專題6.7相似三角形的證明與計算專項訓(xùn)練（60道）

【蘇科版】

考卷信息：

本套訓(xùn)練卷共60題，針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學(xué)生對相似三角形的證明與計算的理解！

一.解答題（共30小題）

1.（2023?遼寧?大連市第三十四中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在2L48C中，點。在A8邊上，/.ABC=LACD.

（1）求證：AABC?AACD；

（2）若4。=4,AB=9求4c的長.

2.（2023?廣西賀州?九年級期末）如圖，在矩形A8CQ中,AB=2,4C=3,點E是4。的中點，由32于

點凡求的長.

3.（2023?全國?九年級課時練習(xí)）如圖，在BC中，AACB=90°,8148于D.

求證：LACD^LABC.

4.（2023?上海?九年級期末）如圖,在平行四邊形ABCD中，BC=8,點E、F是對角線BD上的兩點，且BE=EF=FD,

AE的延長線交BC于點G,GF的延長線交AD于點H.

（1）求HD的長；

（2）設(shè)48EG的面積為a,求四邊形AEFH的面積.（用含a的代數(shù)式表示）

HD

E

BGC

5.（2023?湖南省岳陽開發(fā)區(qū)長嶺中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知：如圖，0A30二團C,AQ=2,4C=8,求相.

6.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）已知，如圖，0ABe中，A8=4,BC=8,D為BC邊上一點,BD=2.求

證：（MBD00CTA.

7.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，01=02,—,求證：回C=ED.

AEAD

8.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）如圖1,在矩形ABCD中，AB=2,BC=5,BP=1,0MPN=9O°,將團MPN繞

點P從PB處開始順時針方向旋轉(zhuǎn)，PM交邊AB于點E,PN交邊AD于點F,當(dāng)PE旋轉(zhuǎn)至PA處時，回MPN

的旋轉(zhuǎn)隨即停止.

（1）如圖2,在旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)當(dāng)PN1經(jīng)過點A時，PN也經(jīng)過點D,求證：0ABPE0PCD

（2）如圖3,在旋轉(zhuǎn)過程中，蔡的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由

（3）設(shè)AE=m,連結(jié)EF,則在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)m為何值時,回BPE與mPEF相似.

9.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，在AABC中，AB=AC,Z.BAC=120°,。為BC邊上一點，E為

AC邊上一點，且44DE=30。，求證：△480?△OCE.

10.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，△ABC^^力DE都是等腰直角三角形,Z.ABC=Z-ADE=90°,AB=

BC,AD=DE,連接80,CE,求看的值.

11.（2023?全國?九年級課時練習(xí)）如圖，在（MAC中,4。是角平分線，點E是邊4C上一點，且滿足￡AOE=Z-B.

（2）若AE=3,AD=5,求AB的長.

12.（2023?全國?九年級課時練習(xí)）如圖，0ABe與團ADE中，0C=0E,01=02；

（1）證明：0ABC03ADE.

（2）請你再添加一個條件，使0ABem3ADE.你補充的條件為：.

13.（2023?全國?九年級單元測試）如圖，BD、CE是△力BC的高.

（2）若BD=8,AD=6,DE=5,求8c的長.

（?全國?九年級課時練習(xí)）如圖，AB//EF//CD,E為AD與BC的交點、,尸在上，求證：士=白.

14.2023BDAB2+CDEr

15.（2023?全國?九年級課時練習(xí)）（1）如圖1,將直角三角板（1勺直角頂點放在正方形A8C。上，使直角頂

點與。重合，三角板的一邊交于點P,另一邊交8c的延長線于點Q.則。aOQ（填“>〃“<”

或“="）;

（2）將（1）中“正方形4BCZT改成"矩形ABCQ",且AO=2,C￡>=4,其他條件不變.

①如圖2,若PQ=5,求"長.

②如圖3,若4。平分團POQ.則的長為.

16.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）感知：（1）數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個模型:

如圖1,Z.BAD=/.ACB=/.AED=90°,由Nl+42+/.BAD=180°,Z2+ZD+^AED=180°,可得41=

乙D;乂因為4cB=N4ED=90。，可得△48△O4E,進而得到三二.我們把這個模型稱為“一線

三等角"模型.

