2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)與曲式分析數(shù)學(xué)模型試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）音樂作品中常見的單三部曲式（A-B-A）結(jié)構(gòu)可視為數(shù)學(xué)中的哪種變換？A.對稱變換B.旋轉(zhuǎn)變換C.平移變換D.反射變換某二部曲式（A-B）音樂片段中，A段時長48秒，B段采用A段材料的緊縮手法，時值縮短為原長度的2/3，且速度提升50%，則B段實際演奏時長為：A.21秒B.24秒C.27秒D.32秒在分析貝多芬《月光奏鳴曲》第一樂章（A-B-A-Coda）時，若Coda部分采用主題A的動機(jī)發(fā)展，其旋律片段滿足函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)+1，x∈[0,π]，則該函數(shù)的對稱軸方程為：A.x=π/12B.x=π/6C.x=π/4D.x=π/3賦格曲中主題與對題的模仿關(guān)系可抽象為數(shù)列問題：若主題旋律音高序列為a?=2n+1（n∈N*），對題采用下方四度模仿（音程差-5），則第8小節(jié)對題的音高為：A.10B.11C.12D.13某回旋曲式（A-B-A-C-A）結(jié)構(gòu)中，各段落時長構(gòu)成等比數(shù)列，已知A段基礎(chǔ)時長為16秒，公比q=1.25，則全曲總時長為：A.85.5秒B.92.5秒C.102.5秒D.112.5秒音樂材料的“分裂”手法中，某動機(jī)片段由原長度8小節(jié)分裂為3個部分，各部分時長構(gòu)成等差數(shù)列，且第二部分比第一部分多1小節(jié)，第三部分是第一部分的2倍，則最長片段時長為：A.2小節(jié)B.3小節(jié)C.4小節(jié)D.5小節(jié)在調(diào)性布局分析中，某作品從C大調(diào)開始，依次經(jīng)過G大調(diào)（上五度）、F大調(diào)（下五度）、D大調(diào)（上五度）回歸C大調(diào)，若將調(diào)性轉(zhuǎn)換視為向量運算，以五度圈距離為模長，則總位移向量的模為：A.0B.1C.2D.3變奏曲式中，主題旋律y=f(x)經(jīng)過“倒影”變換（音高反轉(zhuǎn)）后得到新旋律y=g(x)，若原主題滿足f(x)=2x2-4x+3（x∈[0,2]），則倒影變換后的函數(shù)g(x)解析式為：A.-2x2+4x-1B.-2x2+4x+1C.2x2-4x+5D.-2x2+4x+5某奏鳴曲式呈示部中，主部與副部的調(diào)性距離為小三度（3個半音），若主部速度為?=60，副部速度增加20%，則副部的單位拍時長為：A.0.8秒B.1.0秒C.1.2秒D.1.5秒音樂織體密度可量化為單位時間內(nèi)的音符數(shù)，某作品的織體密度函數(shù)為ρ(t)=t3-6t2+9t+5（t∈[0,4]），則織體密度的極大值點為：A.t=1B.t=2C.t=3D.t=4三部五部性結(jié)構(gòu)（A-B-A'-B'-A）中，各段落的和聲復(fù)雜度指數(shù)構(gòu)成斐波那契數(shù)列，若A段復(fù)雜度為3，B段為5，則A'段的復(fù)雜度指數(shù)為：A.7B.8C.10D.13在分析十二音序列音樂時，某序列的音高集合為{0,1,3,6,10}（以半音為單位），其音程間隔構(gòu)成的集合是：A.{1,2,3,4}B.{1,2,3,7}C.{1,3,4,7}D.{2,3,4,7}二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）某搖籃曲采用6/8拍，每小節(jié)強(qiáng)弱規(guī)律為“強(qiáng)-弱-次強(qiáng)-弱-弱-弱”，若用矩陣表示每小節(jié)的力度系數(shù)，則該力度矩陣為________。