2025年下學期高中數(shù)學量化交易數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）某量化交易策略使用移動平均線交叉作為交易信號，當5日移動平均線從下方突破20日移動平均線時產(chǎn)生買入信號。已知某股票過去25個交易日的收盤價分別為（單位：元）：12.3,12.5,12.8,13.1,13.0,13.2,13.5,13.3,13.6,13.8,14.0,14.2,14.1,14.3,14.5,14.7,14.6,14.8,15.0,15.2,15.1,15.3,15.5,15.4,15.6。若今日為第25個交易日，下列說法正確的是（）A.今日5日移動平均線數(shù)值為15.32元B.今日20日移動平均線數(shù)值為14.05元C.今日產(chǎn)生買入信號D.過去5個交易日收盤價的方差為0.0256在量化交易中，夏普比率（SharpeRatio）是衡量超額收益與風險的重要指標，其計算公式為$SR=\frac{E(R_p)-R_f}{\sigma_p}$，其中$E(R_p)$為投資組合預(yù)期收益率，$R_f$為無風險利率，$\sigma_p$為投資組合收益率的標準差。若某策略的預(yù)期年化收益率為18%，無風險利率為3%，收益率標準差為25%，則該策略的夏普比率為（）A.0.48B.0.60C.0.72D.0.84某量化模型采用Logistic回歸進行股價漲跌預(yù)測，輸入特征包括市盈率（PE）、市凈率（PB）和成交量變化率（VCR），模型輸出為上漲概率$P=\frac{1}{1+e^{-(β_0+β_1PE+β_2PB+β_3VCR)}}$。若模型參數(shù)為$β_0=-1.2$，$β_1=0.05$，$β_2=-0.1$，$β_3=0.8$，當某股票PE=20，PB=2.5，VCR=1.5時，該模型預(yù)測上漲的概率約為（）A.68.2%B.73.1%C.78.5%D.82.4%假設(shè)某股票價格服從幾何布朗運動$dS_t=μS_tdt+σS_tdW_t$，其中$μ$為漂移率，$σ$為波動率，$W_t$為標準布朗運動。已知當前股價$S_0=100$元，$μ=0.15$（年化），$σ=0.3$（年化），無風險利率$r=0.03$（連續(xù)復(fù)利）。若采用蒙特卡洛模擬預(yù)測1年后股價的期望值，下列說法正確的是（）A.股價的對數(shù)服從均值為$\ln100+0.15t$，方差為$0.09t$的正態(tài)分布B.1年后股價的期望值為$100e^{0.15}$元C.模擬10000次與模擬1000次相比，預(yù)測結(jié)果的標準差將降低為原來的$\frac{1}{\sqrt{10}}$D.若波動率增加至0.4，則1年后股價的期望值將上升量化交易中的配對交易策略通常基于兩只股票價格的協(xié)整關(guān)系。已知股票A和股票B的價格序列存在協(xié)整關(guān)系，協(xié)整方程為$P_A=α+βP_B+ε_t$，其中$ε_t$為平穩(wěn)序列。若當前$P_A=50$元，$P_B=20$元，協(xié)整參數(shù)$α=5$，$β=2.2$，則當前價差$ε_t$為（）A.-1元B.0元C.1元D.2元某量化策略采用均線回歸策略，當股價偏離均線超過2個標準差時觸發(fā)交易。已知某股票的20日移動平均線為50元，標準差為2.5元，當前股價為44元，下列操作正確的是（）A.股價低于下軌（45元），觸發(fā)買入信號B.股價低于下軌（47.5元），觸發(fā)買入信號C.股價低于下軌（45元），觸發(fā)賣出信號D.股價低于下軌（47.5元），觸發(fā)賣出信號在期權(quán)定價的Black-Scholes模型中，看漲期權(quán)價格$C=S_tN(d_1)-Ke^{-r(T-t)}N(d_2)$，其中$d_1=\frac{\ln(S_t/K)+(r+\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}$，$d_2=d_1-\sigma\sqrt{T-t}$。若當前股價$S_t=120$元，執(zhí)行價$K=110$元，剩余期限$T-t=0.25$年，無風險利率$r=0.04$，波動率$\sigma=0.3$，則$d_1$的值為（）A.0.682B.0.735C.0.814D.0.926某量化基金采用等權(quán)重配置5只股票，各股票的預(yù)期收益率分別為12%、15%、8%、20%、10%，收益率標準差分別為20%、25%、15%、30%、18%，且任意兩只股票的相關(guān)系數(shù)均為0.3。該投資組合的預(yù)期收益率為（）A.13.0%B.13.8%C.14.5%D.15.2%在量化回測中，最大回撤（MaximumDrawdown）是衡量策略風險的關(guān)鍵指標，其計算公式為$MDD=\max\left(1-\frac{P_t}{P_{\text{peak}}}\right)$，其中$P_{\text{peak}}$為回測期內(nèi)的最高凈值，$P_t$為后續(xù)凈值。