2025年下學期高中數(shù)學數(shù)學模型構建試卷一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）數(shù)學建模的核心流程是（）A.問題提出→模型求解→模型驗證→模型優(yōu)化B.數(shù)據(jù)收集→模型假設→模型建立→結果分析C.實際問題→數(shù)學抽象→模型構建→檢驗改進D.模型假設→參數(shù)估計→模型求解→結論應用某超市推出“滿300減50”的優(yōu)惠券活動，若小明購買了單價為80元的商品x件，實際支付金額y（元）與x的函數(shù)關系是（）A.y=80x-50（x≥4）B.y=80x（x≤3）；y=80x-50（x≥4）C.y=80x-50（x≥300）D.y=80x-50（x≥3）在人口增長模型中，若某地區(qū)人口年增長率為r，初始人口為N?，則經(jīng)過t年后的人口數(shù)量N(t)滿足的微分方程是（）A.dN/dt=rNB.dN/dt=r(N?-N)C.N(t)=N?(1+r)?D.N(t)=N?+rt某物流公司需將貨物從A地運往B地，途經(jīng)C地和D地，各路段距離（單位：km）如下：A-C=20，C-D=15，D-B=25，A-D=30，C-B=35。若選擇最短路徑運輸，總距離為（）A.55kmB.60kmC.65kmD.70km在回歸分析中，相關系數(shù)r的取值范圍是（）A.[0,1]B.[-1,1]C.(-∞,1]D.[0,+∞)某城市居民用電量y（度/月）與氣溫x（℃）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，當氣溫低于10℃時用電量隨氣溫降低而增加，高于25℃時用電量隨氣溫升高而增加，這體現(xiàn)的函數(shù)關系是（）A.線性函數(shù)B.分段函數(shù)C.二次函數(shù)D.指數(shù)函數(shù)用層次分析法（AHP）解決決策問題時，需構建的核心矩陣是（）A.判斷矩陣B.特征矩陣C.相關矩陣D.協(xié)方差矩陣某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲每件利潤30元，需3工時；乙每件利潤50元，需5工時。若每天工時不超過60，且甲產(chǎn)量不超過10件，則最大日利潤為（）A.600元B.650元C.700元D.750元在傳染病模型中，SIR模型的三個變量是（）A.易感者、感染者、康復者B.發(fā)病率、治愈率、死亡率C.潛伏期、傳染期、免疫期D.人口密度、接觸率、治愈率某學校為評估教學質(zhì)量，收集了學生期末成績與課堂參與度的樣本數(shù)據(jù)，若要分析兩者相關性，應采用（）A.卡方檢驗B.t檢驗C.線性回歸分析D.聚類分析二、填空題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）某網(wǎng)店銷售一款商品，當售價為100元時，日銷量為50件；售價每降低5元，日銷量增加10件。若設售價為x元（x≤100），日銷量y與x的函數(shù)關系式為__________。某小區(qū)計劃種植A、B兩種樹木共100棵，A樹成活率90%，B樹成活率95%，若要使總成活率不低于92%，則B樹至少種植__________棵。某城市2020年人口為100萬，2025年人口為120萬，若按指數(shù)增長模型N(t)=N?e??計算，年增長率k≈__________（精確到0.001）。某投資項目的收益X（萬元）服從正態(tài)分布N(5,22)，則P(3≤X≤7)=__________（已知Φ(1)=0.8413）。用0-1規(guī)劃解決背包問題時，若變量x?=1表示選擇第i件物品，x?=0表示不選擇，則“最多選擇3件物品”的約束條件可表示為__________。三、解答題（本大題共4小題，共70分）16.（16分）購物優(yōu)惠券的最優(yōu)使用策略某商場推出兩種優(yōu)惠券：A券“滿200減40”，B券“滿300減60”，且兩種優(yōu)惠券可疊加使用（即每滿相應金額可分別減免）。（1）若小明購物金額為580元，計算使用優(yōu)惠券后的實際支付金額；（6分）（2）若購物金額為x元，分別寫出使用A券、B券、A+B券三種方式下實際支付金額y的函數(shù)表達式；（6分）（3）比較三種方式的優(yōu)惠力度，給出不同消費金額區(qū)間的最優(yōu)選擇建議。（4分）17.（18分）校園共享單車投放模型某高中為解決通勤問題，計劃投放共享單車。已知：學生通勤高峰為早7:00-8:00，晚17:00-18:00，其余時段需求較低；校園內(nèi)A、B、C三個區(qū)域的早高峰借車量分別為120輛、80輛、50輛，晚高峰還車量分別為100輛、90輛、60輛；每輛單車日均運營成本5元，學生使用單價2元/次，假設日均每車被使用2次。（1）建立早高峰單車投放量的線性規(guī)劃模型，目標是滿足借車需求且投放量最少；（8分）（2）若計劃日均利潤不低于3000元，計算至少需投放多少輛單車；（6分）（3）分析若晚高峰還車量增加20%，對投放量的影響。（4分）18.（18分）環(huán)境治理投資效益分析某城市為改善空氣質(zhì)量，計劃投資治理工業(yè)廢氣。2020-2024年的投資金額x（億元）與PM2.5濃度y（μg/m3）數(shù)據(jù)如下：|年份|2020|2021|2022|2023|2024||------|------|------|------|------|------||x|2|3|5|6|8||y|75|68|55|50|42|（1）繪制散點圖并判斷x與y的相關性類型；（4分）（2）建立y關于x的線性回歸方程y=bx+a（精確到0.01）；（8分）（3）若2025年計劃投資10億元，預測PM2.5濃度，并分析模型的局限性。（6分）19.（18分）疫情傳播的數(shù)學模擬某地區(qū)爆發(fā)流感，初始感染人數(shù)100人，設易感者人數(shù)S，感染者人數(shù)I，康復者人數(shù)R，滿足SIR模型：dS/dt=-βSI，dI/dt=βSI-γI，dR/dt=γI，其中β=0.0001，γ=0.1。（1）解釋參數(shù)β和γ的實際意義；（4分）（2）計算基本再生數(shù)R?=βS?/γ（S?為初始易感者人數(shù)，設總?cè)丝?0000人）；（4分）（3）若采取隔離措施使β降低20%，分析對疫情峰值（最大感染人數(shù)）的影響。（10分）四、建模應用題（本大題共1小題，30分）20.社區(qū)養(yǎng)老服務中心選址問題某社區(qū)計劃新建一個養(yǎng)老服務中心，服務A、B、C、D四個居民小區(qū)，各小區(qū)位置坐標（單位：km）及老年人口數(shù)如下：|小區(qū)|坐標(x,y)|老年人口（人）||------|-----------|----------------||A|(0,0)|800||B|(3,0)|600||C|(1,2)|500||D|(4,3)|400|要求：（1）若以“到各小區(qū)的加權距離之和最小”為目標（權重為老年人口數(shù)），建立選址模型并求解最優(yōu)坐標；（12分）（2）若考慮土地成本，C小區(qū)附近地價較高（每平方公里500萬元），其他區(qū)域300萬元，且服務中心占地面積需0.5平方公里，建立總成本（距離成本+土地成本）最低的優(yōu)化模型（距離成本系數(shù)設為1萬元/(人·km)）；（10分）（3）分析若D小區(qū)老年人口增加50%，對選址結果的影響。