第02講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和(精講）目錄第一部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：課前自我評估測試第三部分：典型例題剖析題型一：等差數(shù)列基本量的運(yùn)算題型二：等差數(shù)列的判斷與證明題型三：等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用角度1：等差數(shù)列的性質(zhì)角度2：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)角度3：等差數(shù)列的最值問題第四部分：高考真題感悟第一部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第一部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶1.等差數(shù)列的概念(1)定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母表示．?dāng)?shù)學(xué)語言表示為()(或者），為常數(shù)．(2)等差中項(xiàng)：若，，成等差數(shù)列，則叫做和的等差中項(xiàng)，且.注：證明一個數(shù)列是等差數(shù)列可以使用①定義法：()(或者）②等差中項(xiàng)法：2.等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)若等差數(shù)列的首項(xiàng)是，公差是，則其通項(xiàng)公式為，可推廣為(*)．(2)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式(其中)．3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)已知為等差數(shù)列，為公差，為該數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)等差數(shù)列中，當(dāng)時，()．特別地，若，則()．(2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，即，，，…仍是等差數(shù)列，公差為()．(3)也成等差數(shù)列，其首項(xiàng)與首項(xiàng)相同，公差為.(4)，，…也成等差數(shù)列，公差為.（5）若數(shù)列,均為等差數(shù)列且其前項(xiàng)和分別為,,則4.等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系(1)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系可化為的形式．當(dāng)時，是關(guān)于的一次函數(shù)；當(dāng)時，數(shù)列為遞增數(shù)列；當(dāng)時，數(shù)列為遞減數(shù)列．(2)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可變形為.當(dāng)時，它是關(guān)于的二次函數(shù)，表示為(，為常數(shù))．第二部分：課前自我評估測試第二部分：課前自我評估測試1．（2022·四川成都·高一期中）已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，則的值為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】D由題意得：，所以，故故選：D2．（2022·寧夏·平羅中學(xué)高一期中（文））下列數(shù)列不是等差數(shù)列的是（

）A．0，0，0，…，0，…B．－2，－1，0，…，n－3，…C．1，3，5，…，2n－1，…D．0，1，3，…，，…【答案】D選項(xiàng)A中，后項(xiàng)減前項(xiàng)所得差均為0，是等差數(shù)列；選項(xiàng)B中，后項(xiàng)減前項(xiàng)所得差都是1，是等差數(shù)列；選項(xiàng)C中，后項(xiàng)減前項(xiàng)所得差都是2，是等差數(shù)列；選項(xiàng)D中，，不是等差數(shù)列，故選：D．3．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）2022年4月26日下午，神州十三號載人飛船返回艙在京完成開艙．據(jù)科學(xué)計算，運(yùn)載“神十三”的“長征二號”遙十三運(yùn)載火箭，在點(diǎn)火第一秒鐘通過的路程為2千米，以后每秒鐘通過的路程都增加2千米，在達(dá)到離地面380千米的高度時，火箭與飛船分離，則這一過程需要的時間大約是（

