2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)虛擬現(xiàn)實(shí)試卷一、選擇題（每題3分，共30分）在虛擬現(xiàn)實(shí)（VR）立體幾何實(shí)驗(yàn)室中，學(xué)生通過手柄操作將一個(gè)棱長為2的正方體繞其體對角線旋轉(zhuǎn)45°，則旋轉(zhuǎn)后幾何體的表面積與原正方體表面積的比值為（）A.√2/2B.1C.√3/2D.2/3函數(shù)y=sin(2x+π/3)的圖像在VR動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系中呈現(xiàn)為波浪形曲線，若將坐標(biāo)系的x軸單位長度擴(kuò)大為原來的2倍，y軸保持不變，則新函數(shù)的解析式為（）A.y=sin(x+π/3)B.y=sin(4x+π/3)C.y=2sin(x+π/3)D.y=sin(x+π/6)在虛擬概率實(shí)驗(yàn)室中進(jìn)行擲骰子實(shí)驗(yàn)，系統(tǒng)設(shè)定每次投擲結(jié)果為獨(dú)立事件，連續(xù)投擲3次骰子，學(xué)生在VR場景中觀察到"至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)"的頻率穩(wěn)定在0.4213，該數(shù)值與理論概率的差值為（）A.0.0013B.0.0213C.0.0387D.0.0513虛擬空間中存在一個(gè)以點(diǎn)(1,2,3)為球心、半徑為5的球面，學(xué)生通過VR控制器截取z=0的截面，則所得截面圖形的面積為（）A.16πB.21πC.24πD.36π在VR動(dòng)態(tài)函數(shù)圖像系統(tǒng)中，同時(shí)展示函數(shù)y=x2、y=2?、y=log?x的增長曲線，當(dāng)x>4時(shí)，下列說法正確的是（）A.二次函數(shù)圖像始終在最上方B.指數(shù)函數(shù)圖像增長速度最快C.對數(shù)函數(shù)圖像與二次函數(shù)圖像相交D.指數(shù)函數(shù)圖像與冪函數(shù)圖像相交虛擬幾何體倉庫中存放著一個(gè)正四面體和一個(gè)正八面體，兩者棱長均為a，學(xué)生通過VR設(shè)備測量發(fā)現(xiàn)正八面體的體積是正四面體體積的（）A.2倍B.3倍C.4倍D.6倍在概率模擬VR場景中，有一個(gè)半徑為1的圓形靶子，隨機(jī)向靶面投擲飛鏢（假設(shè)必中），系統(tǒng)顯示飛鏢落在圓心與圓周之間圓環(huán)區(qū)域的概率為0.75，則該圓環(huán)的寬度為（）A.0.25B.0.5C.√0.25D.1-√0.25虛擬坐標(biāo)系中，向量a=(1,2,3)與向量b=(4,5,6)的夾角在VR空間中呈現(xiàn)為θ，學(xué)生通過角度測量工具得到cosθ的值為（）A.32/√4914B.32/√2457C.32/√1228D.32/√614在動(dòng)態(tài)極限實(shí)驗(yàn)室中，VR系統(tǒng)展示數(shù)列a?=(1+1/n)?的收斂過程，當(dāng)n=10000時(shí)，學(xué)生觀察到的近似值與自然常數(shù)e的誤差小于（）A.0.0001B.0.001C.0.01D.0.1虛擬空間中有一個(gè)棱長為2的正方體，其內(nèi)切球與外接球的表面積之差在VR測量面板上顯示為（）A.4πB.8πC.12πD.16π二、填空題（每題4分，共20分）在VR立體幾何實(shí)驗(yàn)室中，將棱長為1的正方體沿體對角線切割成兩個(gè)三棱錐，學(xué)生通過虛擬測量工具測得每個(gè)三棱錐的高為______。虛擬函數(shù)圖像系統(tǒng)中，函數(shù)y=sinx的圖像在VR場景中沿x軸正方向平移φ個(gè)單位后與函數(shù)y=cosx的圖像重合，學(xué)生通過動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)得到φ的最小正值為______。在概率模擬VR實(shí)驗(yàn)中，連續(xù)拋擲兩枚硬幣10000次，系統(tǒng)記錄到"一正一反"的次數(shù)為4986次，該實(shí)驗(yàn)結(jié)果的頻率與理論概率的偏差率為______%。虛擬空間直角坐標(biāo)系中，平面3x+4y+5z=15與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離在VR測量儀上顯示為______。在動(dòng)態(tài)導(dǎo)數(shù)實(shí)驗(yàn)室中，VR系統(tǒng)展示曲線y=x3在點(diǎn)(1,1)處的切線，學(xué)生通過虛擬直尺測量該切線與x軸正方向的夾角α，得到tanα=______。