若某策略的凈值曲線為：1.00→1.15→1.08→1.20→1.10→1.30→1.25→1.40，則該策略的最大回撤為（）A.5.26%B.6.67%C.7.14%D.8.33%某高頻交易策略的訂單執(zhí)行延遲服從正態(tài)分布$N(μ,σ^2)$，已知平均延遲$μ=5$毫秒，標準差$σ=1.5$毫秒。為控制風險，需確保99%的訂單執(zhí)行延遲不超過某閾值$x$，則$x$的值約為（）（參考數(shù)據(jù)：$Φ(2.33)=0.99$，$Φ(2.58)=0.995$）A.7.45毫秒B.7.99毫秒C.8.33毫秒D.8.75毫秒量化交易中的倉位管理常采用凱利公式（KellyCriterion），最優(yōu)倉位$f^*=\frac{p(b+1)-1}$，其中$p$為盈利概率，$b$為盈虧比（盈利金額/虧損金額）。若某策略的勝率為60%，盈虧比為2:1，則最優(yōu)倉位比例為（）A.30%B.35%C.40%D.45%某量化模型使用傅里葉變換對股票價格序列進行周期分析，已知價格序列$P(t)$的傅里葉變換為$F(ω)=\int_{-\infty}^{\infty}P(t)e^{-iωt}dt$，其中$ω$為角頻率。若價格序列存在以20個交易日為周期的波動，則在頻譜圖中顯著的頻率$f$為（）A.0.025次/日B.0.05次/日C.0.1次/日D.0.2次/日二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）某量化策略在過去100個交易日的日收益率數(shù)據(jù)如下表所示（單位：%）：收益率區(qū)間[-2,-1)[-1,0)[0,1)[1,2)[2,3]天數(shù)52045255則該策略的日收益率中位數(shù)為________%，年化收益率約為________%（一年按250個交易日計算，忽略復(fù)利效應(yīng)）。假設(shè)某股票的日收益率服從正態(tài)分布$N(0.02%,0.16%)$，則該股票連續(xù)兩個交易日上漲的概率為________（精確到小數(shù)點后四位），20個交易日內(nèi)最大單日虧損超過0.5%的概率為________（參考數(shù)據(jù)：$Φ(0.125)=0.5498$，$Φ(3.25)=0.9994$）。某量化交易系統(tǒng)采用RSI（相對強弱指數(shù)）指標判斷超買超賣，計算公式為$RSI=100-\frac{100}{1+RS}$，其中$RS=\frac{過去n日平均上漲幅度}{過去n日平均下跌幅度}$。若過去14日上漲交易日的漲幅分別為1.2%、0.8%、1.5%、0.5%、2.0%，下跌交易日的跌幅分別為0.6%、1.0%、0.4%，則該股票當前的RSI值為________（精確到整數(shù)），處于________（填“超買”“超賣”或“正?！保﹨^(qū)間。某多因子模型包含市值因子（MKT）、價值因子（VAL）和動量因子（MOM），其收益率公式為$R_i=α_i+β_{i,MKT}R_{MKT}+β_{i,VAL}R_{VAL}+β_{i,MOM}R_{MOM}+ε_i$。若某股票的因子暴露度為$β_{MKT}=1.2$，$β_{VAL}=-0.5$，$β_{MOM}=0.8$，當日各因子收益率為$R_{MKT}=1.5%$，$R_{VAL}=-0.3%$，$R_{MOM}=0.6%$，殘差$ε_i=0.2%$，則該股票當日的收益率為________%。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（10分）某量化策略對某股票進行網(wǎng)格交易，設(shè)定價格區(qū)間為[40元,60元]，將區(qū)間等分為10個網(wǎng)格，每個網(wǎng)格寬度為2元。當股價跌破網(wǎng)格下限時買入1000股，突破網(wǎng)格上限時賣出1000股，在網(wǎng)格區(qū)間內(nèi)，股價每下跌一個網(wǎng)格買入500股，每上漲一個網(wǎng)格賣出500股。（1）若股價從45元開始，依次經(jīng)歷43→47→45→49→51→48→53元，計算該過程中的總交易股數(shù)和最終持倉量；（2）若該股票的交易傭金為0.03%（雙向收取，最低5元/筆），印花稅為0.1%（賣出時收?。嬎闵鲜鼋灰走^程的總交易成本（精確到元）。（12分）某量化團隊用ARIMA模型預(yù)測股票日收益率，模型表達式為$r_t=φ_1r_{t-1}+θ_1ε_{t-1}+ε_t$，其中$r_t$為日收益率，$ε_t$為白噪聲序列（$E(ε_t)=0$，$Var(ε_t)=σ^2$）。