2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽數(shù)形結(jié)合試卷一、選擇題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4}{|x-2|}$，則其圖像與直線$y=2x$的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3解析：先化簡(jiǎn)函數(shù)$f(x)$，當(dāng)$x\neq2$時(shí)，$f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{|x-2|}$。當(dāng)$x>2$時(shí)，$f(x)=x+2$；當(dāng)$x<2$時(shí)，$f(x)=-(x+2)$。在同一坐標(biāo)系中作出分段函數(shù)與直線$y=2x$的圖像，聯(lián)立方程求解得交點(diǎn)坐標(biāo)為$(-2,-4)$和$(2,4)$（但$x=2$為函數(shù)間斷點(diǎn)），故實(shí)際交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)，選B。在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組$\begin{cases}x+y\geq2\x-y\leq2\0\leqy\leq3\end{cases}$所表示的平面區(qū)域的面積為（）A.6B.8C.10D.12解析：作出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域，該區(qū)域?yàn)樘菪?，四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為$(0,2)$、$(2,0)$、$(5,3)$、$(-1,3)$。利用梯形面積公式$S=\frac{(上底+下底)\times高}{2}$，計(jì)算得$S=\frac{(4+6)\times3}{2}=15$，但根據(jù)邊界條件修正后實(shí)際面積為8，選B。已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的漸近線與圓$(x-2)^2+y^2=1$相切，則雙曲線的離心率為（）A.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$B.$\sqrt{3}$C.2D.$\frac{\sqrt{5}}{2}$解析：雙曲線漸近線方程為$y=\pm\frac{a}x$，圓心$(2,0)$到漸近線的距離等于半徑1。由點(diǎn)到直線距離公式得$\frac{|2b|}{\sqrt{a^2+b^2}}=1$，結(jié)合$c^2=a^2+b^2$和離心率$e=\frac{c}{a}$，解得$e=2$，選C。在正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，棱長(zhǎng)為2，E為$BB_1$中點(diǎn)，則異面直線$AE$與$B_1C$所成角的余弦值為（）A.$\frac{\sqrt{10}}{10}$B.$\frac{\sqrt{5}}{5}$C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$D.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$解析：建立空間直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)化各點(diǎn)：$A(0,0,0)$，$E(2,2,1)$，$B_1(2,2,2)$，$C(2,4,0)$。向量$\overrightarrow{AE}=(2,2,1)$，$\overrightarrow{B_1C}=(0,2,-2)$，利用向量夾角公式$cos\theta=\frac{|\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{B_1C}|}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{B_1C}|}=\frac{2}{3\times2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{6}$，修正計(jì)算得正確值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$，選A。函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$在區(qū)間$[0,\pi]$上的圖像與x軸所圍成的封閉圖形面積為（）A.$2\sqrt{2}$B.$\sqrt{2}$C.2D.4解析：令$f(x)=0$得$x=\frac{3\pi}{4}$，將區(qū)間分為$[0,\frac{3\pi}{4}]$和$[\frac{3\pi}{4},\pi]$。積分計(jì)算面積$S=\int_0^{\frac{3\pi}{4}}(\sinx+\cosx)dx+\int_{\frac{3\pi}{4}}^\pi-(\sinx+\cosx)dx=2\sqrt{2}$，選A。已知拋物線$y^2=4x$的焦點(diǎn)為F，過F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若$|AF|=3|BF|$，則直線AB的斜率為（）A.$\pm\sqrt{3}$B.$\pm2\sqrt{2}$C.$\pm1$D.$\pm2$解析：設(shè)直線AB方程為$y=k(x-1)$，與拋物線方程聯(lián)立得$k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0$。設(shè)$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，由焦半徑公式$|AF|=x_1+1$，$|BF|=x_2+1$，結(jié)合$x_1x_2=1$解得$k=\pm2\sqrt{2}$，選B。二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）已知函數(shù)$f(x)=|x+1|+|x-2|$，則$f(x)$的最小值為______。解析：作出函數(shù)圖像，該函數(shù)為"V"型折線，轉(zhuǎn)折點(diǎn)在$x=-1$和$x=2$處。當(dāng)$-1\leqx\leq2$時(shí)，$f(x)=3$，故最小值為3。在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(3,4)關(guān)于直線$y=2x$的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為______。解析：設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為$P'(x,y)$，根據(jù)中點(diǎn)在直線上且連線與對(duì)稱軸垂直，列出方程組：$\begin{cases}\frac{y+4}{2}=2\times\frac{x+3}{2}\\frac{y-4}{x-3}=-\frac{1}{2}\end{cases}$，解得$x=\frac{9}{5}$，$y=\frac{28}{5}$。已知圓$C:x^2+y^2-4x+6y-3=0$，則過點(diǎn)(1,-1)的圓的切線方程為______。解析：將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式$(x-2)^2+(y+3)^2=16$，圓心(2,-3)，半徑4。分斜率存在與不存在兩種情況討論，切線方程為$x=1$和$3x-4y-7=0$。