第04講空間直線、平面的垂直(精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2022·山東省萊西市第一中學(xué)高一期中）已知，為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，下列四個命題中，正確的為（

）A．若，，，則B．若，，且，，則C．若，，則D．若，，，則【答案】D對于A：若，，,與可能平行，也可能異面故，故A錯誤.對于B：若，，且，，當(dāng)時，平面與可能平行，也可能相交，故B錯誤.對于C：若，，直線與平面可能平行，可能相交，也可能，故C錯誤.對于D：若，，，則，故D正確.故選：D.2．（2022·四川·模擬預(yù)測（文））已知是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，有如下四個命題：①若，則；

②若，則；③若，則；

④若，則．其中所有真命題的序號是（

）A．①③ B．②③ C．①②③ D．②③④【答案】B①若，則或，①錯誤；②因為，所以，又因為，則由面面垂直的判定可得，②正確；③因為，所以，因為，則，③正確；④若，則或異面，④錯誤.故選：B3．（2022·湖南張家界·高一期末）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬．已知在陽馬PABCD中，側(cè)棱底面ABCD，且，則直線PD與平面PAC所成角的正弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】A如圖，在正方形ABCD中，連接BD交AC于O，則，連接PO.因為平面ABCD，平面ABCD，所以，而，則平面PAC，于是是直線PD與平面PAC所成的角.因為PA=AD=1，易知PA⊥AD，所以，易得，所以，即直線PD與平面PAC所成角的正弦值為.故選：A.4．（2022·貴州黔東南·高二期末（理））如圖，在直三棱柱中，為上一點(diǎn)，平面分三棱柱為上下體積相等的兩部分，則與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A作于點(diǎn)，則平面且，設(shè)，則可證平面，則，平面分三棱柱為兩個體積相等的四棱錐和，即取中點(diǎn)為，則即為所求角，故選：A．5．（2022·四川·成都七中高二期末（文））如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)M在線段（不包含端點(diǎn)）上，則下列結(jié)論正確的有（

）個①點(diǎn)在平面的射影為的中心②直線平面③異面直線與BM所成角為④三棱錐的外接球表面積的最小值為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C如圖1：在正方體中，可得，即三棱錐為正四面體，則點(diǎn)在平面的射影為的中心，①正確；如圖2：連接，∵且，則為平行四邊形，∴可得平面同理可得平面可證平面平面，平面，則平面，②正確；如圖3：根據(jù)正方體可得，可證平面，則，同理可得，可證中平面，平面，則，即異面直線與BM所成角為，③正確；如圖4：∵平面，則可知點(diǎn)M到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，設(shè)為，則，即∴，即點(diǎn)M到平面的距離為，外接圓半徑為設(shè)球心O到平面的距離為，則，則，則三棱錐的外接球表面積為．④錯誤；故選：C．6．（2022·河南新鄉(xiāng)·高二期末（文））如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)M在線段（不包含端點(diǎn)）上運(yùn)動，則下列4個命題中所有正確命題的序號為（

）①異面直線與所成角的取值范圍是；②；③三棱錐的體積為定值；④的最小值為．A．②④ B．①④ C．②③④ D．①③【答案】C因為，所以異面直線與所成的角即（或其補(bǔ)角）．因為為正三角形，所以，故①錯誤；因為平面，所以，故②正確；因為平面，所以，故③正確；如圖，將與展開在同一平面內(nèi)，的最小值為，由余弦定理得，故④正確．7．（2022·河北承德·高一期末）在三棱錐中，互相垂直，，M是線段BC上一動點(diǎn)，且直線AM與平面PBC所成角的正切值的最大值是，則三棱錐外接球的體積是（

）A． B． C． D．【答案】B解：因為是線段上一動點(diǎn)，連接．因為互相垂直，所以是直線與平面所成的角，則．所以當(dāng)最短，即時，直線與平面所成角的正切值最大，此時，所以，在中，，則，解得．將三棱錐擴(kuò)充為長方體，則長方體的體對角線長為．故三棱錐外接球的半徑，三棱錐外接球的體積為．故選：B8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）正方體中，點(diǎn)，分別為棱，上的點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），設(shè)二面角的平面角為，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C在正方體中，平面，平面，則，過A作，連A1O，有平面AOA1，如圖，于是得，則為二面角的平面角，即，，而，因此，，又AO是點(diǎn)A到直線EF距離最小值，則有點(diǎn)O與點(diǎn)E重合，即，因點(diǎn)，分別為正方形ABCD的邊，上除端點(diǎn)外的點(diǎn)，從而得，則有，令正方體棱長為1，則，因，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即E為BC中點(diǎn)時取“=”，此時有，所以的取值范圍為.故選：C二、多選題9．（2022·廣東廣州·高一期末）如圖，四棱錐的底面為菱形，，底面，P是上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若平面，則 B．B到平面的距離為C．當(dāng)P為中點(diǎn)時，過P、A、B的截面為直角梯形 D．當(dāng)P為中點(diǎn)時，有最小值【答案】ABC∵平面，平面，平面平面∴，A正確；設(shè)B到平面的距離為，則有∵，即，則，B正確；當(dāng)P為中點(diǎn)時，如圖1，取的中點(diǎn)，連接則∥，∵∥，則∥∴過P、A、B的截面為，則∴，則，即為直角梯形，C正確；借助于側(cè)面展開圖，如圖2，連接交于點(diǎn)，此時為最小值若P為中點(diǎn)時，∵，則∴，這與題意相矛盾，D錯誤；故選：ABC．10．（2022·云南紅河·高二期末）如圖，正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為的中點(diǎn)，則（

