2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)建模論文試卷一、數(shù)學(xué)建模基礎(chǔ)理論1.1數(shù)學(xué)建模的定義與流程數(shù)學(xué)建模是通過建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的過程，其核心流程包括：問題分析→模型假設(shè)→模型構(gòu)建→算法設(shè)計(jì)→結(jié)果檢驗(yàn)→模型優(yōu)化。高中階段的數(shù)學(xué)建模強(qiáng)調(diào)用初等數(shù)學(xué)與中等數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡化后的現(xiàn)實(shí)問題，需重點(diǎn)掌握函數(shù)擬合、線性規(guī)劃、概率統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)模型的應(yīng)用方法。1.2高中數(shù)學(xué)建模常用方法回歸分析：用于處理具有相關(guān)關(guān)系的變量問題，如人口預(yù)測、成績分析等。通過最小二乘法求解線性回歸方程(y=ax+b)，并利用相關(guān)系數(shù)(r)檢驗(yàn)擬合效果。線性規(guī)劃：解決資源分配、生產(chǎn)調(diào)度等優(yōu)化問題，需明確目標(biāo)函數(shù)與約束條件，通過可行域頂點(diǎn)法或圖解法求最優(yōu)解。圖論模型：處理路徑規(guī)劃、網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化等問題，如最短路徑（Dijkstra算法）、最小生成樹（Kruskal算法）的應(yīng)用。概率模型：針對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的決策問題，如風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估、抽獎(jiǎng)概率計(jì)算等，需掌握古典概型、二項(xiàng)分布等基礎(chǔ)概率模型。二、實(shí)際建模案例分析案例一：校園共享單車調(diào)度優(yōu)化模型2.1問題提出某中學(xué)引入共享單車服務(wù)后，出現(xiàn)早高峰時(shí)段教學(xué)樓下單車過剩（超過50輛）、晚自習(xí)后宿舍區(qū)單車短缺（不足20輛）的問題。請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)合理的調(diào)度方案，使每日調(diào)度成本最低且滿足師生用車需求。2.2模型假設(shè)忽略天氣、節(jié)假日等特殊因素影響，假設(shè)每日用車需求穩(wěn)定；單車調(diào)度成本僅考慮運(yùn)輸距離，每輛單車每百米運(yùn)輸成本為0.5元；各區(qū)域單車初始數(shù)量、最大容量及需求數(shù)據(jù)如下表：區(qū)域初始數(shù)量（輛）最大容量（輛）早高峰需求（輛）晚高峰需求（輛）教學(xué)區(qū)A60504510教學(xué)區(qū)B55454015宿舍區(qū)C1530525宿舍區(qū)D203510302.3模型建立設(shè)從區(qū)域(i)調(diào)往區(qū)域(j)的單車數(shù)量為(x_{ij})，運(yùn)輸距離矩陣(d_{ij})（單位：百米）如下：[d_{ij}=\begin{bmatrix}0&0.8&1.5&2.0\0.8&0&1.2&1.8\1.5&1.2&0&0.5\2.0&1.8&0.5&0\end{bmatrix}]目標(biāo)函數(shù)：[\minC=0.5\sum_{i=1}^{4}\sum_{j=1}^{4}x_{ij}d_{ij}]約束條件：調(diào)出量不超過過剩量：(x_{12}+x_{13}+x_{14}\leq10)（教學(xué)區(qū)A過剩10輛）(x_{21}+x_{23}+x_{24}\leq10)（教學(xué)區(qū)B過剩10輛）調(diào)入量滿足短缺量：(x_{13}+x_{23}\geq10)（宿舍區(qū)C短缺10輛）(x_{14}+x_{24}\geq10)（宿舍區(qū)D短缺10輛）非負(fù)約束：(x_{ij}\geq0)且為整數(shù)2.4模型求解通過線性規(guī)劃軟件LINGO求解，得到最優(yōu)調(diào)度方案：從教學(xué)區(qū)A調(diào)10輛至宿舍區(qū)C，運(yùn)輸成本(10\times1.5\times0.5=7.5)元；從教學(xué)區(qū)B調(diào)10輛至宿舍區(qū)D，運(yùn)輸成本(10\times1.8\times0.5=9)元；總調(diào)度成本為16.5元，此時(shí)各區(qū)域單車數(shù)量均滿足需求及容量限制。