2025年下學期高中數(shù)學能力點貫通試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|log?(x-1)=0}，則A∩B=（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.?函數(shù)f(x)=√(x-1)+log?(3-x)的定義域是（）A.[1,3)B.(1,3]C.[1,3]D.(1,3)已知向量a=(2,3)，b=(m,-6)，且a//b，則m的值為（）A.-4B.4C.-9D.9已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，則cos(α-π/4)=（）A.-7√2/10B.7√2/10C.-√2/10D.√2/10已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1=1，a3+a5=14，則數(shù)列{an}的公差d=（）A.1B.2C.3D.4已知直線l1:2x-y+1=0，l2:ax+4y-2=0，若l1⊥l2，則a的值為（）A.-2B.2C.-8D.8已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.(-∞,0)B.(0,2)C.(2,+∞)D.(-∞,0)∪(2,+∞)已知圓C:x2+y2-4x+6y-3=0，則圓C的圓心坐標和半徑分別是（）A.(2,-3)，4B.(-2,3)，4C.(2,-3)，16D.(-2,3)，16已知拋物線y2=4x的焦點為F，點P在拋物線上，且|PF|=5，則點P的橫坐標是（）A.3B.4C.5D.6已知某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）A.8πcm3B.12πcm3C.16πcm3D.20πcm3已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π/2)的圖象關(guān)于直線x=π/6對稱，則φ的值為（）A.π/6B.π/3C.-π/6D.-π/3已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x)，且當x∈[0,2]時，f(x)=x2-2x，則f(2025)=（）A.-1B.0C.1D.2二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知tanα=2，則sin2α=________。已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1=1，公比q=2，則S5=________。已知點A(1,2)，B(3,4)，則線段AB的垂直平分線方程為________。已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-1處取得極大值7，在x=3處取得極小值，則a=，b=，c=________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足a=2，b=3，cosC=1/4。（1）求c的值；（2）求sinA的值。（本小題滿分12分）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1(n∈N*)。（1）證明：數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的前n項和Sn。（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2。（1）求證：平面PBC⊥平面PAB；（2）求三棱錐P-ABC的體積；（3）求二面角A-PC-B的余弦值。（本小題滿分12分）已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，且過點(2,1)。（1）求橢圓C的標準方程；（2）設直線l:y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點，若kOA·kOB=-1/4，求△AOB面積的最大值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=lnx-ax(a∈R)。（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個零點，求a的取值范圍；（3）當a=1時，證明：f(x)≤x-1。（本小題滿分12分）為了了解某校學生的身高情況，隨機抽取了該校100名學生進行身高測量，得到如下頻率分布表：身高區(qū)間（cm）[150,155)[155,160)[160,165)[165,170)[170,175)[175,180]頻率0.050.150.250.300.150.10（1）求這100名學生身高的平均數(shù)和方差（同一區(qū)間的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；（2）若該校學生身高服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ，σ2分別為（1）中所求的平均數(shù)和方差，估計該校學生身高在170cm以上的概率；（3）從身高在[150,155)和[175,180]的學生中按分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人，求這2人身高差的絕對值不小于20cm的概率。（附：若X~N(μ,σ2)，則P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6827，P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9545，P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9973）參考答案及評分標準一、選擇題（每小題5分，共60分）B2.A3.A4.C5.B6.A7.B8.A9.B10.B11.C12.A二、填空題（每小題5分，共20分）4/514.3115.x+y-5=016.-3，-9，2三、解答題（共70分）（本小題滿分10分）解：（1）由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=4+9-2×2×3×1/4=10，所以c=√10。（5分）（2）由cosC=1/4得sinC=√(1-cos2C)=√15/4，由正弦定理得a/sinA=c/sinC，所以sinA=asinC/c=2×√15/4/√10=√6/4。（10分）（本小題滿分12分）（1）證明：因為an+1=2an+1，所以an+1+1=2(an+1)，又a1+1=2≠0，所以數(shù)列{an+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列。（4分）（2）解：由（1）得an+1=2×2n-1=2n，所以an=2n-1，所以Sn=a1+a2+…+an=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)=2(2n-1)/(2-1)-n=2n+1-n-2。（12分）（本小題滿分12分）（1）證明：因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB，又BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB。（4分）（2）解：因為PA⊥平面ABC，所以三棱錐P-ABC的體積V=1/3S△ABC·PA=1/3×1/2×2×2×2=4/3。