）A．10秒 B．13秒 C．15秒 D．19秒【答案】D設(shè)每秒鐘通過的路程構(gòu)成數(shù)列，則是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，由求和公式有，解得．故選：D.4．（2022·北京·101中學(xué)三模）已知等差數(shù)列中，則_______．【答案】4設(shè)公差為，則，解得：，所以故答案為：45．（2022·全國·高二課時練習(xí)）數(shù)列中，，，那么這個數(shù)列的通項(xiàng)公式是______．【答案】數(shù)列中，因，即，因此，數(shù)列是等差數(shù)列，公差d=3，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.故答案為：第三部分：典型例題剖析第三部分：典型例題剖析題型一：等差數(shù)列基本量的運(yùn)算例題1．（2022·寧夏吳忠·高一期中）已知等差數(shù)列中，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2)n.(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以，解得，所以?2)n.例題2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在等差數(shù)列中，，．(1)求的值；(2)2022是否為數(shù)列中的項(xiàng)？若是，則為第幾項(xiàng)？【答案】(1)8082(2)2022是數(shù)列中的第506項(xiàng)(1)由題意，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為．由，，即解得所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為．所以．(2)令，解得，所以，2022是數(shù)列中的第506項(xiàng)．例題3．（2022·北京二中高二學(xué)業(yè)考試）已知數(shù)列是等比數(shù)列，，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和；(2)若分別為等差數(shù)列的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和.【答案】(1)，.(2),.(1)設(shè)數(shù)列的公比為，則，得，所以..(2)設(shè)等差數(shù)列的公差為，,,則，所以，.例題4．（2022·遼寧·高二期中）已知等差數(shù)列的公差，且，的前項(xiàng)和為．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，，成等比數(shù)列，求的值．【答案】(1)(2)(1)解：因?yàn)榍遥傻?，解得，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為.(2)解：由（1）知，可得，，，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，整理得，解得或，又因?yàn)?，所?方法總結(jié)：解決等差數(shù)列基本量運(yùn)算的思想方法(1)方程思想:等差數(shù)列的基本量為首項(xiàng)和公差,通常利用已知條件及通項(xiàng)公式或前項(xiàng)和公式列方程(組)求解,等差數(shù)列中包含,,,,五個量,可“知三求二”.(2)整體思想:當(dāng)所給條件只有一個時,可將已知和所求都用,表示,尋求兩者間的聯(lián)系,整體代換即可求解.題型歸類練1．（2022·廣西·高二學(xué)業(yè)考試）已知等差數(shù)列中，前4項(xiàng)為1，3，5，7，則數(shù)列前10項(xiàng)的和（

）A．100 B．23 C．21 D．17【答案】A設(shè)公差為，則，則.故選：A.2．（2022·云南師大附中模擬預(yù)測（理））《九章算術(shù)》是我國秦漢時期一部杰出的數(shù)學(xué)著作，書中第三章“衰分”有如下問題：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百錢.欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次變低）5個人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成遞增等差數(shù)列，這5個人各出多少錢?”在這個問題中，若不更出17錢，則公士出的錢數(shù)為（

）A．10 B．14 C．23 D．26【答案】D解：設(shè)大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的錢數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列．由題意可知，等差數(shù)列中，前5項(xiàng)和為100，設(shè)公差為，前項(xiàng)和為，則，解得，所以，所以公士出的錢數(shù)為，故選：D．3．（2022·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）在3和9之間插入兩個正數(shù)后，使前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，則這兩個正數(shù)之和為（

）A． B． C． D．10【答案】B不妨設(shè)插入兩個正數(shù)為，即∵成等比數(shù)列，則成等差數(shù)列，則即，解得或（舍去）則故選：B．4．（2022·吉林松原·高二階段練習(xí)）在數(shù)列中，當(dāng)時，，若__________．【答案】101當(dāng)時，①，所以②，②-①，得，所以，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列．當(dāng)時，，所以，所以數(shù)列的公差，則．故答案為：1015．（2022·江蘇·南京市天印高級中學(xué)模擬預(yù)測）2022年北京冬奧會開幕式始于24節(jié)氣倒計時，它將中國人的物候文明、傳承久遠(yuǎn)的詩歌、現(xiàn)代生活的畫面和諧統(tǒng)一起來.我國古人將一年分為24個節(jié)氣，如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣的日晷長變化量相同，冬至日晷長最長，夏至日晷長最短，周而復(fù)始.已知冬至日晷長為13.5尺，芒種日晷長為2.5尺，則一年中夏至到立冬的日晷長的和為______尺【答案】60因?yàn)橄噜弮蓚€節(jié)氣的日晷長變化量相同，所以每個節(jié)氣的日晷長構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)冬至日晷長13.5尺為，則芒種日晷長2.5尺為，所以，所以夏至日晷長為1.5尺，記夏至日晷長1.5尺為，小暑為，大暑為，……，立冬為則.故答案為：60.6．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，且．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若，，成等比數(shù)列，求正整數(shù)m．【答案】(1)證明見解析(2)7(1)因?yàn)?，所以，即，則．又，，滿足，所以是公差為4的等差數(shù)列．(2)由（1）得，，則．又，所以，化簡得，解得m＝7或（舍）．所以m的值為7．題型二：等差數(shù)列的判斷與證明例題1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）對于數(shù)列，“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的（

