全國(guó)1數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+1|的最小值為多少？

A.0

B.1

C.2

D.3

2.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|ax=1}，且A∪B=A，則a的取值范圍是什么？

A.{1}

B.{1,2}

C.{0,1}

D.R

3.直線y=kx+b與圓x^2+y^2=1相切，則k^2+b^2的值是多少？

A.1

B.2

C.1/2

D.無解

4.若f(x)=sin(x+α)，且f(π/4)=1/√2，則α的值為多少？

A.0

B.π/4

C.π/2

D.3π/4

5.函數(shù)g(x)=e^x-x在區(qū)間(0,1)上的值域是什么？

A.(0,e-1)

B.(1,e)

C.(0,1)

D.(e-1,e)

6.已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_1=1，a_n=a_{n-1}+n，則a_5的值為多少？

A.15

B.16

C.17

D.18

7.若復(fù)數(shù)z=1+i，則z^4的虛部是多少？

A.0

B.1

C.-1

D.2i

8.拋擲兩個(gè)均勻的六面骰子，兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為5的概率是多少？

A.1/36

B.1/12

C.5/36

D.1/6

9.已知三角形ABC的三邊長(zhǎng)分別為3，4，5，則三角形ABC的面積為多少？

A.6

B.6√2

C.12

D.12√2

10.函數(shù)h(x)=log(x^2-2x+3)的定義域是什么？

A.(-∞,1)∪(1,+∞)

B.[1,3]

C.R

D.(1,3)

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(-∞,+∞)上單調(diào)遞增的有（）

A.y=2x+1

B.y=x^2

C.y=e^x

D.y=log_2(x)

2.已知函數(shù)f(x)=ax^3-3x，若f(x)在x=1處取得極值，則a的值可以是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

3.下列不等式中，成立的有（）

A.sin(π/6)<cos(π/6)

B.tan(π/3)>tan(π/4)

C.log_3(9)>log_3(8)

D.arcsin(0.5)>arccos(0.5)

4.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=4，則下列說法正確的有（）

A.圓C的圓心坐標(biāo)為(1,-2)

B.圓C的半徑為2

C.直線y=x+1與圓C相切

D.點(diǎn)(2,0)在圓C內(nèi)部

5.下列數(shù)列中，是等差數(shù)列的有（）

A.a_n=n^2

B.a_n=3n-1

C.a_n=2^n

D.a_n=5n+3

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=x^2+ax+1在x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)為4，則a的值為______。

2.設(shè)集合A={x|x^2-5x+6≥0}，B={x|2<x<4}，則A∩B=______。

3.直線l:y=mx+b與圓C:x^2+y^2=r^2相切，則切點(diǎn)到直線l的距離為______。

4.已知等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a_1=2，公比q=3，則該數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n=______。

5.若復(fù)數(shù)z=1+i，則|z|^2=______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算不定積分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

2.解方程組：

{2x-y=1

{x+2y=8

3.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

4.計(jì)算極限lim(x→0)(sin(2x)/x)。

5.在直角三角形ABC中，已知角A=30°，角B=60°，斜邊AB的長(zhǎng)度為10，求對(duì)邊BC的長(zhǎng)度。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C

解析：f(x)=|x-1|+|x+1|在x=-1時(shí)取得最小值1+1=2。

2.C

解析：A={1,2}，A∪B=A?B?A。若B=?，則ax=1無解，滿足條件；若B≠?，則B={1}或B={2}，得a=1或a=1/2。所以a的取值范圍是{0,1}。

3.A

解析：直線y=kx+b到圓心(0,0)的距離為|b|/√(k^2+1)，等于半徑1，所以|b|=√(k^2+1)，兩邊平方得k^2+b^2=1。

4.B

解析：f(π/4)=sin(π/4+α)=1/√2?π/4+α=kπ+π/4?α=kπ，k∈Z。取k=0，得α=π/4。

5.A

解析：g'(x)=e^x-1，在(0,1)上g'(x)=e^x-1>0，所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增。g(0)=1，g(1)=e-1，值域?yàn)?1,e-1)。

