2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)期中考試試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，若A∪B=A，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.2B.3C.2或3D.1或2函數(shù)f(x)=√(x-1)+log?(3-x)的定義域是（）A.[1,3)B.(1,3]C.[1,3]D.(1,3)已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，若a⊥b，則m的值為（）A.-2B.2C.-1/2D.1/2下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A.f(x)=x3B.f(x)=sinxC.f(x)=x2D.f(x)=lnx已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，則cos(α-π/4)的值為（）A.-7√2/10B.7√2/10C.-√2/10D.√2/10已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1=1，a3+a5=14，則數(shù)列{an}的公差為（）A.1B.2C.3D.4函數(shù)f(x)=2x3-3x2-12x+5在區(qū)間[0,3]上的最大值是（）A.5B.12C.15D.20已知直線l1:ax+2y+6=0與直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.-1B.2C.-1或2D.1或-2已知圓C:x2+y2-4x+6y+9=0，過(guò)點(diǎn)P(0,1)作圓C的切線，則切線方程為（）A.y=1B.x=0C.y=1或x=0D.y=1或3x+4y-4=0已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π/2)的部分圖像如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為（）A.f(x)=2sin(2x+π/3)B.f(x)=2sin(2x-π/3)C.f(x)=2sin(x+π/3)D.f(x)=2sin(x-π/3)已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)點(diǎn)F且斜率為√3的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，則|AF|的值為（）A.2B.3C.4D.5已知函數(shù)f(x)=x3-3x+1，若對(duì)于任意x1,x2∈[-2,2]，都有|f(x1)-f(x2)|≤m，則實(shí)數(shù)m的最小值為（）A.0B.2C.4D.6二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3，則f(f(1))的值為_(kāi)_______。已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=1，S3=7，則公比q的值為_(kāi)_______。已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=2，則三棱錐P-ABC的體積為_(kāi)_______。已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x(a>0)，若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知函數(shù)f(x)=2cos2x+2√3sinxcosx-1。（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π/2]上的最大值和最小值。（本小題滿分12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2an-2(n∈N*)。（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn=log2an，求數(shù)列{1/(bnbn+1)}的前n項(xiàng)和Tn。（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)。（Ⅰ）求證：A1B//平面ADC1；（Ⅱ）求三棱錐A1-ADC1的體積。（本小題滿分12分）已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，且過(guò)點(diǎn)(2,1)。（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA⊥OB，求△AOB面積的最大值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax2+x(a∈R)。（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。（本小題滿分12分）已知圓M:x2+(y-2)2=1，點(diǎn)Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，QA，QB分別切圓M于A，B兩點(diǎn)。（Ⅰ）求線段AB長(zhǎng)度的取值范圍；（Ⅱ）若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(t,0)，設(shè)直線AB與x軸交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求證：|PM|2=|PA|·|PB|。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（每小題5分，共60分）C2.A3.A4.A5.C6.B7.A8.A9.D10.B11.C12.D二、填空題（每小題5分，共20分）314.215.4/316.[1/2,+∞)三、解答題（共70分）解：（Ⅰ）f(x)=2cos2x+2√3sinxcosx-1=cos2x+√3sin2x=2sin(2x+π/6)……3分所以函數(shù)f(x)的最小正周期T=2π/2=π……5分（Ⅱ）因?yàn)閤∈[0,π/2]，所以2x+π/6∈[π/6,7π/6]……7分當(dāng)2x+π/6=π/2，即x=π/6時(shí)，f(x)取得最大值2；……8分當(dāng)2x+π/6=7π/6，即x=π/2時(shí)，f(x)取得最小值-1……10分解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，S1=2a1-2，即a1=2a1-2，解得a1=2……2分當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=2an-1-2，所以an=Sn-Sn-1=2an-2-(2an-1-2)=2an-2an-1，即an=2an-1……4分所以數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an=2×2n-1=2n……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=log2an=log22n=n……7分所以1/(bnbn+1)=1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)……9分所以Tn=1-1/2+1/2-1/3+…+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)=n/(n+1)……12分（Ⅰ）證明：連接A1C，交AC1于點(diǎn)O，連接OD……1分因?yàn)樗倪呅蜛CC1A1是平行四邊形，所以O(shè)是A1C的中點(diǎn)……2分因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以O(shè)D是△A1BC的中位線，所以O(shè)D//A1B……3分因?yàn)镺D?平面ADC1，A1B?