2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)熱點(diǎn)追蹤試卷一、選擇題（每題5分，共60分）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|2^x>4})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,+\infty))C.((1,+\infty))D.((1,2])解析：解不等式(x^2-3x+2<0)得(1<x<2)，即(A=(1,2))；解(2^x>4=2^2)得(x>2)，即(B=(2,+\infty))。故(A\capB=\varnothing)，無正確選項(xiàng)（題目可能存在疏漏，建議核對選項(xiàng)）。函數(shù)(f(x)=\ln(x^2-4x+3)+\sqrt{x-2})的定義域是（）A.([2,3)\cup(3,+\infty))B.((3,+\infty))C.([2,1)\cup(3,+\infty))D.((-\infty,1)\cup[2,+\infty))解析：需滿足(x^2-4x+3>0)（對數(shù)真數(shù)大于0）和(x-2\geq0)（根號內(nèi)非負(fù)）。解(x^2-4x+3>0)得(x<1)或(x>3)；解(x-2\geq0)得(x\geq2)。取交集得(x>3)，選B。已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec=(1,-2))，若(\vec{a}\perp\vec)，則(m=)（）A.(-4)B.(-1)C.(1)D.(4)解析：向量垂直則數(shù)量積為0，即(2\times1+m\times(-2)=0)，解得(m=1)，選C。函數(shù)(f(x)=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right))的最小正周期和對稱軸方程分別是（）A.(\pi)，(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{5\pi}{12}(k\in\mathbb{Z}))B.(2\pi)，(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{5\pi}{12}(k\in\mathbb{Z}))C.(\pi)，(x=k\pi+\frac{5\pi}{12}(k\in\mathbb{Z}))D.(2\pi)，(x=k\pi+\frac{5\pi}{12}(k\in\mathbb{Z}))解析：周期(T=\frac{2\pi}{2}=\pi)；對稱軸滿足(2x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k\pi)，解得(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{5\pi}{12})，選A。已知等比數(shù)列({a_n})中，(a_1=2)，(a_4=16)，則數(shù)列({a_n})的前5項(xiàng)和(S_5=)（）A.30B.62C.126D.254解析：公比(q^3=\frac{a_4}{a_1}=8)，則(q=2)。(S_5=\frac{2(2^5-1)}{2-1}=62)，選B。若(\tan\alpha=2)，則(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=)（）A.3B.(\frac{1}{3})C.-3D.(-\frac{1}{3})解析：分子分母同除以(\cos\alpha)得(\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}=\frac{2+1}{2-1}=3)，選A。函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)在區(qū)間([-1,2])上的最大值是（）A.2B.0C.-2D.4解析：求導(dǎo)(f'(x)=3x^2-6x)，令(f'(x)=0)得(x=0)或(x=2)。計(jì)算端點(diǎn)及極值點(diǎn)：(f(-1)=-2)，(f(0)=2)，(f(2)=-2)，最大值為2，選A。已知直線(l:y=kx+1)與圓(C:x^2+y^2-2x-3=0)相交于A，B兩點(diǎn)，若(|AB|=2\sqrt{3})，則(k=)（）A.(\pm\frac{\sqrt{3}}{3})B.(\pm\sqrt{3})C.(\pm1)D.(\pm2)解析：圓方程化為((x-1)^2+y^2=4)，圓心((1,0))，半徑2。弦長公式(|AB|=2\sqrt{r^2-d^2})，其中(d=\frac{|k+1|}{\sqrt{k^2+1}})（圓心到直線距離）。代入(2\sqrt{3}=2\sqrt{4-d^2})，解得(d=1)，即(\frac{|k+1|}{\sqrt{k^2+1}}=1)，解得(k=0)（無選項(xiàng)，題目可能有誤）。某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）A.(8\pi)B.(12\pi)C.(16\pi)D.(24\pi)解析：由三視圖知幾何體為圓柱挖去一個(gè)同底等高的圓錐，圓柱體積(V_1=\pir^2h=\pi\times2^2\times3=12\pi)，圓錐體積(V_2=\frac{1}{3}\pir^2h=4\pi)，則體積(V=12\pi-4\pi=8\pi)，選A。在(\triangleABC)中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若(a=2)，(b=3)，(C=60^\circ)，則(c=)（）A.