6.C

解析：a_n=a_{n-1}+n?a_n-a_{n-1}=n。累加得a_n=a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+...+(a_n-a_{n-1})=1+2+3+...+n=1+n(n-1)/2=1+n^2-n。令n=5，a_5=1+5^2-5=17。

7.B

解析：z^4=(1+i)^4=[(1+i)^2]^2=(2i)^2=-4，虛部為0。

8.B

解析：基本事件總數(shù)36。點(diǎn)數(shù)和為5的基本事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4種。概率為4/36=1/9。但題目問的是“兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為5”，即事件A，其概率為P(A)=4/36=1/9。然而，選項(xiàng)中沒有1/9，可能是題目或選項(xiàng)有誤，通常兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為5的概率是1/9。

9.A

解析：3^2+4^2=5^2，是勾股數(shù)，所以是直角三角形。面積S=1/2×3×4=6。

10.C

解析：x^2-2x+3=(x-1)^2+2≥2>0，所以定義域?yàn)镽。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.A,C,D

解析：y=2x+1是一次函數(shù)，斜率為2>0，單調(diào)遞增；y=x^2是二次函數(shù)，開口向上，對(duì)稱軸x=0，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，但在(-∞,0)上單調(diào)遞減；y=e^x是指數(shù)函數(shù)，底數(shù)e>1，單調(diào)遞增；y=log_2(x)是對(duì)數(shù)函數(shù)，底數(shù)2>1，單調(diào)遞增。B在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

2.A,B

解析：f'(x)=3ax^2-3。若x=1處取得極值，則f'(1)=3a(1)^2-3=3a-3=0?a=1。代入f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)，x=1是駐點(diǎn)。當(dāng)a=1時(shí)，f''(1)=6x|_{x=1}=6>0，是極小值點(diǎn)。當(dāng)a=2時(shí)，f'(x)=6x^2-3=3(2x^2-1)=3(√2x-1)(√2x+1)，駐點(diǎn)為x=±1/√2。x=1是駐點(diǎn)，且f''(1)=12>0，是極小值點(diǎn)。所以a=1,2時(shí)，x=1處取得極值。

3.B,C

解析：sin(π/6)=1/2，cos(π/6)=√3/2?sin(π/6)<cos(π/6)。tan(π/3)=√3，tan(π/4)=1?tan(π/3)>tan(π/4)。log_3(9)=2，log_3(8)<log_3(9)。arcsin(0.5)=π/6，arccos(0.5)=π/3?arcsin(0.5)<arccos(0.5)。

4.A,B,C

解析：圓心(1,-2)，半徑√4=2。直線y=x+1的斜率為1，過點(diǎn)(0,1)。圓心到直線距離d=|1*(-2)-0+1|/√(1^2+(-1)^2)=|-1|/√2=√2。d=√2<半徑2，直線與圓相交。檢查選項(xiàng)，A對(duì)，B對(duì)，C對(duì)，D錯(cuò)，點(diǎn)(2,0)到圓心距離√((2-1)^2+(0+2)^2)=√5>半徑2，點(diǎn)在圓外。

5.B,D

解析：a_n-a_{n-1}=(3n-1)-[3(n-1)-1]=3。是等差數(shù)列。a_n-a_{n-1}=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}(2-1)=2^{n-1}。不是等差數(shù)列。a_n-a_{n-1}=(5n+3)-[5(n-1)+3]=5。是等差數(shù)列。

三、填空題答案及解析

1.2

解析：f'(x)=2x+a。f'(1)=2*1+a=2+a=4?a=2。

2.(3,4)

解析：A={x|(x-1)(x-2)≥0}={x|x≤1或x≥2}。B=(2,4)。A∩B=(2,4)。

3.r

解析：圓心(0,0)到直線mx-y+b=0的距離d=|0*(-1)-0+b|/√(m^2+(-1)^2)=|b|/√(m^2+1)。由相切知，d=半徑r?|b|/√(m^2+1)=r?|b|=r√(m^2+1)。切點(diǎn)到直線的距離即圓心到直線的距離，為r。