（1）寫出該模型的類型（ARIMA(p,d,q)），并解釋參數(shù)$φ_1$和$θ_1$的經(jīng)濟含義；（2）若模型估計結(jié)果為$φ_1=0.3$，$θ_1=-0.2$，前一日收益率$r_{t-1}=0.8%$，前一日殘差$ε_{t-1}=-0.5%$，預(yù)測今日收益率$r_t$；（3）若殘差序列的自相關(guān)系數(shù)ACF和偏自相關(guān)系數(shù)PACF均在95%置信區(qū)間內(nèi)（±1.96/√n，n=200），判斷該模型是否滿足白噪聲假設(shè)，并說明理由。（12分）某量化基金計劃配置A、B兩只股票，已知A股票的預(yù)期年化收益率為15%，標準差為20%；B股票的預(yù)期年化收益率為10%，標準差為15%；兩只股票的相關(guān)系數(shù)為0.2。無風險利率為4%。（1）計算A、B股票構(gòu)成的最小方差組合的權(quán)重及預(yù)期收益率；（2）若該基金追求夏普比率最大化，計算最優(yōu)風險資產(chǎn)組合中A、B股票的權(quán)重，并比較該組合與最小方差組合的風險-收益特征。（12分）在期權(quán)套利策略中，蝶式價差組合由買入一份低執(zhí)行價期權(quán)、賣出兩份中間執(zhí)行價期權(quán)、買入一份高執(zhí)行價期權(quán)構(gòu)成。某投資者構(gòu)建了一個歐式看漲期權(quán)蝶式組合：買入執(zhí)行價K1=90元的期權(quán)（權(quán)利金C1=12元），賣出兩份執(zhí)行價K2=100元的期權(quán)（權(quán)利金C2=6元），買入執(zhí)行價K3=110元的期權(quán)（權(quán)利金C3=3元），所有期權(quán)的到期日相同，標的股票當前價格為100元。（1）畫出該組合到期日的損益圖，并標注關(guān)鍵節(jié)點的損益值；（2）計算該組合的最大盈利、最大虧損及盈虧平衡點；（3）若到期日標的股票價格為105元，計算該組合的實際盈虧。（12分）某量化模型采用支持向量機（SVM）進行交易信號識別，輸入特征為標準化后的MACD值（x1）和RSI值（x2），輸出為1（買入）或-1（賣出）。已知訓練樣本中兩類信號的特征如下：買入信號（+1）：(0.8,1.2),(1.1,0.9),(0.9,1.0)賣出信號（-1）：(-0.7,-0.5),(-0.9,-0.8),(-0.6,-1.0)（1）計算兩類樣本的均值向量，并判斷是否線性可分；（2）若分類超平面為$w_1x_1+w_2x_2+b=0$，且滿足$w_1^2+w_2^2=1$，求該超平面方程（保留兩位小數(shù)）；（3）若某新樣本的特征為(0.5,0.3)，判斷該樣本對應(yīng)的交易信號。（12分）某高頻交易公司為優(yōu)化訂單路由策略，需評估兩個交易所的流動性指標。定義流動性成本為：當以當前最優(yōu)買價（Bid）買入1000股的成本與以當前最優(yōu)賣價（Ask）賣出1000股的成本之差，即$LC=1000×(Ask-Bid)$。收集到兩個交易所的50筆訂單簿數(shù)據(jù)如下：交易所A：LC均值=80元，標準差=25元交易所B：LC均值=95元，標準差=30元（1）在顯著性水平α=0.05下，檢驗兩個交易所的流動性成本是否存在顯著差異（假設(shè)方差齊性，參考數(shù)據(jù)：t0.025(98)=1.984）；（2）若交易所A的訂單簿深度（最優(yōu)報價下的股數(shù)）服從正態(tài)分布N(5000,10002)，計算以最優(yōu)買價買入2000股的概率；（3）結(jié)合量化交易實踐，分析流動性成本與訂單執(zhí)行風險的關(guān)系。四、附加題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。不計入總分，供學有余力的學生選做）某量化策略采用LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測股價，輸入層為10個特征，隱藏層為2層（分別含64和32個神經(jīng)元），輸出層為1個神經(jīng)元（預(yù)測次日收盤價）。（1）若采用Adam優(yōu)化器，學習率為0.001，批大?。╞atchsize）為32，簡述模型訓練過程中“過擬合”的表現(xiàn)及常用解決方法；（2）若訓練集的平均絕對誤差（MAE）為0.5元，測試集MAE為2.3元，判斷模型是否過擬合，并提出至少三種改進措施?？紤]一個包含現(xiàn)金（C）、股票（S）和期貨（F）的三資產(chǎn)套利模型，已知股票現(xiàn)價S=50元，期貨價格F=52元，期貨到期日為3個月，無風險年利率r=4%（連續(xù)復(fù)利），股票預(yù)期股息率d=2%。（1）計算該期貨的理論價格，并判斷是否存在套利機會；（2）若存在套利機會，設(shè)計無風險套利策略，并計算每手（100股）的套利利潤（不考慮交易成本）。參考答案及評分標準（部分）一、選擇題A2.B3.C4.C5.A6.A7.B8.