應(yīng)用：（2）實戰(zhàn)組受此模型的啟發(fā)，將三等角變?yōu)榉侵苯?，如圖2,在△ABC中，AB=AC=10,BC=12,

點P是8c邊上的一個動點（不與8、C重合），點。是AC邊上的一個動點，且/APD=Z-

①求證：△ABP-aPCD；

②當(dāng)點尸為BC中點時，求CZ）的長；

拓展：（3）在（2）的條件下如圖2,當(dāng)A4PQ為等腰三角形時，請直接寫出的長.

17.（2023,全國?九年級專題練習(xí)）如圖，在等邊三角形A8C中，點D,E分別在8C,48上，且EAOE=

60°.求證：^ADC^DEB.

18.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）如圖,平行四邊形ABC。中，點￡是8c上一線，連接AE,連接。E,

產(chǎn)為線段。E上一點，且0AFE=13B.求證；（MD/WDEC；

AD

BE

19.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，在△A8C中，點D,E分別在邊48、AC上，DC與8E相交于點0,

且D0=2,BO=DC=6,OE=3.求證：hDOEsCOB.

20.（2023?全國?九年級課時練習(xí)）如圖，點M為線段A4的中點，AE與4。交于點C,團QME=（M=（38,

且DM交AC于點F,ME交8C于點G.寫出圖中的所有相似三角形，并選擇一對加以證明.

21.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）如圖,。、石、尸分別是4力8。的三邊8。,。,48的中點.求證：2\0￡尸一△48C.

22.（2023?福建?原門市第五中學(xué)八年級期中）定義：若一個三角形最長邊是最短邊的2倍，我們把這樣的

三角形叫做"和諧三角形在中，點尸在邊AC上，。是邊5C上的一點，AB=BD,點A,。關(guān)于直

線；對稱，且直線/經(jīng)過點E

（1）如圖1，求作點F;（用直尺和圓規(guī)作圖保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）如圖2,0A4C是“和諧三角形〃，三邊長4C,AC,A/3分別。，b,c,且滿足下列兩個條件：a^2b,和

4c2=4〃C、+4-h-1.

①求小〃之間的等量關(guān)系：

②若AE是048。的中線.求證：0ACE是“和諧三角形

23.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）已知：如圖，在AABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DE0BC,點F

在邊AB上，BC2=BF?BA,CF與DE相交于點G.

(1)求證：DF?AB=BC?DG；

（2）當(dāng)點E為AC中點時,求證：2DF?EG=AF?DG.

24.（2023?全國?九年級單元測試）如圖,在RtSA5c中,04=90°,AB=2Qon,AC=15cm,在這個直角三

角形內(nèi)有一個內(nèi)接正方形，正方形的一邊在8C上，另兩個頂點￡、”分別在邊AB、AC上.

（1）求BC邊上的高；

（2）求正方形EFG〃的邊長.

25.（2023?江蘇?九年級專題練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，E是CD上的一點，F(xiàn)是BC的延長線上的一

點，且CE=CF,BE的延長線交DF于點G,求證：ZkBGF團ZkDCF.

26.（2023?全國?九年級課時練習(xí)）如圖，/為四邊形A/昭。邊C。上一點，連接AF并延長交8c延長線于

點E,已知匕。=4。?！?

（1）求證：△/WFECFx

（2）若48CO為平行四邊形，AB=6,EF=2AF,求FO的長度.

AD

27.（2023?安徽安慶?九年級階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點。，點E是BC

上的一個動點，連接DE,交AC于點F.

（1）如圖①，當(dāng)需二：時，求郎的值；

（2）如圖②，當(dāng)點E是BC的中點時，過點F作FG團BC于點G,求證：CG=|BG.