三、解答題（共50分）（12分）虛擬幾何體構(gòu)建任務(wù)：在VR三維空間中，已知三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(0,2,0)，將三角形沿向量(0,0,2)方向平移形成棱柱。（1）在虛擬坐標(biāo)系中寫出該棱柱的所有頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）通過VR測量工具計(jì)算該棱柱的表面積；（3）若在虛擬空間中用一個(gè)經(jīng)過點(diǎn)A且垂直于AC的平面截此棱柱，求截面圖形的面積。（13分）概率模擬實(shí)驗(yàn)：在VR賭場場景中，有一種"幸運(yùn)轉(zhuǎn)盤"游戲，轉(zhuǎn)盤被等分為8個(gè)扇形區(qū)域，分別標(biāo)記數(shù)字1-8。玩家每次下注10虛擬幣，若指針指向奇數(shù)區(qū)域獲得20虛擬幣獎(jiǎng)勵(lì)（凈賺10），指向偶數(shù)區(qū)域無獎(jiǎng)勵(lì)（凈虧10）。（1）計(jì)算單次游戲的期望收益；（2）學(xué)生在VR系統(tǒng)中連續(xù)進(jìn)行100次游戲，記錄到贏48次輸52次，計(jì)算實(shí)際收益與期望收益的差值；（3）若游戲規(guī)則改為"指向質(zhì)數(shù)區(qū)域獲得30虛擬幣獎(jiǎng)勵(lì)"，重新計(jì)算期望收益（注：1-8中的質(zhì)數(shù)為2,3,5,7）。（12分）函數(shù)動(dòng)態(tài)探究：在VR函數(shù)實(shí)驗(yàn)室中，展示函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x+5的圖像及其導(dǎo)函數(shù)圖像。（1）通過VR動(dòng)態(tài)分析工具確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）在虛擬坐標(biāo)系中標(biāo)出函數(shù)的極值點(diǎn)坐標(biāo)；（3）若將原函數(shù)圖像在VR場景中沿y軸正方向平移m個(gè)單位后與x軸有三個(gè)不同交點(diǎn)，求m的取值范圍。（13分）立體幾何綜合題：虛擬空間中有一個(gè)底面半徑為3，高為4的圓錐，學(xué)生通過VR控制器執(zhí)行以下操作：（1）過圓錐頂點(diǎn)作一個(gè)與底面成60°二面角的截面，求截面面積；（2）將該圓錐在虛擬空間中繞其軸旋轉(zhuǎn)一周，分析旋轉(zhuǎn)過程中形成的幾何體；（3）若用平行于底面的平面截圓錐，得到一個(gè)小圓錐和一個(gè)圓臺，已知圓臺的母線長為2，求小圓錐的體積。四、VR操作題（共20分）（10分）三維建模任務(wù)：在虛擬幾何畫板中，使用VR控制器完成以下操作：（1）構(gòu)建一個(gè)棱長為2的正三棱柱；（2）在虛擬空間中找到該三棱柱的中心對稱點(diǎn)；（3）測量并記錄三棱柱任意兩個(gè)相鄰面所成二面角的大小。（10分）動(dòng)態(tài)函數(shù)實(shí)驗(yàn)：在VR函數(shù)可視化系統(tǒng)中：（1）繪制函數(shù)y=e?-2x的圖像；（2）通過調(diào)節(jié)參數(shù)k，觀察直線y=kx+1與函數(shù)圖像的交點(diǎn)情況；（3）記錄當(dāng)直線與函數(shù)圖像相切時(shí)的k值，并解釋該值的幾何意義。五、開放探究題（共30分）（15分）VR空間幾何設(shè)計(jì)：某虛擬博物館需要設(shè)計(jì)一個(gè)正四棱錐形狀的展廳，要求該展廳的體積為1000立方米，底面邊長不超過20米。（1）建立底面邊長x與高h(yuǎn)的函數(shù)關(guān)系；（2）在VR系統(tǒng)中模擬不同x值對應(yīng)的展廳空間效果，分析當(dāng)x為何值時(shí)側(cè)面積最??；（3）若展廳地面鋪設(shè)成本為200元/平方米，側(cè)面裝修成本為300元/平方米，在虛擬預(yù)算系統(tǒng)中計(jì)算最低總成本。（15分）概率模型構(gòu)建：在疫情傳播VR模擬場景中，設(shè)定初始有100名健康虛擬人，每位感染者每天平均接觸5人，接觸導(dǎo)致感染的概率為20%，康復(fù)周期為3天（康復(fù)后具有免疫力）。（1）建立疫情傳播的離散數(shù)學(xué)模型（用遞推公式表示第n天的感染人數(shù)I?）；（2）在VR系統(tǒng)中運(yùn)行模擬14天，記錄第7天的累計(jì)感染人數(shù)；（3）若將接觸感染概率調(diào)整為15%，分析疫情傳播速度的變化率。