(\sqrt{7})B.(\sqrt{19})C.(\sqrt{13})D.(\sqrt{10})解析：由余弦定理(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC=4+9-2\times2\times3\times\frac{1}{2}=7)，則(c=\sqrt{7})，選A。已知拋物線(y^2=4x)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線上，且(|PF|=3)，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是（）A.1B.2C.3D.4解析：拋物線準(zhǔn)線方程(x=-1)，由拋物線定義知(|PF|=x_P+1=3)，則(x_P=2)，選B。甲、乙兩人獨(dú)立解同一道數(shù)學(xué)題，甲解決該題的概率為0.8，乙解決該題的概率為0.6，則甲、乙兩人至少有一人解決該題的概率是（）A.0.48B.0.52C.0.88D.0.92解析：“至少有一人解決”的對立事件是“兩人都未解決”，概率為((1-0.8)(1-0.6)=0.08)，故所求概率為(1-0.08=0.92)，選D。二、填空題（每題5分，共20分）函數(shù)(f(x)=\log_2(x+1))的反函數(shù)是________。答案：(f^{-1}(x)=2^x-1)（(x\in\mathbb{R})）解析：令(y=\log_2(x+1))，則(x+1=2^y)，反函數(shù)為(y=2^x-1)。已知(f(x))是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)(x>0)時(shí)，(f(x)=x^2-2x)，則(f(-1)=)________。答案：1解析：(f(-1)=-f(1)=-(1^2-2\times1)=1)。若雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0,b>0)）的離心率為(\sqrt{3})，則其漸近線方程為________。答案：(y=\pm\sqrt{2}x)解析：(e=\frac{c}{a}=\sqrt{3})，則(c=\sqrt{3}a)，(b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{2}a)，漸近線方程(y=\pm\frac{a}x=\pm\sqrt{2}x)。某學(xué)校高二年級有5個(gè)班，從中選出7名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，每班至少選1名，則不同的選法有________種。答案：35解析：采用“隔板法”，7名學(xué)生排成一列，中間6個(gè)空位插入4個(gè)隔板，分成5組，即(C_6^4=15)（此處原解析有誤，正確應(yīng)為(C_6^4=15)，但答案可能為35，需核對題目條件）。三、解答題（共70分）（12分）已知等差數(shù)列({a_n})中，(a_3=7)，(a_5=13)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)(b_n=2^{a_n})，求數(shù)列({b_n})的前n項(xiàng)和(T_n)。解析：（1）設(shè)公差為d，則(\begin{cases}a_1+2d=7\a_1+4d=13\end{cases})，解得(a_1=1)，(d=3)，故(a_n=3n-2)。（2）(b_n=2^{3n-2}=\frac{1}{4}\times8^n)，是首項(xiàng)(b_1=2^1=2)，公比8的等比數(shù)列，(T_n=\frac{2(8^n-1)}{8-1}=\frac{2(8^n-1)}{7})。（12分）在(\triangleABC)中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且(\cosA=\frac{3}{5})，(a=4)。（1）若(b=3)，求(\sinB)的值；（2）若(\triangleABC)的面積為6，求b+c的值。解析：（1）(\sinA=\sqrt{1-\cos^2A}=\frac{4}{5})，由正弦定理(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB})得(\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{3\times\frac{4}{5}}{4}=\frac{3}{5})。（2）(S=\frac{1}{2}bc\sinA=6)，即(\frac{1}{2}bc\times\frac{4}{5}=6)，得(bc=15)。由余弦定理(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA)，即(16=(b+c)^2-2bc-2bc\times\frac{3}{5})，代入(bc=15)解得(b+c=7)。（12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，M為(A_1B_1)的中點(diǎn)。（1）求證：(AM\perpBC_1)；（2）求三棱錐(M-ABC)的體積。解析：（1）以A為原點(diǎn)，AB，AC，AA1為x，y，z軸建系，(A(0,0,0))，(M(1,0,2))，(B(2,0,0))，(C_1(0,2,2))。(\vec{AM}=(1,0,2))，(\vec{BC_1}=(-2,2,2))，(\vec{AM}\cdot\vec{BC_1}=-2+0+4=2\neq0)（題目可能有誤，應(yīng)為(AM\perpA_1C)等）。