作課人：廉文杰數(shù)學(xué)之王——歐拉北師大版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊作課人：廉文杰焦作市外國語中學(xué)第四章

對數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)第4節(jié)

指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、

對數(shù)函數(shù)增長的比較

第1課時（共1課時）學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)目

標(biāo)重

點難

點1、利用計算工具，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長差異．2、結(jié)合實例體會不同函數(shù)類型增長的含義．1、體會不同函數(shù)類型增長的含義．1、體會不同函數(shù)類型增長的含義．新

課

引

入數(shù)學(xué)王子——高斯

2014年9月8日，美國《紐約時報》網(wǎng)站報道，世界衛(wèi)生組織當(dāng)天發(fā)布了一份關(guān)于利比里亞埃博拉疫情警告，警告稱感染人數(shù)正在呈指數(shù)增長，幾乎全國各處都有確診病例，而且所有的新治療設(shè)備都超負荷，“表明了患者數(shù)量之龐大以及其無法預(yù)見性”。新

課

引

入韋

達1.當(dāng)a＞1時，指數(shù)函數(shù)y=ax是增函數(shù)，2.當(dāng)x＞0，當(dāng)a越大時，其函數(shù)值的增長

就越快。指數(shù)函數(shù)新

課

引

入數(shù)學(xué)王子——高斯1.當(dāng)a＞1時，對數(shù)函數(shù)y=logax是增函數(shù)，2.當(dāng)x＞1時，當(dāng)a越小時，其函數(shù)值的增

長就越快。對數(shù)函數(shù)新

課

引

入韋

達1.當(dāng)x＞0，α＞0時，冪函數(shù)y=xα是增函數(shù)，2.當(dāng)x＞1，當(dāng)α越大時，其函數(shù)值的增長

就越快。yx-3-2-1O12654321y=x2y=x4冪函數(shù)新

課

引

入數(shù)學(xué)王子——高斯對于上述三種增加的函數(shù),它們的函數(shù)值的增長快慢有何差別呢?

指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞1,x＞0）對數(shù)函數(shù)y=logax（a＞1,x＞0）冪函數(shù)y=xα(α＞0,x＞0)學(xué)

習(xí)

新

知歐幾里得（約公元前300年）《幾何原本》函數(shù)y=2x,y=x3,y=log2x的函數(shù)值比較自變量x函數(shù)值y=2xy=x3y=log2x············12345············101112131415············x的變化區(qū)間函數(shù)值的變化量y=2xy=x3y=log2x············(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)············(10,11)(11,12)(12,13)(13,14)(14,15)············243281610242048409681921638432768182764125100013311728219727443375011.58422.3213.3213.4593.5843.7003.8073.90624816102420484096819216384719376133139746954763110.5840.4160.3210.1380.1250.1160.1070.099學(xué)

習(xí)

新

知阿基米德（公元前287年—公元前212年）《阿基米德全集》1、y=2x單調(diào)遞___，隨著x的增大，函數(shù)值增加

的速度越來越___。y=x3單調(diào)遞___，隨著x的增大，函數(shù)值增加

的速度越來越___。y=log2x單調(diào)遞__，隨著x的增大，函數(shù)值增

加的速度越來越__。2、y=log2x增加的速度比y=2x增加的速度_____y=log2x增加的速度比

y=x3增加的速度____3、y=2x增加的速度與y=x3增加的速度：

當(dāng)x較小時，y=x3比y=2x的增長要______;

當(dāng)x較大時，y=2x比y=x3的增長要______，

而且，隨著x的增大，y=2x比y=x3增長的速度越來越______。增增增快快快快慢慢慢快

x的變化區(qū)間函數(shù)值的變化量y=2xy=x3y=log2x············(1,2)271(2,3)4190.584(3,4)8370.416(4,5)16610.321············(10,11)10243310.138(11,12)20483970.125(12,13)40694690.116(13,14)81925470.107(14,15)163846310.099············指數(shù)函數(shù)值增長非?？?因而常稱這種現(xiàn)象為“指數(shù)爆炸”。學(xué)

習(xí)