六、編程與數(shù)學(xué)建模題（共30分）（15分）VR路徑規(guī)劃：在虛擬城市地圖中，有A、B、C、D四個(gè)地點(diǎn)，坐標(biāo)分別為(0,0)、(3,0)、(3,4)、(0,4)，學(xué)生需要通過VR編程模塊設(shè)計(jì)最短路徑算法。（1）建立坐標(biāo)系并計(jì)算任意兩點(diǎn)間的直線距離；（2）使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法編寫虛擬路徑規(guī)劃程序，計(jì)算從A到D的最短路徑長度；（3）若虛擬城市中新增障礙物區(qū)域（x-1.5)2+(y-2)2≤1，重新規(guī)劃最短路徑。（15分）數(shù)據(jù)可視化分析：在VR統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)室中，有某高中2025屆500名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績數(shù)據(jù)（滿分150分），系統(tǒng)已生成頻率分布直方圖。（1）若直方圖顯示成績在[120,150]區(qū)間的頻率為0.24，估計(jì)該區(qū)間的學(xué)生人數(shù)；（2）通過VR數(shù)據(jù)工具計(jì)算成績的中位數(shù)所在區(qū)間；（3）若將成績轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)分（Z=(X-μ)/σ，其中μ=90，σ=20），估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)分大于1.5的學(xué)生比例。七、創(chuàng)新應(yīng)用題（共20分）（10分）VR物理與數(shù)學(xué)結(jié)合題：在虛擬力學(xué)實(shí)驗(yàn)室中，一個(gè)質(zhì)量為2kg的物體在水平面上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，VR傳感器記錄到第1秒內(nèi)位移2m，第3秒內(nèi)位移6m。（1）計(jì)算物體的加速度大??；（2）若動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2，計(jì)算水平拉力大?。╣=10m/s2）。（10分）經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型：虛擬創(chuàng)業(yè)場景中，某學(xué)生開設(shè)網(wǎng)店銷售VR設(shè)備，已知每臺售價(jià)x（元）與月銷量y（臺）的關(guān)系為y=1000-2x，每臺成本為300元。（1）建立月利潤L與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系；（2）在VR價(jià)格調(diào)節(jié)系統(tǒng)中找到使月利潤最大的售價(jià)。八、綜合實(shí)踐題（共30分）（15分）建筑幾何設(shè)計(jì)：在虛擬建筑工作室中，設(shè)計(jì)一個(gè)底面為正方形的金字塔形觀光塔，要求塔高是底面邊長的1.5倍，體積控制在5000立方米以內(nèi)。（1）確定底面邊長的取值范圍；（2）計(jì)算當(dāng)體積最大時(shí)的表面積；（3）若觀光塔側(cè)面采用玻璃幕墻，每平方米造價(jià)500元，計(jì)算最低幕墻總造價(jià)。（15分）動(dòng)態(tài)優(yōu)化問題：在VR工廠模擬系統(tǒng)中，某機(jī)器生產(chǎn)的零件尺寸誤差X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，已知P(X>1)=0.1587，P(X<-1)=0.0228。（1）求μ和σ的值；（2）若合格零件尺寸范圍為[-2,2]，計(jì)算合格率；（3）通過VR參數(shù)調(diào)節(jié)系統(tǒng)將σ減小到原來的80%，計(jì)算新的合格率。九、拓展探究題（共20分）（10分）復(fù)數(shù)幾何意義：在VR復(fù)平面中，復(fù)數(shù)z滿足|z-2-3i|=5，學(xué)生通過虛擬軌跡生成工具觀察z的軌跡圖形。（1）描述該軌跡的幾何形狀；（2）計(jì)算該軌跡上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離。（10分）微分方程應(yīng)用：在虛擬人口模擬系統(tǒng)中，某地區(qū)人口增長滿足微分方程dP/dt=0.02P(1-P/100000)，初始人口P?=10000。（1）判斷該微分方程的類型；（2）預(yù)測該地區(qū)人口的穩(wěn)定值。十、跨學(xué)