2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)與動(dòng)畫原理數(shù)學(xué)模型試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）在動(dòng)畫制作中，為實(shí)現(xiàn)物體的拋物線運(yùn)動(dòng)軌跡，需用到二次函數(shù)模型。已知某小球在動(dòng)畫場(chǎng)景中初始位置為（0,2），水平方向速度為3個(gè)單位/秒，豎直方向加速度為-4個(gè)單位/秒2（重力加速度模擬值），忽略空氣阻力，其運(yùn)動(dòng)軌跡方程為：A.y=2+3x-2x2B.y=2+x-4x2C.y=2+(3/2)x-x2D.y=2+(2/3)x-(4/9)x2三維動(dòng)畫中常用矩陣變換實(shí)現(xiàn)模型旋轉(zhuǎn)。若將點(diǎn)P(1,0,0)繞y軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，其變換矩陣為：[\begin{bmatrix}0&0&1\0&1&0\-1&0&0\end{bmatrix}]則變換后點(diǎn)的坐標(biāo)為：A.(0,0,-1)B.(0,0,1)C.(1,0,0)D.(-1,0,0)動(dòng)畫渲染時(shí)需計(jì)算光源照射強(qiáng)度，某點(diǎn)光源的光照強(qiáng)度符合平方反比定律：(I=\frac{k}{d^2})（k為常數(shù)，d為距離）。若物體與光源距離從2米增加到6米，光照強(qiáng)度變?yōu)樵瓉?lái)的：A.1/3B.1/9C.3倍D.9倍關(guān)鍵幀動(dòng)畫中，物體位置變化常采用線性插值。已知某角色在t=1秒時(shí)位置為(5,3)，t=4秒時(shí)位置為(14,12)，則t=2秒時(shí)的位置坐標(biāo)為：A.(8,6)B.(7,5)C.(6,4)D.(9,7)貝塞爾曲線是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的重要工具，二次貝塞爾曲線的參數(shù)方程為：(B(t)=(1-t)^2P_0+2t(1-t)P_1+t^2P_2)（t∈[0,1]）若控制點(diǎn)(P_0=(0,0))，(P_1=(1,2))，(P_2=(3,1))，則t=0.5時(shí)曲線點(diǎn)的坐標(biāo)為：A.(1.25,1.25)B.(1.5,1.5)C.(1.75,1.25)D.(2.0,1.0)在三維建模中，歐拉角用于描述物體旋轉(zhuǎn)狀態(tài)。若某模型先繞x軸旋轉(zhuǎn)α，再繞y軸旋轉(zhuǎn)β，與先繞y軸旋轉(zhuǎn)β再繞x軸旋轉(zhuǎn)α的結(jié)果：A.一定相同B.一定不同C.當(dāng)α=β時(shí)相同D.當(dāng)α=0或β=0時(shí)相同動(dòng)畫中的“慢入慢出”效果可通過(guò)三次函數(shù)實(shí)現(xiàn)速度控制，某物體運(yùn)動(dòng)位移函數(shù)為(s(t)=t^3-3t^2+3t)（t∈[0,1]），則其速度函數(shù)v(t)在t=0.5時(shí)的值為：A.0.75B.1.0C.1.25D.1.5為模擬煙霧擴(kuò)散效果，需生成隨機(jī)游走路徑。某粒子初始位置為原點(diǎn)，每次移動(dòng)沿x軸或y軸方向隨機(jī)走1個(gè)單位，移動(dòng)方向服從均勻分布，則經(jīng)過(guò)4次移動(dòng)后粒子位于點(diǎn)(2,2)的概率為：A.1/8B.3/32C.5/32D.7/32骨骼動(dòng)畫中，蒙皮權(quán)重決定骨骼對(duì)頂點(diǎn)的影響程度。若某頂點(diǎn)受兩根骨骼影響，權(quán)重分別為0.6和0.4，當(dāng)兩根骨骼分別位移(3,0)和(-2,1)時(shí)，頂點(diǎn)的實(shí)際位移為：A.(1.0,0.4)B.(1.8,0.4)C.(0.8,0.6)D.(0.6,0.4)幀速率是動(dòng)畫流暢度的關(guān)鍵指標(biāo)，若某動(dòng)畫采用24幀/秒的標(biāo)準(zhǔn)，要表現(xiàn)一個(gè)持續(xù)5秒的鏡頭，共需繪制關(guān)鍵幀和中間幀的總數(shù)為：A.24B.48C.120D.240二、填空題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）某動(dòng)畫場(chǎng)景中，圓形光斑的半徑隨時(shí)間變化規(guī)律為(r(t)=2+\sin(\pit))（t單位：秒），則t=0.5秒時(shí)光斑面積的變化率為_(kāi)_________（結(jié)果保留π）。三維空間中，平面方程為(2x-y+3z=6)，則原點(diǎn)到該平面的距離為_(kāi)_________。為實(shí)現(xiàn)角色面部表情動(dòng)畫，需對(duì)500個(gè)頂點(diǎn)進(jìn)行變形控制，每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)自由度（x,y,z），若采用線性變換，共需__________個(gè)參數(shù)來(lái)描述該變換矩陣。