（2）(V=\frac{1}{3}S_{\triangleABC}\timesh)，(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}\times2\times2=2)，高(h=AA_1=2)，則(V=\frac{1}{3}\times2\times2=\frac{4}{3})。（12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點(diǎn)((2,1))。（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若(OA\perpOB)，求(\triangleAOB)面積的最大值。解析：（1）(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a)，(b^2=a^2-c^2=\frac{a^2}{4})。代入點(diǎn)((2,1))得(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{a^2}{4}}=1)，解得(a^2=8)，(b^2=2)，方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。（2）設(shè)直線AB：(y=kx+m)，與橢圓聯(lián)立得((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0)，(x_1+x_2=-\frac{8km}{1+4k^2})，(x_1x_2=\frac{4m^2-8}{1+4k^2})。由(OA\perpOB)得(x_1x_2+y_1y_2=0)，即((1+k^2)x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2=0)，代入化簡得(4m^2=8(1+k^2))，即(m^2=2(1+k^2))。原點(diǎn)到直線距離(d=\frac{|m|}{\sqrt{1+k^2}}=\sqrt{2})，弦長(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot\frac{\sqrt{16(8k^2+2-m^2)}}{1+4k^2}=2\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{4k^2+1}}{1+4k^2})，面積(S=\frac{1}{2}|AB|d=2\cdot\frac{\sqrt{4k^2+1}}{1+4k^2})，令(t=\sqrt{4k^2+1}\geq1)，(S=\frac{2t}{t^2}=\frac{2}{t}\leq2)，最大值為2。（12分）已知函數(shù)(f(x)=x^3-3ax^2+3x+1)。（1）若(a=1)，求(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若(f(x))在區(qū)間((2,+\infty))上是增函數(shù)，求a的取值范圍。解析：（1）(a=1)時(shí)，(f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2\geq0)，故(f(x))在((-\infty,+\infty))上單調(diào)遞增。（2）(f'(x)=3x^2-6ax+3\geq0)在((2,+\infty))恒成立，即(2a\leqx+\frac{1}{x})在((2,+\infty))恒成立。令(g(x)=x+\frac{1}{x})，在((2,+\infty))單調(diào)遞增，(g(x)>g(2)=\frac{5}{2})，故(2a\leq\frac{5}{2})，即(a\leq\frac{5}{4})。（12分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件成本為40元，銷售單價(jià)為60元，每月可銷售300件。為了提高銷量，決定降價(jià)銷售，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價(jià)每降低1元，每月可多銷售20件。設(shè)銷售單價(jià)降低x元（(x\in\mathbb{N})），每月的利潤為y元。（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月的利潤最大？最大利潤是多少？解析：（1）(y=(60-x-40)(300+20x)=(20-x)(300+20x)=-20x^2+100x+6000)（(0\leqx\leq20)，(x\in\mathbb{N})）。（2）(y=-20(x-2.5)^2+6125)，對稱軸(x=2.5)，(x\in\mathbb{N})，故(x=2)或3時(shí)，(y)最大，此時(shí)銷售單價(jià)為58元或57元，最大利潤為6120元。四、選做題（10分，從22、23題中任選一題作答）在極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為(\rho=4\cos\theta)，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為(\begin{cases}x=1+t\cos\alpha\y=t\sin\alpha\end{cases})（t為參數(shù)）。（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且(|AB|=2\sqrt{3})，求(