）A．充分非必要條件； B．必要非充分條件；C．充要條件； D．既非充分又非必要條件.【答案】C解：若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則(為常數(shù))，由等差數(shù)列的定義可得數(shù)列為等差數(shù)列；若數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公差為，則通項(xiàng)公式為，令，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可寫為，為常數(shù)，.所以對于數(shù)列，“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的充要條件.故選：C.例題2．（2022·遼寧·沈陽市第一二〇中學(xué)高二期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，則數(shù)列（

）A．是公差為4的等差數(shù)列 B．是公比為2的等比數(shù)列C．既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 D．既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列【答案】A由題意得：，當(dāng)時，，也適合上式，故，則當(dāng)時，，即數(shù)列是公差為4的等差數(shù)列，A正確，D錯誤；由于當(dāng)時，不是常數(shù)，故數(shù)列不是等比數(shù)列，故B,C錯誤，故選：A例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若數(shù)列滿足，且，則使的值為（

）A．22 B．21C．24 D．23【答案】D解：因?yàn)?，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，由，解得，即，所以，即使的值為；故選：D．例題4．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知數(shù)列滿足（且），為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則______.【答案】2因?yàn)閿?shù)列滿足（且），所以數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為2.又因?yàn)?，所?故答案為：2.例題5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在數(shù)列中，，，且當(dāng)時，有，則______．【答案】∵，∴數(shù)列是等差數(shù)列，∵，，∴數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為2，∴，∴，驗(yàn)證得時成立，故．故答案為：.例題6．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知數(shù)列滿足，設(shè).(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)證明見解析，(2)(1)解：因?yàn)?，所以，由，所以，且，所以?shù)列以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，所以；例題7．（2022·陜西·長安一中高二期末（理））設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；【答案】(1)證明見解析；(2)答案見解析.(1)依題意，，當(dāng)時，有，兩式相減得：，同理可得，于是得，即，而當(dāng)時，，所以數(shù)列為等差數(shù)列.證明是等差數(shù)列定義法()(或者）等差中項(xiàng)法判斷是等差數(shù)列的通項(xiàng)關(guān)于的一次函數(shù)的前項(xiàng)和（注意沒有常數(shù)項(xiàng)）題型三：等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用角度1：等差數(shù)列的性質(zhì)例題1．（2022·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知數(shù)列滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B由題意知，，由等差數(shù)列的等差中項(xiàng)，得數(shù)列為等差數(shù)列，又，所以，則，所以.故選：B例題2．（2022·江西·二模（理））已知等差數(shù)列中，，，則等于（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C在等差數(shù)列中，由等差中項(xiàng)的定義可得：，，所以．故選：C例題3．（2022·遼寧·沈陽市第五十六中學(xué)高二階段練習(xí)）若等差數(shù)列和的前項(xiàng)的和分別是和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C因?yàn)楹褪堑炔顢?shù)列,故故選:C例題4．（2022·安徽宿州·高二期中）已知兩個等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D由．故選：D例題5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）兩個等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A兩個等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，且，所以.故選：A例題6．（2022·黑龍江·鶴崗一中高二開學(xué)考試）等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別記為與，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D和為等差數(shù)列，故a3故選：D.角度2：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)例題1．（2022·陜西省丹鳳中學(xué)高一階段練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則（

）A． B． C． D．【答案】A由，得，設(shè)，則，因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，……，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，，所以，故選：A例題2．（2022·遼寧·鞍山市華育高級中學(xué)高二期中）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C由等差數(shù)列性質(zhì)知：，，成等差數(shù)列，，即，解得：.故選：C.例題3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在等差數(shù)列中，若，，則（