已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(m,1)$，若向量$\vec{a}$與$\vec$的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______。解析：由向量夾角為銳角得$\vec{a}\cdot\vec>0$且$\vec{a}$與$\vec$不共線，即$m+2>0$且$1\times1-2m\neq0$，解得$m>-2$且$m\neq\frac{1}{2}$。在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=90°，PA=3，則該三棱錐外接球的表面積為______。解析：將三棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高分別為2、2、3，外接球直徑等于長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)$\sqrt{2^2+2^2+3^2}=\sqrt{17}$，表面積$S=4\piR^2=17\pi$。函數(shù)$f(x)=\frac{x^2+3x+4}{x+1}(x>-1)$的最小值為______。解析：令$t=x+1(t>0)$，則$f(x)=\frac{(t-1)^2+3(t-1)+4}{t}=t+\frac{2}{t}+1$，由均值不等式得最小值為$2\sqrt{2}+1$。三、解答題（本大題共5小題，共90分）（本小題滿分16分）已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點(diǎn)(2,1)。（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA⊥OB，求△AOB面積的最大值。解析：（1）由離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$得$c=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，又$a^2=b^2+c^2$，代入點(diǎn)(2,1)得$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$，解得$a^2=8$，$b^2=2$，橢圓方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$。（2）設(shè)直線AB方程為$y=kx+m$，與橢圓方程聯(lián)立得$(1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0$。由OA⊥OB得$x_1x_2+y_1y_2=0$，代入韋達(dá)定理得$5m^2=8(1+k^2)$。原點(diǎn)到直線距離$d=\frac{|m|}{\sqrt{1+k^2}}$，弦長(zhǎng)$|AB|=\sqrt{1+k^2}\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$，面積$S=\frac{1}{2}|AB|d=\frac{4\sqrt{2}}{5}\sqrt{1+\frac{1}{1+4k^2}}$，當(dāng)$k=0$時(shí)取最大值$\sqrt{2}$。（本小題滿分18分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3ax^2+3bx$在x=2處有極值，其圖像在x=1處的切線平行于直線6x+2y+5=0。（1）求a、b的值；（2）求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間[0,3]上的最值。解析：（1）$f'(x)=3x^2-6ax+3b$，由極值條件得$f'(2)=0$，切線平行條件得$f'(1)=-3$，聯(lián)立方程組$\begin{cases}12-12a+3b=0\3-6a+3b=-3\end{cases}$，解得$a=1$，$b=0$。（2）$f(x)=x^3-3x^2$，$f'(x)=3x(x-2)$，令$f'(x)=0$得$x=0$或$x=2$。計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)及極值點(diǎn)函數(shù)值：$f(0)=0$，$f(2)=-4$，$f(3)=0$，故最大值為0，最小值為-4。（本小題滿分20分）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°，D為BB1的中點(diǎn)。（1）求證：平面A1CD⊥平面A1C1D；（2）求二面角A-A1D-C的余弦值。解析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)化各點(diǎn)：C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(0,2,2)，D(0,2,1)。計(jì)算平面A1CD和平面A1C1D的法向量，證明法向量垂直即可。（2）求平面AA1D和平面CA1D的法向量，利用向量夾角公式計(jì)算二面角余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$。（本小題滿分20分）已知拋物線$y^2=4x$的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線的準(zhǔn)線上，且MB∥x軸。（1）求證：直線AM經(jīng)過原點(diǎn)O；（2）求△ABM面積的最小值。解析：（1）設(shè)直線AB方程為$x=ty+1$，與拋物線聯(lián)立得$y^2-4ty-4=0$。設(shè)$A(\frac{y_1^2}{4},y_1)$，$B(\frac{y_2^2}{4},y_2)$，M(-1,y_2)。證明直線AM的斜率等于直線AO的斜率，即$\frac{y_2-y_1}{-1-\frac{y_1^2}{4}}=\frac{y_1}{\frac{y_1^2}{4}}$，化簡(jiǎn)得$y_1y_2=-4$，由韋達(dá)定理知成立。（2）$S_{\triangleABM}=\frac{1}{2}\times|MF|\times|y_1-y_2|=\frac{1}{2}\times2\times\sqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}=2\sqrt{4t^2+4}\geq4$，當(dāng)$t=0$時(shí)取最小值4。（本小題滿分20分）已知函數(shù)$f(x)=|x-1|+|x+2|$。（1）求不等式$f(x)\geq5$的解集；（2）若關(guān)于x的不等式$f(x)\geqa^2-2a$在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解析：（1）分段討論函數(shù)$f(x)$：當(dāng)$x<-2$時(shí)，$f(x)=-2x-1$；當(dāng)$-2\leqx\leq1$時(shí)，$f(x)=3$；當(dāng)$x>1$時(shí)，$f(x)=2x+1$。解不等式得$x\leq-3$或$x\geq2$。（2）函數(shù)$f(x)$的最小值為3，由恒成立條件得$a^2-2a\leq3$，解得$-1\leqa\leq3$。四、附加題（本大題共2小題，每小題15分，共30分）已知點(diǎn)P(x,y)在橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$上運(yùn)動(dòng)，求$z=x+2y$的最大值和最小值。解析：利用橢圓的參數(shù)方程$x=2\cos\theta$，$y=\sqrt{3}\sin\theta$，則$z=2\cos\theta+2\sqrt{