高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)研究：幾何知識（10）球與射影八、球與射影問題1.外心（1）若三條側(cè)棱兩兩相等,則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面三角形的外心.（2）若三條側(cè)棱與底面所成角均相等時(shí),則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面三角形的外心.2.垂心（1）若三條側(cè)棱兩兩垂直,則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面三角形的垂心.3.內(nèi)心（1）若側(cè)面與底面所成的二面角均相等時(shí),則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面三角形的內(nèi)心.（2）若三條側(cè)高相等時(shí),則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面三角形的內(nèi)心.（3）若三條側(cè)棱與其底面的兩條棱成等角時(shí),則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面三角形內(nèi)心。(一)外心【例】已知P,A,B,C是半徑為2的球面上的點(diǎn),PA=PB=解:如下圖,由題意,PA=PB=PC則G為三角形ABC的外心,且為P在平面ABC上的射影,所以球心在PG的延長線上設(shè)PG=?,則OG=2所以?=1.故AG=CG=3,過B作設(shè)AD=x設(shè)BD=m故mx=則m=23?x令fx=23所以當(dāng)0<x<32當(dāng)323≤x<所以當(dāng)x=323時(shí),fx取到最大值為243當(dāng)△ABD的面積最大時(shí),三棱錐P?ABD（二）垂心【例】已知三棱錐P?ABC的底面是正三角形,PA=3,點(diǎn)A在側(cè)面PBC內(nèi)的射影H是△PBC解:設(shè)點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),則AD⊥BC,因?yàn)辄c(diǎn)A在側(cè)面PBC內(nèi)的射影H是所以PA⊥BC,PC⊥AB,設(shè)點(diǎn)O是點(diǎn)P所以O(shè)一定在AD上,因?yàn)锳B⊥PC所以O(shè)是底面ABC的垂心,也是外心,所以PA則當(dāng)PA,PB,PC所以R=3（三）內(nèi)心【例】三棱錐P?ABC中,頂點(diǎn)P在底面ABC上的射影為△ABC解:S設(shè)點(diǎn)P在底面ABC上的射影為H。分別作HD⊥BC于點(diǎn)D,HF⊥AC于點(diǎn)F則PD⊥由題意可得H為△ABC則Rt故PE=PF記為θ,所以cos連接HA,HB,所以S所以S所以cosθ=又S所以S所以∠ACB=所以S△ABC所以BC=6,AC=8由題意得三棱錐內(nèi)切球的球心在PH上,設(shè)為點(diǎn)O,連接OD易知點(diǎn)O在∠PDH的平分線上,所以內(nèi)切球半徑R=rtan（四）重心對于重心相關(guān)問題,一般是在正三棱錐、正四面體當(dāng)中呈現(xiàn),而此時(shí)底面均為正三角形,外心與重心重合,從而轉(zhuǎn)為射影問題.【例1】在棱長為1的正四面體ABCD中,G為△BCD的重心,M是線段AG的中點(diǎn),則三棱錐M解:連接BG.因?yàn)镚為正△BCD的重心,所以AG⊥平面BCD在Rt△AGB中,AB于是MG=12AG從而MC=MB=2同理,MC⊥MD,MD⊥棱的正方體的對角線長,球半徑R=6【例2】已知正三棱錐P?ABC的底面ABC是正三角形,該正三棱錐的外接球的球心O為△ABC解:由題意可得O為△ABC的外心,設(shè)△ABC的邊長為a側(cè)棱長為PA=PB作CE⊥PB于點(diǎn)E,連接AE,易證∠AEC是二面角A?PB?C的平面角所以cos∠(五)球射影【例1】一個(gè)半徑為2的球放在桌面上,桌面上有一點(diǎn)A1的正上方有一個(gè)光源A,A解:球與平面的切點(diǎn)是橢圓的交點(diǎn),a【例2】一個(gè)廣告氣球某一時(shí)刻被一束平行光線投射到水平地面上的影子是一個(gè)橢圓,橢圓的離心率為e=解:由圖可得入射角為π3九、多球問題(一)多球相切1.剝皮法解相同半徑的多球相切問題當(dāng)多個(gè)相同半徑的小球與幾何體相切時(shí),只要把外面的幾何體向內(nèi)收縮一個(gè)小球半徑長,聯(lián)結(jié)球心畫出直觀圖即可。換言之,即將整個(gè)幾何體縮小一個(gè)小球的半徑長構(gòu)造出一個(gè)與原幾何體形狀完全相同、大小差一個(gè)小球半徑長的一個(gè)新幾何體.