2.5模型檢驗(yàn)與改進(jìn)靈敏度分析：若運(yùn)輸成本上漲10%，最優(yōu)調(diào)度方案不變，總成本增至18.15元，說明模型對(duì)成本波動(dòng)不敏感；改進(jìn)方向：可引入時(shí)間維度，考慮早、晚高峰分時(shí)段調(diào)度，或加入單車損壞率、用戶預(yù)約等因素，使模型更貼合實(shí)際。案例二：新冠疫情傳播預(yù)測模型2.6問題提出某社區(qū)出現(xiàn)新冠疫情聚集性病例，已知第1天確診5人，第3天確診15人。假設(shè)疫情傳播符合Logistic增長模型，試預(yù)測第7天的累計(jì)確診人數(shù)，并分析防疫措施對(duì)疫情拐點(diǎn)的影響。2.7模型建立Logistic增長模型基本形式為：[\frac{dN}{dt}=rN\left(1-\frac{N}{K}\right)]其中(N(t))為(t)時(shí)刻累計(jì)確診人數(shù)，(r)為增長率，(K)為環(huán)境容納量（最大確診人數(shù)）。通過分離變量法求解微分方程，得解析解：[N(t)=\frac{K}{1+e^{-r(t-t_0)}}]2.8參數(shù)估計(jì)將(t=1,N=5)和(t=3,N=15)代入模型，假設(shè)社區(qū)總?cè)丝跒?000人（即(K=1000)），通過非線性最小二乘法擬合得：(r=0.85)，(t_0=5.2)（拐點(diǎn)時(shí)間），故預(yù)測模型為：[N(t)=\frac{1000}{1+e^{-0.85(t-5.2)}}]2.9結(jié)果分析第7天累計(jì)確診人數(shù)預(yù)測：(N(7)=\frac{1000}{1+e^{-0.85(7-5.2)}}\approx89)人；防疫措施影響：若通過戴口罩、封控等措施使增長率(r)降低至0.5，則拐點(diǎn)時(shí)間提前至(t_0=3.8)，第7天累計(jì)確診人數(shù)降至約45人，說明控制傳播率可有效延緩疫情擴(kuò)散。三、建模工具與軟件應(yīng)用3.1數(shù)據(jù)處理工具Excel：用于數(shù)據(jù)錄入、圖表繪制及簡單回歸分析，如通過“數(shù)據(jù)分析”功能快速求解線性回歸方程；Python：利用Pandas庫處理大規(guī)模數(shù)據(jù)，Matplotlib/Seaborn庫繪制可視化圖表，Scikit-learn庫實(shí)現(xiàn)機(jī)器學(xué)習(xí)建模（如決策樹、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等）。3.2編程實(shí)現(xiàn)示例（Python）以案例一的線性規(guī)劃問題為例，使用PuLP庫求解代碼如下：frompulpimportLpProblem,LpVariable,lpSum,LpMinimize#創(chuàng)建問題實(shí)例model=LpProblem("Bike_Dispatching",LpMinimize)#定義變量x13=LpVariable("x13",lowBound=0,cat="Integer")#A→Cx14=LpVariable("x14",lowBound=0,cat="Integer")#A→Dx23=LpVariable("x23",lowBound=0,cat="Integer")#B→Cx24=LpVariable("x24",lowBound=0,cat="Integer")#B→D#目標(biāo)函數(shù)：最小化運(yùn)輸成本model+=0.5*(15*x13+20*x14+12*x23+18*x24)#約束條件model+=x13+x14<=10#A區(qū)調(diào)出上限model+=x23+x24<=10#B區(qū)調(diào)出上限model+=x13+x23>=10#C區(qū)調(diào)入下限model+=x14+x24>=10#D區(qū)調(diào)入下限#求解model.solve()print("最優(yōu)調(diào)度方案：")print(f"A→C:{x13.varValue}輛，A→D:{x14.varValue}輛")print(f"B→C:{x23.varValue}輛，B→D:{x24.varValue}輛")print(f"最小成本：{model.objective.value()}元")四、建模能力提升建議夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：重點(diǎn)掌握函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)、線性代數(shù)等知識(shí)，理解模型背后的數(shù)學(xué)原理；多練真題：參考全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽（如“高教社杯”）及美國高中數(shù)學(xué)建模競賽（HiMCM）的優(yōu)秀論文，學(xué)習(xí)建模思路與論文寫作規(guī)范；團(tuán)隊(duì)協(xié)作：模擬競賽環(huán)境進(jìn)行3