22.3實(shí)踐與探索第1課時利用一元二次方程解決幾何問題及增長率問題1.列一元二次方程解決實(shí)際問題的一般步驟:(1)審題,找等量關(guān)系;(2)設(shè)未知數(shù),注意單位;(3)列出符合題意的方程;(4)解方程;(5)檢驗(yàn)解是否符合題意及實(shí)際意義并作答.2.列一元二次方程解決幾何圖形問題,主要是根據(jù)周長、面積、體積公式等列方程.例如:如圖,將一塊正方形的鐵皮四角各剪去一個邊長為4cm的小正方形,做成一個無蓋的盒子.已知盒子的容積是400cm3,求原鐵皮的邊長.若設(shè)原鐵皮的邊長為xcm,則可得方程為

.3.列一元二次方程解決平均增長率問題,可以運(yùn)用公式a(1±x)2=b,其中a是變化前的數(shù)量,b是變化后的數(shù)量.例如:某村的糧食產(chǎn)量,平均每年的增長率為x,第一年的產(chǎn)量為6萬千克,第二年的產(chǎn)量為

萬千克,第三年的產(chǎn)量為

萬千克.若第三年的總產(chǎn)量為7.26萬千克,則可列方程為

.(x-8)2×4=400

6(1+x)6(1+x)26(1+x)2=7.26

解:(1)設(shè)AB=xm,則BC=(38-2x)m.根據(jù)題意,得x(38-2x)=180,解得x1=10,x2=9.當(dāng)x=10時,38-2x=18;當(dāng)x=9時,38-2x=20,而可利用墻長為19m,不合題意,舍去.答:自行車車棚的長和寬分別為18m、10m.列一元二次方程解決幾何問題

如圖所示,學(xué)校準(zhǔn)備在教學(xué)樓后面搭建一個簡易矩形自行車車棚,一邊利用教學(xué)樓的后墻(可利用的墻長為19m),另外三邊利用學(xué)校現(xiàn)有總長38m的鐵欄圍成.(2)能圍成面積為200m2的自行車車棚嗎?如果能,請你給出設(shè)計方案;如果不能,請說明理由.(2)不能,理由如下:設(shè)AB=ym,則BC=(38-2y)m.根據(jù)題意,得y(38-2y)=200,整理,得y2-19y+100=0.Δ=b2-4ac=361-400=-39<0,故此方程沒有實(shí)數(shù)根.∴不能圍成面積為200m2的自行車車棚.[知識總結(jié)]列一元二次方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找出相等關(guān)系,設(shè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù),用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出相等關(guān)系,列出方程求解.1.(2024·山東)“一題多解”是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的重要方式,有三位同學(xué)對下面的問題給出了三種不同解法.如圖,某小區(qū)在一塊長為16m、寬為9m的矩形空地上新修三條寬度相同的小路,其中一條和矩形的一邊平行,另外兩條和矩形的另一邊平行,空地剩下的部分種植花草,使得小路占地面積為40m2,求小路的寬度.這三位同學(xué)都用了方程來解決.設(shè)小路的寬度為xm,列出方程:①(16-2x)(9-x)=16×9-40;②9×2x+(16-2x)x=40;③9×2x+16x-x2=40.其中正確的是(

)A.① B.② C.①② D.①②③C2.準(zhǔn)備在一塊長為30m、寬為24m的長方形花圃內(nèi)修建四條寬度相等,且與各邊垂直的小路(如圖所示),四條小路圍成的中間部分恰好是一個正方形,且邊長是小路寬度的4倍.若四條小路所占面積為80m2,則小路的寬度為

m.

3.如圖,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動,點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動,點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時出發(fā).(1)經(jīng)過幾秒,△PBQ的面積等于8cm2?

(2)線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分?若能,請求出運(yùn)動時間;若不能,請說明理由.

列一元二次方程解決平均增長率問題

習(xí)近平總書記說:“讀書可以讓人保持思想活力,讓人得到智慧啟發(fā),讓人滋養(yǎng)浩然之氣.”某校為響應(yīng)我市全民閱讀活動,利用節(jié)假日面向社會開放學(xué)校圖書館.據(jù)統(tǒng)計,第一個月進(jìn)館1280人次,進(jìn)館人次逐月增加,到第三個月末累計進(jìn)館6080人次,若進(jìn)館人次的月平均增長率相同.(1)求進(jìn)館人次的月平均增長率;解:(1)設(shè)進(jìn)館人次的月平均增長率為x,由題意,得1280+1280(1+x)+1280(1+x)2=6080,化簡,得4x2+12x-7=0,解得x=0.5=50%或x=-3.5(舍去).答:進(jìn)館人次的月平均增長率為50%.(2)因條件限制,學(xué)校圖書館每月接納能力不超過5000人次,在進(jìn)館人次的月平均增長率不變的條件下,校圖書館能否接納第四個月的進(jìn)館人次,并說明理由.

[知識總結(jié)]增長(降低)率的問題利用公式a(1±x)2=b[其中a為初始數(shù)量,b為增(或減)后的數(shù)量].4.(2024·重慶A卷)隨著經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇,某公司近兩年的總收入逐年遞增.該公司2021年繳稅40萬元,2023年繳稅48.4萬元,則該公司這兩年繳稅的年平均增長率是

.10%5.德爾塔(Delta)是一種傳染性極強(qiáng)的毒株.某地有1人感染了德爾塔,因?yàn)闆]有及時隔離治療,經(jīng)過兩輪傳染后,一共有144人感染了德爾塔病毒,設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人.(1)用含x的代數(shù)式表示:經(jīng)過第一輪傳染后,共有多少人感染了德爾塔病毒?解:(1)∵每輪傳染中平均一個人傳染了x個人,∴經(jīng)過第一輪傳染后,共有(1+x)人感染了德爾塔病毒.(2)列方程求解:在每輪傳染中,平均一個人傳染了幾個人?(2)根據(jù)題意,得1+x+x(1+x)=144,即(1+x)2=144,解得x1=11,x2=-13