）A．直線與直線垂直 B．直線與平面平行C．直線與平面所成角的正弦值為 D．直線與直線所成角的余弦值為【答案】BD對A，由正方體得：平面，所以，若，則平面，則有，又，所以不成立，所以A不正確.對B，取的中點(diǎn)M，連接，，易得，因為平面，平面，所以平面，因為為中點(diǎn)，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，因為，所以平面平面，因為平面，所以平面，故B正確；對C，由正方體得：平面，連接DF，由平面得：為直線與平面所成角，由已知得：，，，所以中，，所以C不正確.對D，由B選項得，所以即為異面直線所與所成角，在中，，，由余弦定理得：，即直線與直線所成角的余弦值為，所以D正確.故選：BD.三、填空題11．（2022·山東濟(jì)南·高一期末）如圖，水平桌面上放置一個裝有水的圓柱形玻璃水杯，AB為杯底直徑，現(xiàn)以點(diǎn)B為支點(diǎn)將水杯傾斜，使AB所在直線與桌面所成的角為，則此時圓柱母線與水面所在平面所成的角大小為______．【答案】如圖所示，由題意可知：，母線與水平面所成角為：，故答案為：12．（2022·四川宜賓·高一期末）如圖，正方體的棱長為1，點(diǎn)P是線段上的動點(diǎn)，給出以下四個結(jié)論：①；②三棱錐體積為定值；③當(dāng)時，過P，D，C三點(diǎn)的平面與正方體表面形成的交線長度之和為3；④若Q是對角線上一點(diǎn)，則PQ＋QC長度的最小值為．其中正確的序號是______．【答案】①②④由平面，平面，得，又．，平面，所以平面，平面，所以，①正確；正方體中，平面平面，平面，因此到平面的距離不變，的面積不變，所以三棱錐的體積不變，即三棱錐體積為定值，②正確；由于正方體的對面平行，因此截面與正方體的表面的交線相互平行，連結(jié)延長交于，過在交于，連結(jié)，則，四邊形是過P，D，C三點(diǎn)的平面與正方體表面形成的交線，正方體棱長為1，，，因此四邊形周長為，③錯誤；正方體中，易知與是兩個全等的直角三角形，，，，把這兩個三角形沿攤平形成一個平面四邊形，如下圖，當(dāng)，是與的交點(diǎn)時，最小．，，，所以，④正確．故答案為：①②④．四、解答題13．（2022·河南許昌·高一期末（文））如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).(1)如圖，取棱的中點(diǎn)為，連接.因為為等邊三角形，所以.又因為平面平面，平面平面，所以平面.又平面，所以.又因為，，平面，所以平面；(2)如圖，連接.由（1）中平面，可知為直線與平面所成的角.因為為等邊三角形，，且的中點(diǎn)為，所以.又，在中，.所以直線與平面所成的角的正弦值為.14．（2022·福建·三明市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖．正方體中，棱長為1，(1)求證：AC⊥平面；(2)求二面角的平面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)(1)證明：∵在正方體中，平面ABCD，又平面ABCD，∴，∵，，，BD，平面，∴AC⊥平面；(2)∵，所以，又，而，面BAC，∴為二面角的平面角．在中，，，∴，∴．B能力提升1．（多選）（2022·湖南衡陽·高一期末）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，∠DAB=60°，AB=2，PB=，側(cè)面PAD為正三角形，則下列說法正確的是（

