2025年下學期高中數學伊藤積分技術觀試卷一、選擇題（每題5分，共30分）伊藤積分的定義核心特征是（）A.對時間區(qū)間任意取點構造和式B.僅取子區(qū)間左端點構造均方收斂和式C.要求被積函數為確定性函數D.積分結果為非隨機變量布朗運動的二次變差性質表現為（）A.時間區(qū)間劃分越細，增量平方和趨近于0B.增量平方和的極限等于時間長度tC.與黎曼積分的二次變差一致D.僅在有限區(qū)間內成立伊藤引理與普通微積分鏈式法則的關鍵區(qū)別在于（）A.無需考慮函數的導數連續(xù)性B.增加了二階導數的修正項C.僅適用于線性函數D.不依賴隨機過程的適應性下列函數中，不滿足伊藤積分存在性條件的是（）A.連續(xù)且與布朗運動獨立的隨機過程B.分段連續(xù)的確定性函數C.依賴未來布朗運動增量的隨機過程D.滿足線性增長條件的適應過程設W(t)為標準布朗運動，則伊藤積分∫??W(s)dW(s)的結果為（）A.(W(t)2-t)/2B.W(t)2/2C.tW(t)D.W(t)-t伊藤積分的鞅性是指（）A.積分結果的期望隨時間遞增B.對任意s<t，E[∫??H(u)dW(u)|F?]=∫??H(u)dW(u)C.積分路徑為單調過程D.方差與時間成反比二、填空題（每題6分，共30分）伊藤積分的定義中，被積過程H(t)需滿足的兩個核心條件是__________和__________。布朗運動W(t)的增量W(t?)-W(t?)服從__________分布，其方差為__________。對函數f(x)=x2應用伊藤引理，若x(t)滿足dX(t)=μdt+σdW(t)，則df(X(t))=__________。伊藤積分的線性性質可表述為：對任意常數a,b及適應過程H,K，有∫??[aH(s)+bK(s)]dW(s)=__________。幾何布朗運動dX(t)=μX(t)dt+σX(t)dW(t)的解析解為X(t)=X?exp(__________)。三、解答題（共40分）（12分）證明伊藤積分的鞅性設W(t)為標準布朗運動，H(t)是適應于filtration{F?}的平方可積過程，證明伊藤積分I(t)=∫??H(s)dW(s)是鞅。（14分）計算伊藤積分與應用伊藤引理已知X(t)=W(t)3，其中W(t)為布朗運動，求dX(t)的表達式，并計算∫??W(s)2dW(s)。（14分）隨機微分方程求解考慮線性隨機微分方程dX(t)=-αX(t)dt+βdW(t)，X(0)=X?（α,β為正常數），（1）用伊藤引理證明X(t)=e^(-αt)[X?+β∫??e^(αs)dW(s)]是方程的解；（2）計算E[X(t)]和Var[X(t)]。四、應用題（共20分）金融衍生品定價基礎設股票價格S(t)服從幾何布朗運動dS(t)=μS(t)dt+σS(t)dW(t)，無風險利率為r。（1）寫出股票價格的解析表達式；（2）利用伊藤引理證明貼現過程e^(-rt)S(t)是鞅（需注明所需假設）。物理中的隨機運動建模布朗粒子在黏性介質中的運動滿足朗之萬方程mdv/dt=-γv+η(t)，其中η(t)為白噪音。若將白噪音表示為η(t)=σdW(t)/dt，將方程改寫為伊藤隨機微分方程形式，并說明方程中各項的物理意義。五、證明題（共30分）（15分）伊藤等距性證明設H(t)是適應過程且E[∫??H(s)2ds]<∞，證明E[(∫??H(s)dW(s))2]=E[∫??H(s)2ds]。（15分）二次變差性質推導對布朗運動W(t)的時間區(qū)間[0,t]作劃分0=t?<t?<...<t?=t，記ΔW?=W(t???)-W(t?)，證明當maxΔt?→0時，∑?(ΔW?)2依概率收斂于t。六、綜合分析題（共30分）伊藤積分與黎曼積分的本質差異（1）對比說明伊藤積分與黎曼積分在定義、收斂性及路徑性質上的三個核心區(qū)別；（2）舉例說明若伊藤積分采用區(qū)間中點取值而非左端點，會導致何種矛盾結果。隨機波動率模型的伊藤表示考慮Heston模型：dS(t)=μS(t)dt+√V(t)S(t)dW?(t)，dV(t)=κ(θ-V(t))dt+σ√V(t)dW?(t)，其中W?,W?為相關布朗運動，相關系數ρ。（1）寫出S(t)的伊藤積分表達式；（2）對f(S,V)=lnS應用伊藤引理，推導df(S,V)的表達式，并解釋各項的經濟意義。參考答案及評分標準（另附）選擇題：1-B,2-B,3-B,4-C,5-A,6-B填空題：連續(xù)性、與布朗運動的獨立性（或適