（8分）（3）解：以A為原點，AB，AC，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，所以PC=(0,2,-2)，BC=(-2,2,0)，設平面PBC的法向量n=(x,y,z)，則n·PC=0，n·BC=0，即2y-2z=0，-2x+2y=0，令y=1，則x=1，z=1，所以n=(1,1,1)，又平面APC的法向量m=(1,0,0)，所以cos<n,m>=n·m/|n||m|=1/√3=√3/3，由圖知二面角A-PC-B為鈍角，所以二面角A-PC-B的余弦值為-√3/3。（12分）（本小題滿分12分）解：（1）由題意得e=c/a=√3/2，4/a2+1/b2=1，a2=b2+c2，解得a2=8，b2=2，所以橢圓C的標準方程為x2/8+y2/2=1。（4分）（2）設A(x1,y1)，B(x2,y2)，聯(lián)立y=kx+m和x2/8+y2/2=1得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0，則Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-8)=16(8k2-m2+2)>0，x1+x2=-8km/(1+4k2)，x1x2=(4m2-8)/(1+4k2)，所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2(4m2-8)/(1+4k2)-8k2m2/(1+4k2)+m2=(m2-8k2)/(1+4k2)，因為kOA·kOB=y1y2/x1x2=-1/4，所以(m2-8k2)/(4m2-8)=-1/4，解得m2=2+4k2，所以Δ=16(8k2-2-4k2+2)=64k2>0，所以|AB|=√(1+k2)|x1-x2|=√(1+k2)√[(x1+x2)2-4x1x2]=√(1+k2)√[64k2m2/(1+4k2)2-4(4m2-8)/(1+4k2)]=√(1+k2)√[64k2(2+4k2)/(1+4k2)2-4(8k2)/(1+4k2)]=√(1+k2)√[32k2(1+2k2)/(1+4k2)2-32k2/(1+4k2)]=√(1+k2)√[32k2(1+2k2-1-4k2)/(1+4k2)2]=√(1+k2)√[32k2(-2k2)/(1+4k2)2]=√(1+k2)√[64k4/(1+4k2)2]=8k2√(1+k2)/(1+4k2)，又點O到直線l的距離d=|m|/√(1+k2)=√(2+4k2)/√(1+k2)，所以S△AOB=1/2|AB|d=1/2×8k2√(1+k2)/(1+4k2)×√(2+4k2)/√(1+k2)=4k2√(2+4k2)/(1+4k2)，令t=1+4k2(t≥1)，則k2=(t-1)/4，所以S△AOB=4×(t-1)/4×√(2+4×(t-1)/4)/t=(t-1)√(t+1)/t=√[(t-1)2(t+1)]/t=√[(t3-t2-t+1)/t2]=√[t-1-1/t+1/t2]，令f(t)=t-1-1/t+1/t2(t≥1)，則f'(t)=1+1/t2-2/t3=(t3+t-2)/t3，當t≥1時，t3+t-2≥1+1-2=0，所以f(t)在[1,+∞)上單調(diào)遞增，所以當t=1時，f(t)取得最小值0，所以S△AOB的最大值為√0=0，又當k=0時，直線l:y=m，代入橢圓方程得x2=8(1-m2/2)=8-4m2，由m2=2+4k2=2得m=±√2，所以x=±√(8-4×2)=0，此時A，B兩點重合，不符合題意，所以△AOB面積的最大值為√2。（12分）（本小題滿分12分）解：（1）函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)，f'(x)=1/x-a=1-ax/x，當a≤0時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當a>0時，令f'(x)=0得x=1/a，當0<x<1/a時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，當x>1/a時，f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減。（4分）（2）當a≤0時，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，最多有一個零點，不符合題意；當a>0時，函數(shù)f(x)在(0,1/a)上單調(diào)遞增，在(1/a,+∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)max=f(1/a)=ln(1/a)-a×1/a=-lna-1，要使函數(shù)f(x)有兩個零點，需f(x)max>0，即-lna-1>0，解得0<a<1/e，又當x→0+時，f(x)→-∞，當x→+∞時，f(x)→-∞，所以a的取值范圍是(0,1/e)。（8分）（3）證明：當a=1時，f(x)=lnx-x，要證f(x)≤x-1，即證lnx-x≤x-1，即證lnx-2x+1≤0，令g(x)=lnx-2x+1，則g'(x)=1/x-2=1-2x/x，令g'(x)=0得x=1/2，當0<x<1/2時，g'(x)>0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，當x>1/2時，g'(x)<0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，所以g(x)max=g(1/2)=ln(1/2)-2×1/2+1=-ln2-1+1=-ln2<0，所以lnx-2x+1≤0，即f(x)≤x-1。（12分）（本小題滿分12分）解：（1）這100名學生身高的平均數(shù)μ=152.5×0.05+157.5×0.15+162.5×0.25+167.5×0.30+172.5×0.15+177.5×0.10=7.625+23.625+40.625+50.25+25.875+17.75=165.75，方差σ2=(152.5-165.75)2×0.05+(157.5-165.75)2×0.15+(162.5-165.75)2×0.25+(167.5-165.75)2×0.30+(172.5-165.75)2×0.15+(177.5-165.75)2×0.10=175.5625×0.05+68.0625×0.15+10.5625×0.25+3.0625×0.30+45.5625×0.15+138.0625×0.10=8.778125+10.209375+2.640625+0.91875+6.834375+13.80625=43.1875。（4分）（2）由（1）得μ=165.75，σ2=43.1875，所以σ=√43.1875≈6.57，所以P(X>170)=P(X>μ+0.65σ)=1-P(X≤μ+0.65σ)=1-[P(μ-σ<X≤μ+σ)+P(μ+σ<X≤μ+0.65σ)]/2≈1-[0.6827+(0.9545-0.6827)/2]/2≈1-[0.6827+0.1359]/2≈1-0.4093=0.5907，所以估計該校學生身高在170cm以上的概率為0.5907。（8分）（3）身高在[150,155)的學生有100×0.05=5人，身高在[175,180]的學生有100×0.10=10人，按分層抽樣的方法抽取5人，其中身高在[150,155)的學生有5×5/(5+10)=5/3人，不符合題意，所以應按身高在[150,155)和[175,180]的學生人數(shù)比5:10=1:2抽取，所以身高在[150,155)的學生抽取5×1/3=1人，身高在[175,180]的學生抽取5×2/3=2人，不符合題意，所以應重新計算，身高在[150,15