圖②

28.（2023?上海市徐匯中學(xué)九年級期中）如圖，已知中=點E、尸在邊BC上，滿足4氏4尸二“

2

求證：(1)BF-CEMAB?(2)=

29.（2023?山東泰安?中考真題）小明將兩個直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如

圖（2）的平面圖形，44cB與4ECD恰好為對頂角，/-ABC=^.CDE=90°,連接BD,AB=BD,點/是線

探究發(fā)現(xiàn):

（1）當(dāng)點尸為線段CE的中點時，連接。尸（如圖（2）,小明經(jīng)過探究，得到結(jié)論：80_LOF.你認(rèn)為此結(jié)

論是否成立？.（填"是"或"否〃）

拓展延伸：

（2）將（1）中的條件與結(jié)論互換，即：若BDJ.DF,則點尸為線段CE的中點.請判斷此結(jié)論是否成立.若

成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由.

問題解決：

（3）若4B=6,CE=9,求4。的長.

30.（2023?全國?九年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，（M?C=20C,點E為AC的中點，AD0BC于點。，

延長后交人8的延長線于點兒求證：AAEFWABC.

31.（2023?浙江杭州?模擬預(yù)測）如圖，在財和團4QE中，AB=AC,AD=AE,且國84C=團D4E.點M,

N分別是SO,CZ?的中點，連接AM,AN,MN.

（1）求證：0CAE03BAD；

（2）求證：EL4MM犯48C；

（3）若4C=6,AE=4,0EAC=6O°,求AN的長.

C

32.（2023?全國?九年級課時練習(xí)）在①DP?PB=CP?PA,②乙BAP=cCDP,③DP?AB=CD?PB這

三個條件中選擇其中一個，補充在下面的問題中，使命題正確，并證明.

問題：如圖，四邊形ABCD的兩條對角線交于P點，若（填序號）

求證：△48P?△OCP.

AD

33.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，在梯形A3C￡＞中，AD//BC,E1ABG90。，.且A8是AD,8C的比

34.（2023?甘肅蘭州?中考真題）如圖，在△ABC中，過點C作CD〃AB,E是AC的中點，連接DE并延長,

交AB于點F,交CB的延長線于點G,連接AD,CF

（1）求證：四邊形AFCD是平行四邊形.

35.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，E是邊BC的中點，0尸14E于點E

⑵已知48=8,BC=12,求4F的長.

36.（2023?全國?九年級課時練習(xí)）如圖，在（MBCO中，AC,8。交于點O,點M是的中點，連接

交BO于點MON=1.

O

B

(1)求證：團。

⑵求3。的長；

⑶若因QCN的面枳為2,直接寫出四邊形A3NM的面積.

37.(2023?全國?九年級課時練習(xí))在菱形中，448C=120。，點￡、?分別是邊力8、/W上兩點，滿

足力E=DF,BF與DE相交于點G.

(1)如圖1,連接8D.求證：AD/IEWABDF；

(2)如圖2,連接CG.

①求證：BG+DG=CG；

②若尸G=m,GC=n,求線段DG的長(用含m、〃的代數(shù)式表示).

38.(2023?全國?九年級課時練習(xí))將一副三角尺如圖1放置，其中4￡＞為R/fL48c中邊上的高，DE,

。產(chǎn)分別交4B,4c于點M和N.

⑴求證：^AMD^CND：

(2)如圖2,將R翹DEF繞點D旋轉(zhuǎn),此時且，人，尸共線，判斷啜=警是否成立，并給出證明.

ADAN

39.(2023?全國?九年級課時練習(xí))如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD,AC平分(3BAD,點P是AC延長線

上一點，且PDSAD.

(1)證明：0BDC=0PDC；

(2)若AC與BD相交于點E,AB=1,CE:CP=2:3,求AE的長.

已知線段ABIICD,4。與相交于點K,E是線段上一動點,

（1）若BKWKC,求當(dāng)?shù)闹?

3zlo

（2）聯(lián)結(jié)4￡,若笈￡平分財4C,則當(dāng)4七=9。時，猜想線段八從BC、CO三者之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

請寫出你的結(jié)論并予以證明;

（3）試探究：當(dāng).平分蜘BC，旦A*AD（心2）時,線段血BC,。。三者之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

請直接寫出你的結(jié)論，不必證明.

41.（2023?山東濟寧?中考真題）如圖，在0ABC中,AB=AC,點P在BC上.