物理引擎中，彈簧振子模型滿足微分方程(m\ddot{x}+kx=0)（m為質(zhì)量，k為彈性系數(shù)），其通解為(x(t)=A\cos(\omegat+\phi))，則角頻率ω=__________。關(guān)鍵幀插值中，若兩關(guān)鍵幀旋轉(zhuǎn)角度分別為10°和40°，采用球面線性插值（Slerp）計(jì)算中間幀，當(dāng)插值參數(shù)t=1/3時(shí)，旋轉(zhuǎn)角度為_(kāi)_________度。三、解答題（本大題共4小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）（16分）在二維動(dòng)畫場(chǎng)景中，小球從點(diǎn)A(0,4)以初速度(v_0=(3,2))單位/秒拋出，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受重力加速度(g=(0,-4))單位/秒2作用（忽略空氣阻力）。（1）求小球運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程（以時(shí)間t為參數(shù)）；（2）計(jì)算小球達(dá)到最高點(diǎn)的時(shí)間及坐標(biāo)；（3）若地面在y=0處，求小球落地時(shí)的水平距離。（18分）三維動(dòng)畫中，某模型的頂點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,1,3)，需進(jìn)行以下變換：（1）沿x軸平移3個(gè)單位，沿z軸平移-2個(gè)單位，求變換后點(diǎn)P1的坐標(biāo)；（2）將P1繞y軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°（旋轉(zhuǎn)矩陣(\begin{bmatrix}0&0&-1\0&1&0\1&0&0\end{bmatrix})），求變換后點(diǎn)P2的坐標(biāo)；（3）計(jì)算從原始點(diǎn)P到最終點(diǎn)P2的總位移向量。（18分）動(dòng)畫渲染中的光照模型采用蘭伯特余弦定律：(I=I_0\cos\theta)，其中θ為光線與物體表面法線的夾角。（1）若某平面的法向量為(\vec{n}=(0,1,0))，平行光方向向量為(\vec{l}=(1,1,0))，求θ的余弦值；（2）若光源強(qiáng)度(I_0=100)，計(jì)算該平面的漫反射強(qiáng)度I；（3）若平面繞x軸旋轉(zhuǎn)60°，求旋轉(zhuǎn)后法向量(\vec{n}')與光線(\vec{l})的夾角余弦值（提示：旋轉(zhuǎn)后法向量((0,\cos60°,\sin60°))）。（18分）貝塞爾曲線在動(dòng)畫路徑規(guī)劃中廣泛應(yīng)用，已知三次貝塞爾曲線的參數(shù)方程為：(B(t)=(1-t)^3P_0+3t(1-t)^2P_1+3t^2(1-t)P_2+t^3P_3)（t∈[0,1]）控制點(diǎn)為(P_0=(0,0))，(P_1=(1,2))，(P_2=(3,3))，(P_3=(4,1))。（1）求t=0和t=1時(shí)的曲線端點(diǎn)坐標(biāo)；（2）計(jì)算曲線在t=0處的切向量（速度向量）；（3）求曲線在t∈[0,1]上的最低點(diǎn)坐標(biāo)（提示：通過(guò)求導(dǎo)找極值點(diǎn)）。四、應(yīng)用題（本大題共2小題，共50分）（25分）物理模擬動(dòng)畫中，彈簧-阻尼系統(tǒng)的振動(dòng)方程為：(m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0)，其中m=1kg，c=2N·s/m，k=1N/m，初始位移x(0)=1m，初始速度(\dot{x}(0)=0)。（1）證明該系統(tǒng)的通解為(x(t)=e^{-t}(A\cost+B\sint))；（2）求滿足初始條件的特解(x(t))；（3）計(jì)算t=π秒時(shí)的位移和速度，并說(shuō)明該動(dòng)畫場(chǎng)景中物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（衰減/等幅/發(fā)散）。（25分）三維角色動(dòng)畫中，骨骼鏈由髖關(guān)節(jié)（H）、膝關(guān)節(jié)（K）、踝關(guān)節(jié)（A）組成，三點(diǎn)坐標(biāo)分別為H(0,10,0)，K(0,6,0)，A(0,2,0)?，F(xiàn)需通過(guò)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)使足尖A到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)T(3,1,2)。（1）計(jì)算髖關(guān)節(jié)H到目標(biāo)點(diǎn)T的距離d；（2）若大腿長(zhǎng)度HK=4，小腿長(zhǎng)度KA=4，判斷目標(biāo)點(diǎn)T是否在可達(dá)范圍內(nèi)（提示：判斷|HK-KA|≤d≤HK+KA）；（3）若可達(dá)，計(jì)算膝關(guān)節(jié)K的坐標(biāo)（提示：以H為原