賦格曲的答題采用主題的倒影模仿，若主題旋律的音高向量為a=(2,5,3,7)，倒影變換矩陣為(\begin{bmatrix}0&1\-1&0\end{bmatrix})，則答題的音高向量為________。某變奏曲式中，主題時長為20秒，每次變奏時長增加15%，且變奏次數(shù)n∈N*，則經(jīng)過________次變奏后，單段時長首次超過原主題的2倍。音樂作品的情感曲線可近似用三角函數(shù)表示，某作品的情感強(qiáng)度函數(shù)為E(t)=3sin(πt/12)+2（t∈[0,24]，單位：分鐘），則該作品情感強(qiáng)度超過4的時間段長度為________分鐘。三、解答題（本大題共6小題，共70分）17.（10分）某二部曲式（A-B）音樂片段中，A段由兩個平行樂句構(gòu)成，每個樂句4小節(jié)，速度?=72。B段采用A段的動機(jī)發(fā)展，其中：（1）A段第一樂句的旋律音高滿足函數(shù)f(x)=x2-4x+5（x∈[1,5]），求該函數(shù)的最小值及對應(yīng)音高；（2）B段將A段動機(jī)的時值擴(kuò)大為原長度的1.5倍，同時速度降低25%，計算B段單個樂句的實際演奏時長。18.（12分）在三部曲式（A-B-A'）結(jié)構(gòu)分析中：（1）已知A段和A'段的調(diào)性分別為C大調(diào)（音階集合{0,2,4,5,7,9,11}）和c小調(diào)（音階集合{0,2,3,5,7,8,10}），求兩調(diào)性的共同音程集合及基數(shù)；（2）若B段采用調(diào)性模進(jìn)手法，從C大調(diào)開始，每次上移五度（+7半音），經(jīng)過3次轉(zhuǎn)調(diào)后回歸主調(diào)，建立轉(zhuǎn)調(diào)路徑的有向圖模型，并計算總音程位移量。19.（12分）某回旋曲式（A-B-A-C-A）的結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：A段：8小節(jié)，主題旋律為等差數(shù)列，公差d=2，首項a?=5B段：6小節(jié)，采用A段主題的倒影變奏C段：10小節(jié)，采用A段主題的擴(kuò)展手法，時值擴(kuò)大2倍（1）寫出A段主題的完整旋律序列；（2）若B段倒影變換滿足y=-f(x)+12，求B段旋律的首項和末項；（3）計算全曲總時長（速度?=60）。20.（12分）音樂中的“黃金分割”結(jié)構(gòu)：某奏鳴曲式展開部的高潮位置符合黃金分割比例，已知呈示部80小節(jié)，展開部60小節(jié)，再現(xiàn)部70小節(jié)。（1）若全曲總時長為黃金矩形的周長，且長與寬之比為φ=（√5+1）/2，求全曲時長；（2）證明展開部高潮點位于第37小節(jié)（精確到整數(shù)），并說明其數(shù)學(xué)依據(jù)。21.（12分）變奏曲式中，主題與變奏的關(guān)系可建模為函數(shù)變換：主題：f(x)=sinx+cosx（x∈[0,2π]）變奏1：橫向拉伸2倍，縱向壓縮1/2變奏2：沿x軸翻轉(zhuǎn)后上移1個單位（1）寫出變奏1和變奏2的函數(shù)解析式；（2）求變奏2的最大值及對應(yīng)x值，并解釋其音樂表現(xiàn)意義。22.（12分）某現(xiàn)代音樂作品采用數(shù)學(xué)化結(jié)構(gòu)設(shè)計：（1）全曲時長12分鐘，分為5個段落，各段落時長構(gòu)成等比數(shù)列，且第三段時長為2分鐘，求首項a?和公比q（q>1）；（2）若每段落的音量（分貝）滿足函數(shù)L(t)=10log(I/I?)，其中I(t)=t2-12t+40（t∈[0,12]），求音量的最小值及對應(yīng)時間點。四、附加題（本大題共2小題，共15分，不計入總分）用矩陣論方法證明賦格曲的主題-對題-答題三部模仿滿足正交變換的性質(zhì)，并構(gòu)建3×3模仿矩陣。建立音樂曲式結(jié)構(gòu)的圖論模型，將樂段視為節(jié)點，段落關(guān)系視為有向邊，以