⑴求作:13PCD,使點D在AC上，旦目PCD213ABP；（要求:尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）在⑴的條件下，若0Ape=2（3ABC,求證:PD〃AB.

42.（2023?浙江杭州?中考真題）如圖，在銳角三角形A8C中，點。，￡分別在邊AC,ABL,AG28。于

點G,4距OE于點凡^EAF^GAC.

(1)求證：△人QEEtMBC；

43.(2023?浙江杭州?中考真題)如圖，在財BC中，點。，E,F分別在AaBC,AC邊上，DE^AC,EI^AB.

(1)求證：^BDE^EFC.

⑵設(shè)"，

①若BC=12,求線段8E的長；

②若團EFC的面積是20,求EL4BC的面積.

44.(2023?全國?九年級專題練習(xí))如圖，四邊形A8C。為正方形，且E是邊5c延長線上一點，過點4作

B/^DE于F點、，交AC于H點、,交CD于G點、.

(2)求證：GD-AB=DF-BG；

⑶若點G是。C中點，求內(nèi)的值.

45.(2023?全國?九年級專題練習(xí))如圖，在R/a48c中，0C=9O%AC=4cm,8C=5cm,點D在8c上,

且CO=3cm,現(xiàn)有兩個動點P,。分別從點A和點4同時出發(fā)：其中點P以lcm/s的速度沿AC向終點C

運動；點。以1.25cm/s的速度沿8c向終點C運動，過點。作PEII4C交于點E連接E。，設(shè)動點運

動時間為is(f>0).

(1)CP=,CQ=.(用含/的代數(shù)式表示)

(2)連接PQ,在運動過程中，不論，取何值時，總有線段PQ與線段A4平行，為什么？

46.(2023?河南洛陽?九年級期中)在朋8c中，即MC=90°,AB=AC,點。在邊8C上，BD=加將線

段DB繞點。順時針旋轉(zhuǎn)至OE,記旋轉(zhuǎn)角為。，連接BE,CE,以CE為斜邊在其一側(cè)作等腰直角三角形

CEF,連接AE

⑴如圖1,當(dāng)a=180。時，請直接寫出線段A/與線段8E的數(shù)量關(guān)系；

(2)當(dāng)0°VaV1800時,

①如圖2,(1)中線段4/與線段BE的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請說明理由；

②如圖3,當(dāng)氏E,廠三點共線時，連接4,判斷四邊形4FCT的形狀，并說明理由.

47.(2023?全國?九年級課時練習(xí))如圖所示，在正方形ABC。中，E是BC上的點連接4E作J.AE垂足

為H,交CO于尸作CG〃/1E,交8尸于G.

AD

求證：(1)CG=BH；

(2)FC2=BF-GF.

48.(2023?山東淄博?八年級期末)如圖1,已知矩形ABC。對角線AC和相交于點O,點E是邊人B上

一點，CE與3。相交于點八連結(jié)

⑴若點E為A8的中點，求￡的值.

rB

(2)如圖2,若點、F為OB中點,求證：AE=2BE.

⑶如圖2,若BE=1,且。尸=k6F,請用4的代數(shù)式表示AC?.

49.(2023?全國?九年級課時練習(xí))【操作發(fā)現(xiàn)】

如圖①，在正方形力8CO中，點N、M分別在邊8C、CO上，連結(jié)AM、AMMN.

NMAN=45°,將△AM。繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,點。與點B重合，得到△A8E.易證：4ANMQ/\ANE,

從而得DM+BN=MN.

【實踐探究】

(1)在圖①條件下，若CN=3,CM=4,則正方形ABC。的邊長是.

(2)如圖②，點M、N分別在邊C7)、人8上，且BN=DM.點、E、產(chǎn)分別在BM、DN上,NE4/=45°,

連接七R猜想三條線段石r、BE、QF之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【拓展】

(3)如圖③，在矩形A3CO中，AB=3,A￡>=4,點M、N分別在邊。。、3c上，連結(jié)AM,AN,已知/AMN

=45°,BN=1,求。M的長.