）.A．110 B．120 C．130 D．140【答案】C解：設(shè)公差為d，則，所以，所以.故選：C例題4．（2022·黑龍江·哈爾濱市第三十二中學(xué)校高二期中）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，，則_____．【答案】42解：在等差數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，即7，14，成等差數(shù)列，所以，解得．故答案為：42．例題5．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則___________.【答案】48因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，所以成等差數(shù)列，所以，因?yàn)椋?，所以，解得，故答案為?8角度3：等差數(shù)列的最值問題例題1．（2022·北京市第十二中學(xué)高二階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則使取得最大值的為__________．【答案】7由題意，則，，故，等差數(shù)列，當(dāng)時，取得最大值故答案為：7例題2．（2022·廣西·昭平中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則其前項(xiàng)和的最大值為____________.【答案】根據(jù)題意，，所以當(dāng)時，有最大值且最大值為：.故答案為：例題3．（2022·山東濰坊·高二期中）在數(shù)列中，若，前項(xiàng)和，則的最大值為______．【答案】66由題意，=21，解得，，屬于二次函數(shù)，對稱軸為，故當(dāng)n=5或6時取得最大值，，，的最大值為66；故答案為：66.例題4．（2022·江西上饒·高三階段練習(xí)（理））設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則當(dāng)＝___時，最?。敬鸢浮?022根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和性質(zhì)得：，，，，前2022項(xiàng)為負(fù)，從2023項(xiàng)開始為正，故前2022項(xiàng)和最小.故答案為：2022.例題5．（2022·遼寧·高二期中）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，且，則滿足的最大正整數(shù)的的值為________．【答案】33因?yàn)?，所以，因?yàn)?，且，所以，，故要使，則需．故答案為：33.例題6．（2022·北京市第一六一中學(xué)高二期中）已知數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，且滿足(1)若數(shù)列{}是等比數(shù)列，求以及：(2)若數(shù)列{}是等差數(shù)列，求的最小值，并求取得最小值時的值.【答案】(1)或(2)的最小值為，此時.(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得或.當(dāng)時，；當(dāng)時，.(2)設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，由，由于，所以當(dāng)時，最小，且的最小值為.例題7．（2022·安徽省六安中學(xué)高二期末（理））設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)當(dāng)為何值時，最大，并求的最大值.【答案】(1)(2)n為6或7；126(1)解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?所以，解得，所以；(2)，當(dāng)或7時，最大，的最大值是126.方法總結(jié)求等差數(shù)列前項(xiàng)和最值的兩種方法題型歸類練1．（2022·山西運(yùn)城·高二期末）若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)，，，則滿足成立的最大正整數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B∵，∴和異號，又?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)，∴是遞減的數(shù)列，，由，所以，，∴滿足的最大自然數(shù)為4040．故選：B．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，若對于任意的自然數(shù)，都有，則（

）A． B． C． D．【答案】B數(shù)列{an}，{bn}均為等差數(shù)列，由等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)得.故選：B3．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則下面結(jié)論錯誤的是（）A． B． C． D．與均為的最小值【答案】C對于A選項(xiàng)，由可得，A選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，由可得，∴，C選項(xiàng)錯誤；對于D選項(xiàng)，由可得，且，，，所以，當(dāng)且時，，且，則與均為的最小值，D選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，∵，，當(dāng)時，，所以，，B選項(xiàng)正確．故選：C．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S15>0，S16<0，則中最大的項(xiàng)為（）A． B． C． D．【答案】D：∵等差數(shù)列前n項(xiàng)和，由S15>0，S16<0，得，∴，若視為函數(shù)則對稱軸在之間，∵，∴Sn最大值是，分析，知為正值時有最大值，故為前8項(xiàng)，又d＜0，遞減，前8項(xiàng)中遞增，∴前8項(xiàng)中最大最小時有最大值，∴最大．5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）兩等差數(shù)列和，前n項(xiàng)和分別為，，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A解：在為等差數(shù)列中，當(dāng)，，，時，．所以，又因?yàn)?，所以．故選：A．6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知兩個等差數(shù)列、的前n項(xiàng)和分別為和，且，求的值．【答案】等差數(shù)列中，可令等差數(shù)列、的前n項(xiàng)和分別為，則，，所以．7．（2022·陜西·西安市長安區(qū)第十二中學(xué)高一階段練習(xí)）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求當(dāng)為何值時，取最大值.【答案】(1)(2)(1)設(shè)數(shù)列的公差為，則由題意得解得所以(2).對稱軸為：又，∴當(dāng)時，取得最大值.8．（2022·廣東珠?！?/p>