平面ADC1，所以A1B//平面ADC1……5分（Ⅱ）解：因?yàn)锳A1⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=90°，所以S△ABC=1/2×2×2=2……6分因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以S△ADC=1/2S△ABC=1……7分因?yàn)锳A1=2，所以三棱錐A1-ADC的體積V=1/3S△ADC·AA1=1/3×1×2=2/3……9分因?yàn)辄c(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，所以三棱錐A1-ADC1的體積等于三棱錐A1-ADC的體積，即V=2/3……12分解：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓C的離心率e=√3/2，所以c/a=√3/2，即c=√3/2a……1分因?yàn)閍2=b2+c2，所以a2=b2+3/4a2，即b2=1/4a2……2分因?yàn)闄E圓C過(guò)點(diǎn)(2,1)，所以4/a2+1/b2=1，即4/a2+4/a2=1，解得a2=8，所以b2=2……4分所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/8+y2/2=1……5分（Ⅱ）設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，聯(lián)立方程組{x2/8+y2/2=1，y=kx+m，消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0……6分所以Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-8)=16(8k2-m2+2)>0，即8k2-m2+2>0……7分x1+x2=-8km/(1+4k2)，x1x2=(4m2-8)/(1+4k2)……8分因?yàn)镺A⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，即x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0，即(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0……9分所以(1+k2)(4m2-8)/(1+4k2)-8k2m2/(1+4k2)+m2=0，整理得5m2=8k2+8……10分設(shè)原點(diǎn)O到直線l的距離為d，則d=|m|/√(k2+1)，|AB|=√(1+k2)√[(x1+x2)2-4x1x2]=√(1+k2)√[64k2m2/(1+4k2)2-4(4m2-8)/(1+4k2)]=4√2√(1+k2)(8k2-m2+2)/(1+4k2)……11分所以S△AOB=1/2|AB|d=2√2√(1+k2)(8k2-m2+2)/(1+4k2)·|m|/√(k2+1)=2√2|m|√(8k2-m2+2)/(1+4k2)將5m2=8k2+8代入上式得S△AOB=2√2|m|√(5m2/8-m2+2)/(5m2/8)=2√2|m|√(2-m2/8)/(5m2/8)=4√2√(16m2-m4)/5m=4√2√(16-m2)/5因?yàn)?m2=8k2+8≥8，所以m2≥8/5，又因?yàn)?k2-m2+2=5m2/8-m2+2=2-m2/8>0，所以m2<16，所以8/5≤m2<16……12分令t=m2，則t∈[8/5,16)，S△AOB=4√2√(16-t)/5，因?yàn)楹瘮?shù)y=√(16-t)在[8/5,16)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)t=8/5時(shí)，S△AOB取得最大值，最大值為4√2√(16-8/5)/5=4√2√(72/5)/5=4√2×6√10/5/5=24√20/25=48√5/25……14分（注：此處原題分值設(shè)置可能存在誤差，按12分標(biāo)準(zhǔn)，本問(wèn)6分，正確得出面積表達(dá)式并求出最大值2即可得滿分）解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=xlnx-x2+x，定義域?yàn)?0,+∞)……1分f'(x)=lnx+1-2x+1=lnx-2x+2……2分令g(x)=lnx-2x+2，則g'(x)=1/x-2=1-2x/x……3分當(dāng)0<x<1/2時(shí)，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1/2時(shí)，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，所以g(x)≤g(1/2)=ln1/2-1+2=1-ln2>0，所以f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立，所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞)，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間……6分（Ⅱ）f'(x)=lnx+1-2ax+1=lnx-2ax+2……7分因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減，所以f'(x)≤0在(1,+∞)上恒成立，即lnx-2ax+2≤0在(1,+∞)上恒成立，所以2a≥(lnx+2)/x在(1,+∞)上恒成立……8分令h(x)=(lnx+2)/x，則h'(x)=(1/x·x-(lnx+2))/x2=(1-lnx-2)/x2=(-lnx-1)/x2……9分當(dāng)x>1時(shí)，lnx>0，所以-lnx-1<0，即h'(x)<0，所以函數(shù)h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，所以h(x)<h(1)=(ln1+2)/1=2……11分所以2a≥2，即a≥1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1,+∞)……12分解：（Ⅰ）設(shè)Q(t,0)，則MQ=√(t2+4)，因?yàn)镼A，QB分別切圓M于A，B兩點(diǎn)，所以MA⊥QA，MB⊥QB，所以|QA|=|QB|=√(MQ2-MA2)=√(t2+4-1)=√(t2+3)……1分因?yàn)镸A=1，所以S四邊形QAMB=2S△QAM=2×1/2×|QA|×|MA|=|QA|×|MA|=√(t2+3)×1=√(t2+3)又因?yàn)镾四邊形QAMB=1/2×|MQ|×|AB|，所以1/2×√(t2+4)×|AB|=√(t2+3)，所以|AB|=2√(t2+3)/√(t2+4)=2√[(t2+3)/(t2+4)]=2√[1-1/(t2+4)]……3分因?yàn)閠2≥0，所以t2+4≥4，0<1/(t2+4)≤1/4，所以3/4≤1-1/(t2+4)<1，所以√3≤|AB|<2，所以線段AB長(zhǎng)度的取值范圍為[√3,2)……5分（Ⅱ）設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，因?yàn)镸A⊥QA，所以向量MA·向量QA=0，即(x1,y1-2)·(x1-t,y1)=0，所以x1(x1-t)+y1(y1-2)=0，即x12-tx1+y12-2y1=0，因?yàn)辄c(diǎn)A在圓M上，所以x12+(y1-2)2=1，即x12+y12-4y1+3=0，所以x12+y12=4y1-3，代入x12-tx1+y12-2y1=0得4y1-3-tx1-2y1=0，即2y1-tx1-3=0，所以tx1-2y1+3=0……7分同理可得tx2-2y2+3=0，所以直線AB的方程為tx-2y+3=0……8分令y=0，則tx+3=0，解得x=-3/t，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-3/t,0)……9分（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-3/t,0)，所以|PM|2=(-3/