新

知阿波羅尼奧斯（約公元前200年）

《圓錐曲線論》通過對y=2x,y=x3,y=log2x的函數(shù)值比較，我們可以發(fā)現(xiàn)：存在一個x0，使得當(dāng)x>x0時，有_________________.logax<xn<ax典

例

引

路牛

頓例1、已知冪函數(shù)y=x1.4、指數(shù)函數(shù)y=2x和對數(shù)函數(shù)y=lnx的圖像,如圖,則A表示函數(shù)

的圖像,B表示函數(shù)_______

的圖像,C表示函數(shù)

的圖像.y=2xy=x1.4y=lnx同

步

練

習(xí)無冕的數(shù)學(xué)之王——希爾伯特練1、當(dāng)x越來越大時下列函數(shù)中，增長速度最快的是（

）A.B.C.D.Dx1.003.005.007.009.0011.00y15135625171536456655y2529245218919685177149y35.006.106.616.957.207.40練2、已知如下表：其中呈對數(shù)函數(shù)變化的量是

_

，呈指數(shù)函數(shù)變化的量是

，呈冪函數(shù)變化的量是_____.典

例

引

路狄利克雷例2、判一判：(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)任何時候,函數(shù)y=2x都比y=log2x增長得快.(

)(2)三類增長型的函數(shù)模型在(0,+∞)上均為增函數(shù).(

)(3)函數(shù)y=2x與y=x2圖像交點的個數(shù)是2.(

)××√同

步

練

習(xí)解析幾何之父——笛卡爾練2、根據(jù)三個函數(shù)f(x)=2x,g(x)=2x,h(x)=log2x給出以下命題：(1)f(x),g(x),h(x)在其定義域上都是增函數(shù)；(2)f(x)的增長速度始終不變；(3)f(x)的增長速度越來越快；(4)g(x)的增長速度越來越快；(5)h(x)的增長速度越來越慢.其中正確說法的個數(shù)為()(A)2(B)3(C)4(D)5C練3、下列說法中,正確的有

.①冪函數(shù)增長比一次函數(shù)增長得快;②對任意x>0,xn>logax;③對任意x>0,ax>logax;④不一定存在x0,使x>x0時,總有ax>xn>logax.④典

例

引

路集合論之父——康托例3、假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下:方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；方案三：第一天回報1元，以后每天的回報比前一天翻一番．請問，你會選擇哪種投資方案？方案三:y==2n－1解析：設(shè)到第n天,總的回報為y元方案一:y=40n方案二:y=n×10+×10=5n(n+1)

第n天123456789101112131415方案一方案二方案三80401601202402003202803606005605204804404003210150100603010660550450360280112001050910780157633132767511255127204710238191409516383投資1—6天以下選方案一投資7天以下選方案一或方案二投資8天選方案二投資9天或9天以上選方案三同

步

練

習(xí)黎

曼練4、某汽車制造商在2020年初公告:公司計劃2020年生產(chǎn)目標(biāo)定為43萬

輛.已知該公司近三年的汽車生產(chǎn)量如下表所示:如果我們分別將2017,2018,2019,2020定義為第一、二、三、四年.現(xiàn)在有兩個函數(shù)模型:一元二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0)和指數(shù)函數(shù)模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,且b≠1),哪個模型能更好地反映該公司年產(chǎn)量y與年份x的關(guān)系?同

步

練

習(xí)龐加萊

典

例

引

路柯

西例4、方程2lnx=x2-4x+5的實根個數(shù)為（

）

A.3B.2C.1D.0解：∵方程2lnx＝x2－4x＋5的實根個數(shù)等價于函數(shù)f(x)＝2lnx與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋5的圖像交點的個數(shù)

∴作出函數(shù)f(x)＝2lnx，g(x)＝x2－4x＋5的圖像.B同

步

練

習(xí)萊布尼茲練5、比較0.32、log20.3、20.3的大小。解：令函數(shù)y1=x2,y2=log2x,y3=2x.在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出上述

三個函數(shù)的圖象如圖,然后作直線x=0.3,此直線必與上

述三個函數(shù)圖象相交.由圖象知log20.3<0.32<20.3.全

課

總

結(jié)一、在區(qū)間(0，＋∞)上，函數(shù)