50.（2023?全國?九年級課時練習(xí)）如圖，四邊形4BCC是正方形，點E是BC邊上動點（不與B,C重合）.連接

4E,過點E作E尸14瓦交OC于點兒

（1）求iiE：&ABE?〉ECF：

（2）連接4凡試探究當(dāng)點E在8c什么位置時，/-BAE=Z-EAF,請證明你的結(jié)論.

51.（2023?全國?九年級課時練習(xí)）綜合與實踐

問題情境：在RA4BC中，Z.ACB=90°,點。為斜邊/1B上的動點（不與點4,B重合）.

⑴操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，當(dāng)AC=BC時，把線段。。繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段CE,連接DE,BE.

①4C8E的度數(shù)為；

②探究發(fā)現(xiàn)和BE有什么數(shù)量關(guān)系，請寫出你的探究過程；

⑵探究證明：如圖2,當(dāng)BC=24C時，把線段C。繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。后并延長為原來的兩倍，記為線段

CE.

①在點。的運動過程中，請判斷4。與8E有什么數(shù)量關(guān)系？并證明；

②若4。=2,在點。的運動過程中，當(dāng)△C8E的形狀為等腰三角形時，直接寫出此時aCBE的面積.

52.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，在△力"中，^ACB=90°,CD是邊AB上的中線，E"垂直平分CD,

分別交AC,BC于E,F,連接DE,DF.

(1)求證：20CE卜D.

(2)當(dāng)/E=7,8尸=24時,求線段EF的長.

53.(2023?河南駐馬店?九年級期末)如圖1,在MA48C中，0C=9O°,AC=3C=20，點。、E分別在邊

AC./W上，AD=DE=^AIL連接?！陮ⅰ鰽QE繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為以

①當(dāng)6=0。時-，雷=；②當(dāng)0=180。時，器=

(2)［拓展研究］

試判斷：當(dāng)0?！?lt;360。時，翳的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；

(3)［問題解決］

在旋轉(zhuǎn)過程中，8E的最大值為一.

54.(2023?福建泉州?九年級期中)如圖1,設(shè)D為銳角團ABC內(nèi)一點，0ADB=0ACB+9O°.

(1)求證：0CAD+0CBD=9O°;

(2)如圖2,過點B作BE團BD,BE=BD,連接EC,若AC?BD=AD?BC,

①求證：（3ACD00BCE：

AA

55.（2023?全國?九年級々?題練習(xí)）所謂黃金分割，指的是把長為L的線段分為兩部分，使其中較長部分對

于全部之比，等于較短部分對于該部分之比，其比值是與

圖②

⑴如圖①，在△48C中，團4=36。，AB=AC,（MCB的平分線CD交腰AB于點Q.請你根據(jù)所學(xué)知識證明:

點。為腰48的黃金分割點:

（2）如圖②，在中，0AC8=9O。，CO為斜邊A4上的高，AD>BD,715=^5+1,若點D是AB

的黃金分割點，求8c的長,

56.（2023?山東?淄博市臨淄區(qū)教學(xué)研究室八年級期末）在矩形/18C0中，/IE_L80于點E,點P是邊力。上一

圖⑴圖(2)“

（1）若BP平分418。，交/1E于點G,PF^BD,如圖（1）,證明四邊形4G9P是菱形；

（2）若PE_LEC,如圖（2）,求證：AE-AB=DE-AP.

57.（2023?湖南衡陽?九年級期末）如圖，在448C中，力。平分評力C,E是40上?點，且BE=BD.

E

(1)求證：AABE^AACD；

(2)若BD=1,CD=2,求笑的值.

58.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）［教材呈現(xiàn)］下面是華師大九年級上最數(shù)學(xué)教材第76頁的部分內(nèi)容.

如圖，E是矩形A/3C。的邊C8上的一點，A楣?！暧邳cF,48=3,AD=2,C￡=l,證明04尸。3肥?！?并計

算點A到直線的距離（結(jié)果保留根號）.

結(jié)合圖①，完成解答過程.

