2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)與場(chǎng)景構(gòu)建數(shù)學(xué)模型試卷一、選擇題（每題5分，共30分）在紅綠燈管理模型中，某路口早高峰（7:00-8:00）東西方向交通流量為5000輛/小時(shí)，南北方向?yàn)?000輛/小時(shí)。若采用周期為120秒的紅綠燈控制，根據(jù)流量比例分配綠燈時(shí)間，東西方向綠燈時(shí)長(zhǎng)應(yīng)為（）A.45秒B.60秒C.75秒D.90秒某超市推出"滿100減30"優(yōu)惠券，已知商品毛利率為25%，若顧客單次消費(fèi)均使用優(yōu)惠券且達(dá)到滿減條件，為保證不虧損，商品定價(jià)至少應(yīng)在成本基礎(chǔ)上提高（）A.30%B.35%C.40%D.45%汽車剎車距離模型中，剎車距離s（米）與車速v（千米/小時(shí)）的關(guān)系為s=0.01v+0.005v2。當(dāng)剎車距離為22米時(shí)，車速約為（）A.40km/hB.50km/hC.60km/hD.70km/h在易拉罐設(shè)計(jì)中，若體積固定為355ml，為使表面積最小，圓柱底面半徑與高的比值應(yīng)為（）A.1:1B.1:2C.1:3D.2:1電梯調(diào)度模型中，某寫字樓1-10層工作日早高峰上行客流量如下表，采用分區(qū)調(diào)度策略時(shí)最佳分區(qū)點(diǎn)為（）|樓層|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10||----|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---||人數(shù)|20|15|12|8|5|10|15|18|12|8|A.4-5層B.5-6層C.6-7層D.7-8層基于模擬退火算法的河海污染追蹤模型中，若初始溫度T=100，降溫系數(shù)α=0.95，經(jīng)過10次迭代后溫度應(yīng)為（）A.59.87B.60.10C.61.33D.62.85二、填空題（每題6分，共30分）某外賣平臺(tái)配送費(fèi)計(jì)算規(guī)則為：3公里內(nèi)基礎(chǔ)配送費(fèi)8元，超過3公里部分每公里加收2元，不足1公里按1公里計(jì)算。若某訂單實(shí)際配送距離為5.3公里，應(yīng)收取配送費(fèi)______元。家具搬運(yùn)模型中，某衣柜尺寸為1.8m×0.6m×2.2m（長(zhǎng)×寬×高），電梯門尺寸為1.5m×2.0m（寬×高），為順利搬運(yùn)，衣柜與電梯門所成夾角α的余弦值應(yīng)滿足______（精確到0.01）。雨中行模型中，行人速度v（m/s）、雨速u（m/s）、淋雨面積S（m2）與淋雨量Q（kg）的關(guān)系為Q=S·t·√(v2+u2)，其中t為淋雨時(shí)間。若雨速u=4m/s，行人以5m/s速度行走100米，淋雨面積0.5m2，則淋雨量為______kg。包裝彩帶模型中，長(zhǎng)方體禮盒長(zhǎng)a=20cm，寬b=15cm，高c=10cm，十字形包扎時(shí)彩帶打結(jié)部分需20cm，則所需彩帶總長(zhǎng)至少為______cm。鳥擊風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)模型中，某機(jī)場(chǎng)跑道周邊鳥類密度ρ（只/km2）、航班起降架次n與鳥擊風(fēng)險(xiǎn)R的關(guān)系為R=kρn2（k為常數(shù)）。若鳥類密度增加20%，起降架次增加10%，則鳥擊風(fēng)險(xiǎn)增加______%。三、解答題（共90分）1.紅綠燈管理優(yōu)化模型（20分）某十字路口采用兩相位控制（東西方向和南北方向交替通行），通過實(shí)地調(diào)研獲得如下數(shù)據(jù)：東西方向：直行車輛到達(dá)率λ?=0.5輛/秒，左轉(zhuǎn)車輛到達(dá)率λ?=0.2輛/秒，右轉(zhuǎn)不受限制南北方向：直行車輛到達(dá)率λ?=0.3輛/秒，左轉(zhuǎn)車輛到達(dá)率λ?=0.1輛/秒，右轉(zhuǎn)不受限制車輛平均通過路口時(shí)間：直行t?=2秒/輛，左轉(zhuǎn)t?=3秒/輛黃燈時(shí)間統(tǒng)一設(shè)置為3秒，全紅清空時(shí)間2秒（1）建立該路口交通信號(hào)周期優(yōu)化模型，以最小化車輛平均延誤為目標(biāo)（10分）（2）若早高峰期間東西方向車流量增加50%，如何調(diào)整信號(hào)配時(shí)方案（10分）2.易拉罐設(shè)計(jì)優(yōu)化（25分）某飲料公司計(jì)劃推出新型易拉罐包裝，需在滿足以下條件下進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)：容積V=500ml（±5ml）材料成本與表面積成正比上下底厚度為側(cè)壁厚度的2倍直徑不超過70mm，高度不超過150mm（1）建立易拉罐表面積最小化的數(shù)學(xué)模型（10分）（2）求解最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)（半徑r、高度h）并驗(yàn)證是否滿足約束條件（8分）（3）若考慮生產(chǎn)過程中半徑存在±0.5mm誤差，分析對(duì)材料成本的影響（7分）3.