【經(jīng)典例題】將半徑都為1的4個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體ABCD的容器里,這個(gè)正四面體ABCD的高的最小值為?法一(標(biāo)答):把4個(gè)鋼球的球心聯(lián)結(jié)起來構(gòu)成棱長為2的正四面體O點(diǎn)O為底面△O2O3O4的中心,過O作OL⊥AF于L,交O1E于Hsin∠OO又因?yàn)檎拿骟wO1O2所以O(shè)L=OH所以O(shè)A=3×2法二(剝皮法):4個(gè)鋼球的球心聯(lián)結(jié)起來構(gòu)成棱長為2的正四面體O1可以看成正四面體ABCD向內(nèi)收縮一個(gè)小球半徑長得到,設(shè)正四面體ABCD的高為?由于兩個(gè)正四面體相似,因此內(nèi)切球的半徑之比等于對應(yīng)高之比即?23法三:以“容器正四面體”的四個(gè)小球的球心為頂點(diǎn)構(gòu)成了一個(gè)棱長為2的“球心正四面體”“球心正四面體”的高是“單位正四面體”高的2倍,即2“球心正四面體”的底面到“容器正四面體”底面的距離為小球半徑1而“球心正四面體”頂點(diǎn)到“容器正四面體”頂點(diǎn)的距離為3(小球半徑的3倍)于是“容器正四面體”的高為31.棱長為1的單位正四面體的高為62.正四面體的中心將高分為1:3.球心為O,底面積為S,內(nèi)切球與外接球半徑為r,R4.正四面體外接球半徑R=64a,內(nèi)切球半徑5.正四面體的四心(外心、內(nèi)心、中心、重心)合一【同源練習(xí)】①四個(gè)半徑為1的球兩兩相切,求其外切正四面體的棱長.解:棱長為a的正四面體的內(nèi)切球半徑為612a則正四面體O1O2ABCD,則正四面體ABCD的內(nèi)切球半徑為1+66,故正四面體ABCD②把半徑為r的四只小球全部放入一個(gè)大球內(nèi),求大球半徑的最小值.解:四個(gè)小球的球心構(gòu)成了一個(gè)正四面體,四面體的棱長為小球半徑的2倍故大球半徑的最小值為6③半徑為R的球內(nèi)部裝有4個(gè)半徑為r的小球,求小球半徑r的最大值.法一:將4個(gè)小球的球心連接起來構(gòu)成一個(gè)正四面體,O1在底面O2則大球的球心O顯然在O1H上.連接OO在Rt△O由勾股定理得x2=263r法二:4個(gè)小球球心構(gòu)成正三棱錐的4個(gè)頂點(diǎn),大球球心是該棱錐的中心而正三棱錐的內(nèi)切球半徑可以用體積法求得6所以R=6④(2015年河北省預(yù)賽、2019年重慶市預(yù)賽)現(xiàn)有一個(gè)能容納10個(gè)半徑為1的小球的封閉正四面體容器,則該容器棱長的最小值為()法一:把10個(gè)小球成棱錐型來放,第一層1個(gè),第二層3個(gè),第三層6個(gè)即每一條棱是3個(gè)小球,故正四面體的一條棱為4倍的小球的半徑加上2倍的球心到四面體的距離到棱長上的射影的長度,又球心到頂點(diǎn)的距離為3,正四面體的高和棱所成角的余弦值為63,故容器棱長的最小值為法二:當(dāng)正四面體棱長最小時(shí),設(shè)棱長為a,此時(shí)一、二、三層分別有1、且相鄰小球兩兩相切,注意到重心分四面體的高為1:3,所以正四面體的高?=232.連心法解不同半徑的多球相切問題當(dāng)多個(gè)半徑不相同小球的兩兩相切時(shí),將球心串聯(lián)畫出直觀圖,即利用球心連線等于半徑之和.【經(jīng)典例題】兩球O1和O2在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1的內(nèi)部,且互相外切,若球O解:球O1與球O2的半徑分別為∴r球O1與球OS當(dāng)且僅當(dāng)r1=r【同源練習(xí)】①在邊長為1的正方體C內(nèi),作一個(gè)內(nèi)切大球O1,再在C內(nèi)作一個(gè)小球O2,使它與大球O1解:設(shè)正方體為ABCD?A′B′C′D′,連接BD′,交大球O1于點(diǎn)E、即3212=O2Br2②設(shè)有一個(gè)棱長為1的正方體,有兩個(gè)球內(nèi)切于該正方體,這兩個(gè)球也相切,當(dāng)半徑分別為多少時(shí),兩球加起來的體積最大.解:每個(gè)球都應(yīng)該與正方體的三個(gè)面相切,球心到正方體的三個(gè)面距離相等，球心在正方體的對角線,設(shè)兩個(gè)球的半徑分別為r1,則3r1于是球的體積之和為4故只需要求r1r2的最小值即可,不妨設(shè)r當(dāng)r1=12時(shí)取到等號,此時(shí)r(三)丹德林雙球【例】如圖所示,在頂角為π3的圓錐內(nèi)有一截面,在圓錐內(nèi)放半徑分別為1,4的兩個(gè)球與圓錐的側(cè)面、截面相切,兩個(gè)球分別與截面相切于