［拓展］

（1）在圖①的基礎(chǔ)上，延長線段A/交邊C。于點G,如圖②，則FG的長為；

（2）如圖③，E、尸是矩形A8CD的邊AB、CO上的點，連接ER將矩形ABC。沿月產(chǎn)翻折，使點。的對

稱點。與點8重合，點A的對稱點為點4.若AB=4,4。=3,則￡尸的長為.

59.（2023?江蘇蘇州?九年級專題練習(xí)）（定義：長寬比為日圓1（〃為正整數(shù)）的矩形稱為近矩形.下面,

我們通過折疊的方式折出一個傘矩形，如圖。所示.

操作1：將正方形A班泳沿過點A的直線折登，使折疊后的點4落在對角線AE上的點G處，折痕為

操作2：將尸￡沿過點G的直線折疊，使點尸、點上分別落在邊ARBE上,折痕為CQ.則匹邊形A4CO

為魚矩形.

（圖a）（圖b）備用圖

⑴證明：四邊形ABC。為我地形;

(2)點M是邊AB上一動點.

①如圖力，。是對角線人。的中點,，若點、N在.邊BC上,OMHOM連接MM求ON：0"的值;

②若AM=AO,點N在邊3。上，當(dāng)團。MN的周長最小時，求NB：C/V的值;

③連接CM作8/?SCM,垂足為R若AB=2a,則OR的最小值=

60.(2023?四川廣元?二模)(1)如圖1,正方形A8CO與調(diào)研直角刻石廠有公共頂點A,團￡4/=90°,連

接BE、DF,將EAEP繞點A旋轉(zhuǎn)：在旋轉(zhuǎn)過程中，直線8E、。廠相交所成的角為夕，則黑=;夕=

(2)如圖2,矩形ABC。與R血4E尸有公共頂點4,團班尸=90。，且AF=2AE,連接BE、OF,

將取財E尸繞點4旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線8A。尸相交所成的角為夕，請求出器的值及。的度數(shù)，并結(jié)

合圖2進行說明；

(3)若平行四邊形A3C。與國4E廣有公共項點4,且回區(qū)4。=回E4r=a(0°<aV180°),AD=kAB,AF=

ME(^O),將財七F繞點A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線8￡、。尸相交所成的銳角的度數(shù)為夕，則：

①畀

圖I圖2圖3

專題6.7相似三角形的證明與計算專項訓(xùn)練（60道）

【蘇科版】

考卷信息：

本套訓(xùn)練卷共60題，針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學(xué)生對相似三角形的證明與

計算的理解！

一.解答題（共60小題）

1.（2023?遼寧?大連市第三十四中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在ZL4BC中，點。在A8邊上，

乙ABC=Z.ACD.

（1）求證：AABC-AACDX

（2）若AD=4,AB=9求4C的長.

答案：（1）見解析；（2）6

分析：（1）根據(jù)相似三角形的判定即可求出答案.

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出答案.

【詳解】解：（1）證明：比1ABC=13ACD,OA=0A,

00ABC00ACD；

（2）解：0AABCE0ACD,

脛="即把=2,

ADAC4AC

解得：AC=6.

【點睛】本題考查相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運用相似三角形的性質(zhì)與判定，屬于基礎(chǔ)

題型.

2.（2023?廣西賀州?九年級期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,點E是4）的

中點，C楣BE于點F,求產(chǎn)。的長.

答案24

分析：根據(jù)已知可證明財8E~AFC8,然后利用相似三角形的性質(zhì)進行計算即可解答.

【詳解】解：0AD0/5C,

00AEB=0CTF,

00-4=90",0CFB=9O°,

^ABE^FCB

FCBC

團BC=3,E1是AO的中點，

0AE=1.5>

她￡=2.5,

“

0FC=2.4.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與

性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?全國?九年級課時練習(xí)）如圖，在RtaABC中，Z.ACB=90°,CD_L4B于。.

求證：^ACD^^ABC.

答案:見解析

分析：根據(jù)兩個角相等的兩個三角形相似進行證明即可.

【詳解】證明：EICDJLAB于。.

^ADC=Z-ACB=90°,

團乙A=Z.A,

0AACDABC.

