2p2-2P3=2P2(1-p),

因?yàn)閜G(0.1),所以Pl-P2=2P2(1_p)>0,

所以Pl>P2-

【變式3-1]3.(2023上河南高二校聯(lián)考階段練習(xí))第22屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23

日至10月8日在我國(guó)杭州舉行，這是我國(guó)第三次舉辦亞運(yùn)會(huì).為迎接這場(chǎng)體育盛會(huì)，杭州

市某社區(qū)決定舉辦一次亞運(yùn)會(huì)知識(shí)競(jìng)賽，要求每組參賽隊(duì)伍由兩人組成，競(jìng)賽分為預(yù)賽和決

賽，其中預(yù)賽規(guī)則如下：

①每組隊(duì)伍先從A,B兩類問(wèn)題中選擇一類，并由兩位選手從中各隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，

答錯(cuò)的選手本輪競(jìng)賽結(jié)束；答對(duì)的選手再?gòu)牧硪活悊?wèn)題中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行回答，無(wú)論

答對(duì)與否，本輪競(jìng)賽結(jié)束；

②若在本輪競(jìng)賽中每組隊(duì)伍的兩名選手合計(jì)答對(duì)問(wèn)題的個(gè)數(shù)不少于3個(gè)，則可進(jìn)入決賽.

第22頁(yè)共150頁(yè)

市民甲與乙組成"夢(mèng)幻"隊(duì)參加了這次競(jìng)賽，已知甲答對(duì)A類中每個(gè)問(wèn)題的概率均為0.7,

答對(duì)B類中每個(gè)問(wèn)題的概率均為0.5,乙答對(duì)A類中每個(gè)問(wèn)題的概率均為0.4，答對(duì)B類中

每個(gè)問(wèn)題的概率均為0.8.

Q)若"夢(mèng)幻"隊(duì)先回答A類問(wèn)題，記X為"夢(mèng)幻"隊(duì)答對(duì)問(wèn)題的個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)

學(xué)期望；

(2)為使“夢(mèng)幻”隊(duì)進(jìn)入決賽的概率最大，"夢(mèng)幻"隊(duì)?wèi)?yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由.

【答案】⑴分布列見(jiàn)解析，期望為L(zhǎng)77

(2)應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問(wèn)題，理由見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)題意得X的可能取值為0,1,2,3,4,求得相應(yīng)的概率，列出分布列，

結(jié)合期望的計(jì)算公式，即可求解；

(2)由(1)求得先回答4類問(wèn)題，"夢(mèng)幻"隊(duì)能進(jìn)入決賽的概率為％=0.252,再求得先

回答8類問(wèn)題，"夢(mèng)幻"隊(duì)能進(jìn)人決賽的概率為P2=0.328,結(jié)合P2>P］，即可得到答案.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意得X的可能取值為0,1,2,3,4,

則P(X-0)-(1-0.7)x(1-0.4)-0.18,

p(X=1)=0.7x(1-0.5)x(1-0.4)+(1-0.7)x0.4x(1-0.8)=0.234,

P(X=2)=0.7x0.5x(1-0.4)+(1-0.7)x0.4x0.8+0.7x0.4x(1-0.5)x

(1-0.8)=0.334,

P(X=3)=0.7x0.4x0.5xil-0.8)+0.7x0.4x(1-0.5)x0.8=0.14,

P(X=4)=0.7x0.4x0.5x0.8=0.112,

所以X的分布列為

X01234

第23頁(yè)共150頁(yè)

P0.180.2340.3340.140.112

則E(X)=0x0.18+1x0.234+2x0.334+3x0.144-4x0.112=1.77.

(2)解：由(1)可知，若先回答人類問(wèn)題，則"夢(mèng)幻"隊(duì)能進(jìn)入決賽的概率為：

Pi=P(X=3)+P(X=4)=0.14+0.112=0.252；

若先回答8類問(wèn)題，記"夢(mèng)幻"隊(duì)答對(duì)問(wèn)題的個(gè)數(shù)為丫，

則P(y=3)=0.5x0.8x0.7x(1-0.4)+0.5x0.8x(1-0.7)x0.4=0.216,

P(r=4)=0.5x0.8x0.7x0.4=0.112,

則"夢(mèng)幻”隊(duì)能進(jìn)人決賽的概率為P2=P(y=3)+P(Y=4)=0.216+0.112=0.328,

所以P?>P-

所以為使“夢(mèng)幻”隊(duì)進(jìn)入決賽的概率最人，"夢(mèng)幻"隊(duì)?wèi)?yīng)選擇先回答8類問(wèn)題.

【變式3-1]4.(2023上河南?高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試)已脫貧的西部地區(qū)某貧困縣，鞏固

拓展脫貧攻堅(jiān)成果，全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，在國(guó)家產(chǎn)業(yè)扶貧政策的大力支持下，利用當(dāng)?shù)刈匀?/p>

條件，在山上發(fā)展果樹(shù)種植，現(xiàn)已開(kāi)始大量結(jié)果，為了普及果樹(shù)種植技術(shù)，該縣舉辦"果樹(shù)

種植技術(shù)知識(shí)競(jìng)賽"，競(jìng)賽規(guī)則如下：先進(jìn)行預(yù)賽，預(yù)賽共進(jìn)行四輪答題比賽，在每輪答題

比賽中，選手可選易，中，難三類題中的一題，答對(duì)得分，答1昔不得分，四輪答題中，易，

中難三類題中的每一類題最多選兩個(gè)預(yù)賽的四輪答題比賽得分不低于10分的進(jìn)入決賽，

某選手A答對(duì)各題相互獨(dú)立，答對(duì)每類題的概率及得分如下表：

容易題中等題難題

33

答對(duì)概率1

5210

答對(duì)得分345

(1)若選手A前兩輪都選擇了中等難度題，且對(duì)了一題，錯(cuò)了一題，請(qǐng)你為選手A計(jì)劃后兩

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輪應(yīng)該怎樣選擇答題，使得進(jìn)入決賽的可能性更大，并說(shuō)明理由;

(2)選手A四輪答題中，選擇了一個(gè)容易題，兩個(gè)中等難度題，一個(gè)難題，已知容易題答對(duì)，

記選手A預(yù)賽四輪答題比賽得分總和為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】Q)都選擇容易題進(jìn)行答題；

(2)分布列見(jiàn)解析，y.

【分析】(1)根據(jù)給定條件，確定后兩輪的選擇方案，再利用相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)

算匕徽作答.

(2)求出X的可能值及各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率,列出分布列并求出數(shù)學(xué)期望作答.

【詳解】(1)依題意，選手A前兩輪都選擇了中等難度題，兩輪得分和為4,于是選手A

后兩輪的選擇有3種方案，

方案一：都選擇容易題，則必須都答正確，于是進(jìn)入決賽的概率片=9xg5；

方案二：都選擇難題，則必須都答正確，于是進(jìn)入決賽的概率P2=-x2=擊