）A．平面PAD⊥平面ABCD B．異面直線AD與PB所成的角為60°C．二面角P－BC－A的大小為45° D．三棱錐P－ABD外接球的表面積為【答案】ACD取中點(diǎn)，連接，和都是等邊三角形，則，是二面角的平面角，，又，所以，即，所以二面角是直二面角，所以平面PAD⊥平面ABCD，A正確；，所以是異面直線AD與PB所成的角或其補(bǔ)角，由此可得平面，而平面，所以，，所以，，，，B錯；由知，所以是二面角的平面角，在中，可得，C正確；以上證明有平面，同理平面，設(shè)分別是和的中心，如圖，作，，與交于點(diǎn)，則平面，平面，所以是三棱錐外接球的外心，由于，是正方形，，而，所以即為外接球半徑，三棱錐P－ABD外接球的表面積為．D正確．故選：ACD．2．（多選）（2022·江蘇·高二）在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．二面角的正切值為C．異面直線與所成角的余弦值為D．點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的2倍【答案】BCD在正方體中，顯然有，且在正方體中，與不垂直，故與不垂直，選項A錯誤；過點(diǎn)作，交的延長線于，連接，由二面角的定義可知，即為二面角的平面角，不妨設(shè)正方體的棱長為2，則，選項B正確；

取的中點(diǎn)，連接，則，故異面直線與所成角即為直線與所成角而，，故在中，由余弦定理可得，選項C正確；連接交于點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離之比為，而∽故，選項D正確.故選：BCD.3．（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)是棱長為的正方體中的側(cè)面上的一個動點(diǎn)（包含邊界），則下列結(jié)論正確的是（

）A．有無數(shù)個點(diǎn)滿足B．當(dāng)點(diǎn)在棱上運(yùn)動時，的最小值為C．若，則動點(diǎn)的軌跡長度為D．在線段上存在點(diǎn)，使異面直線與所成的角是【答案】AC對于選項A，若M在上，此時必有，證明如下：由正方體的性質(zhì)得平面，.又，，所以平面，CM在平面內(nèi)，所以，故A正確；對于選項B，旋轉(zhuǎn)平面使之與平面共面，如圖中,連接交于點(diǎn)M，此時最短為，大小為，故B錯誤；對于選項C，當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時，由面，面，則，所以有，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓弧，從而動點(diǎn)軌跡長度為，所以C正確.對于選項D，因為，所以直線與所成的角即直線與所成角,即或其補(bǔ)角，由在線段上存在點(diǎn)知，，,由，得：，即最小值大于，故D錯誤；故選：AC4．（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中高一期末）已知正方體的棱長為1，空間一動點(diǎn)滿足，且，則______，點(diǎn)的軌跡圍成的封閉圖形的面積為______．【答案】

.由正方體知平面，又點(diǎn)滿足，所以點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動，如圖，連接，交于點(diǎn)，連接，，由對稱性，，所以，解得所以所以點(diǎn)的軌跡圍成的封閉圖形是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，所以面積.故答案為：；.C綜合素養(yǎng)1．（2022·湖南·長郡中學(xué)高一期末）已知菱形的邊長為2，.將沿折起，使得點(diǎn)至點(diǎn)的位置，得到四面體.當(dāng)二面角的大小為120°時，四面體的體積為___________；當(dāng)四面體的體積為1時，以為球心，的長為半徑的球面被平面所截得的曲線在內(nèi)部的長為_______________.【答案】

##

如圖1，過點(diǎn)P作PF⊥CO交CO的延長線于點(diǎn)F，則∠POF=60°，因為菱形的邊長為2，，所以，，故四面體的體積為；當(dāng)四面體的體積為1時，此時，解得：，，即O，F(xiàn)兩點(diǎn)重合，即PO⊥底面BCD，如圖2，以為球心，的長為半徑的球面被平面所截得的曲線為以O(shè)為圓心，半徑為的圓，落在內(nèi)部的長為圓周長的一半，所以長度為.故答案為：，2．（2022·全國·模擬預(yù)測）如圖，正方體的棱長為1，動點(diǎn)P在對角線上，過點(diǎn)P作垂直于的平面，記平面截正方體表面所得截面多邊形的面積為y，令，，當(dāng)時，則______，函數(shù)的值域為______．【答案】

連接BD，，.在正方體中，面，所以.由為正方形，所以.又，所以面，所以.同理可證.因為,所以平面．設(shè)與平面交于點(diǎn)，由等體積法得：，解得：,所以是的三等分點(diǎn)，此時截面多邊形為，所以．當(dāng)時，單調(diào)遞增，；當(dāng)時，先增后減，根據(jù)對稱性，當(dāng)截面的位置在平面與平面中間，且為過的中點(diǎn)的正六邊形時，邊長為，此時截面多邊形面積最大，所以的最大值為；當(dāng)時，單調(diào)遞減，，所以函數(shù)的值域為．故答案為：；3．（2022·湖北·高一期末）如圖，和都垂直于平面，是上一點(diǎn)，且，為等腰直角三角形，且是斜邊的中點(diǎn)，與平面所成的角為.(1)證明：平面；(2)求二面角的平面角的正切值；(3)若點(diǎn)P是平面ADE內(nèi)