房貸還款動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型（25分）某家庭計(jì)劃貸款100萬元購(gòu)買住房，貸款年利率4.8%，貸款期限20年，有以下兩種還款方式：等額本息：每月固定還款額，包含本金和利息等額本金：每月償還固定本金加剩余本金產(chǎn)生的利息（1）分別建立兩種還款方式的數(shù)學(xué)模型，計(jì)算每月還款額及總利息（10分）（2）若該家庭每月可額外還款X元，建立提前還款的動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型，以最小化總利息支出為目標(biāo)（8分）（3）分析X=2000元時(shí)的最優(yōu)提前還款策略及總利息節(jié)省金額（7分）4.外賣與環(huán)保綜合模型（20分）某外賣平臺(tái)為減少一次性餐具使用，推出"無餐具配送"獎(jiǎng)勵(lì)計(jì)劃：用戶選擇無餐具，訂單獎(jiǎng)勵(lì)10積分（100積分=1元）商家每單承擔(dān)0.5元環(huán)保成本平臺(tái)每單補(bǔ)貼0.3元當(dāng)前用戶選擇率為20%，餐具損耗率為5%（1）建立平臺(tái)、商家、用戶三方的成本-收益模型（10分）（2）若目標(biāo)將無餐具選擇率提升至50%，設(shè)計(jì)積分獎(jiǎng)勵(lì)調(diào)整方案并分析可行性（10分）四、建模應(yīng)用題（30分）某中學(xué)計(jì)劃在校園內(nèi)建設(shè)雨水回收系統(tǒng)，用于綠化灌溉和衛(wèi)生間沖水。需解決以下問題：收集近5年校園逐月降雨量數(shù)據(jù)（可假設(shè)數(shù)據(jù)），建立降雨量預(yù)測(cè)模型結(jié)合校園面積（20000m2）、徑流系數(shù)（0.6）、蒸發(fā)量等參數(shù)，建立雨水收集量計(jì)算模型根據(jù)綠化灌溉（日均30m3）和衛(wèi)生間沖水（日均20m3）需求，設(shè)計(jì)蓄水池容積考慮初期雨水棄流（前10mm降雨）和過濾損失（15%），優(yōu)化系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)若建設(shè)成本為1500元/m3，水費(fèi)3.5元/m3，計(jì)算投資回收期要求：（1）明確模型假設(shè)和參數(shù)設(shè)定（8分）（2）建立完整的數(shù)學(xué)模型并求解（12分）（3）分析模型敏感性及實(shí)際應(yīng)用中的調(diào)整策略（10分）五、開放性建模題（20分）"校園共享單車調(diào)度"問題：某高校引進(jìn)共享單車500輛，投放一個(gè)月后出現(xiàn)局部區(qū)域供需失衡問題。請(qǐng)結(jié)合以下信息構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，提出優(yōu)化調(diào)度方案：校園劃分為教學(xué)區(qū)、生活區(qū)、運(yùn)動(dòng)區(qū)、行政區(qū)四個(gè)區(qū)域工作日早高峰（7:00-9:00）、午間（11:30-13:30）、晚高峰（17:00-19:00）為用車高峰期現(xiàn)有調(diào)度方式為人工調(diào)度，每輛車調(diào)度成本2元學(xué)生滿意度與等待時(shí)間負(fù)相關(guān)，與車輛可得率正相關(guān)要求：（1）定義關(guān)鍵指標(biāo)（如調(diào)度成本、學(xué)生滿意度等）（2）構(gòu)建至少2個(gè)不同的調(diào)度優(yōu)化模型（3）設(shè)計(jì)模型求解步驟和驗(yàn)證方法（4）提出基于模型的改進(jìn)建議（注：可合理假設(shè)數(shù)據(jù)，需明確說明假設(shè)條件）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（部分）一、選擇題C2.C3.A4.B5.B6.A二、填空題142.0.803.44.724.1405.45.2三、解答題（要點(diǎn)）紅綠燈管理優(yōu)化模型（1）延誤模型：D=∑(q2)/(2(1-q))，其中q=λt/T（λ到達(dá)率，t綠燈時(shí)間，T周期）（2）最優(yōu)周期T=150秒，東西方向綠燈65秒，南北方向綠燈45秒易拉罐設(shè)計(jì)優(yōu)化（1）表面積模型：S=2πr2+2πrh，約束條件πr2h=V（2）最優(yōu)解r≈3.2cm，h≈15.6cm，滿足直徑和高度限制房貸還款模型（1）等額本息月還款額：6599元，總利息約58.4萬元（2）等額本金首月還款額：8167元，總利息約48.2萬元外賣與環(huán)保模型（1）三方收益模型：用戶收益=10積分，商家成本=0.5元，平臺(tái)補(bǔ)貼=0.3元（2）建議將積分獎(jiǎng)勵(lì)提高至15積分，預(yù)計(jì)選擇率可達(dá)52%本試卷嚴(yán)格遵循2025年高中