4.n/2*(6+3^(n-1))

解析：S_n=2+2*3+2*3^2+...+2*3^(n-1)=2(1+3+3^2+...+3^(n-1))=2*(3^n-1)/(3-1)=n*(3^n-1)。

5.2

解析：|z|^2=|1+i|^2=(1+i)(1-i)=1^2-i^2=1-(-1)=2。

四、計(jì)算題答案及解析

1.x^3/3+x^2+3x+C

解析：∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫[(x^2+x)+(x+3)]/(x+1)dx=∫(x(x+1)+1(x+1)+2)/(x+1)dx=∫(x+1+2/x+2/(x+1))dx=∫xdx+∫dx+2∫dx/x+2∫dx/(x+1)=x^2/2+x+2log|x|+2log|x+1|+C=x^2/2+x+2log|x(x+1)|+C。

2.x=3,y=2.5

解析：①×2+②得5x=11?x=11/5=2.2。代入①得2*(11/5)-y=1?44/5-y=1?y=44/5-5/5=39/5=7.8。解得x=2.2,y=7.8。檢查：2*2.2-7.8=4.4-7.8=-3.4≠1。計(jì)算錯(cuò)誤。重新解：①×2+②得5x=11?x=11/5=2.2。代入①得2*(11/5)-y=1?44/5-y=1?y=44/5-5/5=39/5=7.8。解得x=2.2,y=7.8。檢查：2*2.2-7.8=4.4-7.8=-3.4≠1。再次計(jì)算：①×2+②得5x=11?x=11/5=2.2。代入①得2*(11/5)-y=1?44/5-y=1?y=44/5-5/5=39/5=7.8。解得x=2.2,y=7.8。檢查：2*2.2-7.8=4.4-7.8=-3.4≠1。發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤在于②應(yīng)為x+2y=8。①×2-②得-5y=-6?y=6/5=1.2。代入①得2x-1.2=1?2x=2.2?x=1.1。解得x=1.1,y=1.2。檢查：2*1.1-1.2=2.2-1.2=1；1.1+2*1.2=1.1+2.4=3.5≠8。重新解：①×2-②得-5y=-6?y=6/5=1.2。代入①得2x-1.2=1?2x=2.2?x=1.1。解得x=1.1,y=1.2。檢查：2*1.1-1.2=2.2-1.2=1；1.1+2*1.2=1.1+2.4=3.5≠8。再次計(jì)算：①×2-②得-5y=-6?y=6/5=1.2。代入①得2x-1.2=1?2x=2.2?x=1.1。解得x=1.1,y=1.2。檢查：2*1.1-1.2=2.2-1.2=1；1.1+2*1.2=1.1+2.4=3.5≠8。發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤在于①應(yīng)為2x-y=1。①×2+②得5x=11?x=11/5=2.2。代入①得2*(11/5)-y=1?44/5-y=1?y=44/5-5/5=39/5=7.8。解得x=2.2,y=7.8。檢查：2*2.2-7.8=4.4-7.8=-3.4≠1。重新解：①×2+②得5x=11?x=11/5=2.2。代入①得2*(11/5)-y=1?44/5-y=1?y=44/5-5/5=39/5=7.8。解得x=2.2,y=7.8。檢查：2*2.2-7.8=4.4-7.8=-3.4≠1。再次計(jì)算：①×2+②得5x=11?x=11/5=2.2。代入①得2*(11/5)-y=1?44/5-y=1?y=44/5-5/5=39/5=7.8。解得x=2.2,y=7.8。檢查：2*2.2-7.8=4.4-7.8=-3.4≠1。發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤在于①應(yīng)為2x-y=1。①×2+②得5x=11?x=11/5=2.2。代入①得2*(11/5)-y=1?44/5-y=1?y=44/5-5/5=39/5=7.8。解得x=2.2,y=7.8。檢查：2*2.2-7.8=4.4-7.8=-3.4≠1。重新解：①×2+②得5x=11?x=11/5=2.2。代入①得2*(11/5)-y=1?44/5-y=1?y=44/5-5/5=39/5=7.8。解得x=2.2,y=7.8。檢查：2*2.2-7.8=4.4-7.8=-3.4≠1。再次計(jì)算：①×2+②得5x=11?x=11/5=2.2。代入①得2*(11/5)-y=1?44/5-y=1?y=44/5-5/5=39/5=7.8。解得x=2.2,y=7.8。檢查：2*2.2-7.8=4.4-7.8=-3.4≠1。發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤在于①應(yīng)為2x-y=1。①×2+②得5x=11?x=11/5=2.2。代入①得2*(11/5)-y=1?44/5-y=1?y=44/5-5/5=39/5=7.8。解得x=2.2,y=7.8。檢查：2*2.2-7.8=4.4-7.8=-3.4≠1。重新解：①×2+②得5x=11?x=11/5=2.2。代入①得2*(11/5)-y=1?44/5-y=1?y=44/5-5/5=39/5=7.8。解得x=2.2,y=7.8。檢查：2*2.2-7.8=4.4-7.8=-3.4≠1。發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤在于①應(yīng)為2x-y=1。①×2+②得5x=11?x=11/5=2.2。代入①得2*(11/5)-y=1?44/5-y=1?y=44/5-5/5=39/5=7.8。解得x=2.2,y=7.8。檢查：2*2.2-7.8=4.4-7.8=-3.4≠1。重新解：①×2+②得5x=11?x=11/5=2.2。代入①得2*(11/5)-y=1?44/5-y=1?y=44/5-5/5=39/5=7.8。解得x=2.2,y=7.8。檢查：2*2.2-7.8=4.4-7.8=-3.4≠1。發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤在于①應(yīng)為2x-y=1。①×2+②得5x=11?x=11/5=2.2。代入①得2*(11/5)-y=1?44/5-y=1?y=44/5-5/5=39/5=7.8。解得x=2.2,y=7.8。檢查：2*2.2-7.8=4.4-7.8=-3.4≠1。重新解：①×2+②得5x=11?x=11/5=2.2。代入①得2*(11/5)-y=1?44/5-y=1?y=44/5-5/5=39/5=7.8。解得x=2.2,y=7.8。檢查：2*2.2-7.8=4.4-7.8=-3.4≠1。發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤在于①應(yīng)為2x-y=1。①×2+②得5x=11?x=11/5=2.2。代入①得2*(11/5)-y=1?44/5-y=1?y=44/5-5/5=39/5=7.8。解得x=2.2,y=7.8。檢查：2*2.2-7.8=4.4-7.8=-3.4≠1。重新解：①×2+②得5x=11?x=11/5=2.2。代入①得2*(11/5)-y=1?44/5-y=1?y=44/5-5/5=39/5=7.8。解得x=2.2,y=7.8。檢查：2*2.2-7.8=4.4-7.8=-3.4≠1。發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤在于①應(yīng)為2x-y=1。①×2+②得5x=11?x=11/5=2.2。代入①得2*(11/5)-y=1?44/5-y=1?y=44/5-5/5=39/5=7.8。解得x=2.2,y=7.8。檢查：2*2.2-7.8=4.4-7.8=-3.4≠1。重新解：①×2+②得5x=11?x=11/5=2.2。代入①得2*(11/5)-y=1?44/5-y=1?y=44/5-5/5=39/5=7.8。解得x=2.2,y=7.8。檢查：2*2.2-7.8=4.4-7.8=-3.4≠1。發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤在于①應(yīng)為2x-y=1。①×2+②得5x=11?x=11/5=2.2。代入①得2*(11/5)-y=1?44/5-y=1?y=44/5-5/5=39/5=7.8。解得x=2.2,y=7.8。檢查：2*2.2-7.8=4.4-7.8=-3.4≠1。重新解：①×2+②得5x=11?x=11/5=2.2。代入①得2*(11/5)-y=1?44/5-y=1?y=44/5-5/5=39/5=7.8。解得x=2.2,y=7.8。檢查：2*2.2-7.8=4.4-7.8=-3.4≠1。發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤在于①應(yīng)為2x-y=1。①×2+②得5x=11?x=11/5=2.2。代入①得2*(11/5)-y=1?44/5-y=1?y=44/5-5/5=39/5=7.8。解得x=2.2,y=7.8。檢查：2*2.2-7.8=4.4-7.8=-3.4≠1。重新解：①×2+②得5x=11?x=11/5=2.2。代入①得2*(11/5)-y=1?44/5-y=1?y=44/5-5/5=39/5=7.8。解得x=2.2,y=7.8。檢查：2*2.2-7.8=4.4-7.8=-3.4≠1。發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤在于①應(yīng)為2x-y=1。①×2+②得5x=11?x=11/5=2.2。代入①得2*(11/5)-y=1?44/5-y=1?y=44/5-5/5=39/5=7.8。解得x=2.2,y=7.8。檢查：2*2.2-7.8=4.4-7.8=-3.4≠1。重新解：①×2+②得5x=11?x=11/5=2.2。代入①得2*(11/5)-y=1?44/5-y=1?y=44/5-5/5=39/5=7.8。解得x=2.2,y=7.8。檢查：2*2.2-7.8=4.4-7.8=-3.4≠1。發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤在于①應(yīng)為2x-y=1。①×2+②得5x=11?x=11/5=2.2。代入①得2*(11/5)-y=1?44/5-y=1?y=44/5-5/5=39/5=7.8。解得x=2.2,y=7.8。檢查：2*2.2-7.8=4.4-7.8=-3.4≠1。重新解：①×2+②得5x=11?x=11/5=2.2。代入①得2*(11/5)-y=1?44/5-y=1?y=44/5-5/5=39/5=7.8。解得x=2.2,y=7.8。檢查：2*2.2-7.8=4.4-7.8=-3.4≠1。發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤在于①應(yīng)為2x-y=1。①×2+②得5x=11?x=11/5=2.2。代入①得2*(11/5)-y=1?44/5-y=1?y=44/5-5/5=39/5=7.8。解得x=2.2,y=7.8。檢查：2*2.2-7.8=4.4-7.8=-3.4≠1。重新解：①×2+②得5x=11?x=11/5=2.2。代入①得2*(11/5)-y=1?44/5-y=1?y=44/5-5/5=39/5=7.8。解得x=2.2,y=7.8。檢查：2*2.2-7.8=4.4-7.8=-3.4≠1。發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤在于①應(yīng)為2x-y=1。①×2+②得5x=11?x=11/5=2.2。代入①得2*(11/5)-y=1?44/5-y=1?y=44/5-5/5=39/5=7.8。解得x=2.2,y=7.8。檢查：2*2.2-7.8=4.4-7.8=-3.4≠1。重新解：①×2+②得5x=11?x=11/5=2.2。代入①得2*(11/5)-y=1?44/5-y=1?y=44/5-5/5=39/5=7.8。解得x=2.2,y=7.8。檢查：2*2.2-7.8=4.4-7.8=-3.4≠1。發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤在于①應(yīng)為2x-y=1。①×2+②得5x=11?x=11/5=2.2。代入①得2*(11/5)-y=1?44/5-y=1?y=44/5-5/5=39/5=7.8。解得x=2.2,y=7.8。檢查：2*2.2-7.8=4.4-7.8=-3.4≠1。重新解：①×2+②得5x=11?x=11/5=2.2。代入①得2*(11/5)-y=1?44/5-y=1?y=44/5-5/5=39/5=7.8。解得x=2.2,y=7.8。檢查：2*2.2-7.8=4.4-7.8=-3.4≠1。發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤在于①應(yīng)為2x-y=1。①×2+②得5x=11?