【點睛】本題考行了相似三角形的判定，解題關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理，準(zhǔn)確

運用進行推理證明.

4.（2023?上海?九年級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=8,點E、F是對角線BD

上的兩點，且BE=EF=FD,AE的延長線交BC于點G,GF的延長線交AD于點H.

（1）求HD的長；

（2）設(shè)48EG的面積為a,求四邊形AEFH的面積.（月含a的代數(shù)式表示）

HD

答案：（1）2；（2）?

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得根據(jù)相似三角形的判定得△BEG-△DEA,

&BFGs&DFH，由BE=EF=FD可得出案蕓=；,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；

b,u2or2

（2）由BE二EF可得ABEG與AE/G的面積相等，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平

方可得SMED與SADFH的值，SgED-S^DF//即可得四邊形AEFH的面積.

【詳解】解：（1）團平行四邊形ABCD,BC=8,

團40//BC,AD=BC=8,

I?1ABEGDEA.△BFGDFH,

0BE=EF=FD,

爛一，竺、，

ED2BF2

0BG=-AD=4,HD=-BG,

22

0HD=2；

（2）0BE=EF,

回SABEG=^AEFG=a?

團S&8FG=2a，

BEGDEA,ABFG

（?1AS&DFH,—ED=2BF2

團SUED—4a,S^DFH=

曬邊形AEFH的面積=SMED￡DFH號.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判

定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?湖南省岳陽開發(fā)區(qū)長嶺中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知：如圖，酎8。=團（7,40=2,AO8,

求AB.

B

答案：4

分析：由NA=N4N48D=NC可證明△A。8s△48C,由相似三角形的性質(zhì)可知,二黨,

從而可求得4B的長.

【詳解】解：?.?NA=N4NABD=NC,

???△AOBS/XABC.

?ADABnri2AB

??一——，I*?

ABACAB8

解得：AB=4（負(fù)值己舍去）.

，4B=4.

【點睛】本題土要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定，由相似三角形的性質(zhì)得到告=?是

ADo

解題的關(guān)鍵.

6.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）已知，如圖，M8C中，44=4,灰?=8,。為4c邊上一

點，BD=2.求證：^ABEmCBA.

分析：由48=4,BC=8,3。=2可知些=處，再由團480=團C8A可得國4雙龍團C7M：

CBBA

【詳解】證明：財8=4,BC=8,80=2,

藍(lán)=空，

CBBA

又的48D=[3C8A,

^ARrmcnA.

【點睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解決本題的關(guān)鍵.

7.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，01=02,黑=￡，求證：0C=0D.

AEAD

答案:見解析

分析：根據(jù)得至峋BAC=I^1FAD,結(jié)合第=卻得到附00mAFD,再根據(jù)相似二角形對應(yīng)角

AbAD

相等即可得到回CWD.

【詳解】解:001=02,

001+0CAE=02+0CAE,

00BAC=0EAD,且第=笫

回國ABC史AED,

由相似三角形對應(yīng)角相等可知：

00C=0D.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握相似三角形的判定方

法是解決本題的關(guān)鍵.

8.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）如圖1,在矩形ABCD中,AB=2,BC=5,BP=1,0MPN=9O°,

將團MPN繞點P從PB處開始順時針方向旋轉(zhuǎn)，PM交邊AB于點E,PN交邊AD于點F,當(dāng)

PE旋轉(zhuǎn)至PA處時，國MPN的旋轉(zhuǎn)隨即停止.

（1）如圖2,在旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)當(dāng)PM經(jīng)過點A時，PN也經(jīng)過點D,求證：團ABP03PCD

（2）如圖3,在旋轉(zhuǎn)過程中，費的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明

PF

理由

（3）設(shè)AE=m,連結(jié)EF,則在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)TH為何值時，回BPE與阿PEF相似.

圖1圖3

答案：（1）見解析；⑵笫的值是定值，該定值為g;⑶當(dāng)m=0或|時，團BPE與GIPEF

相似

分析：（1）因為在矩形中，所以只要再證明團BAPWCPD即可；（2）證明邊比為定值，考

慮相似三角形,過點F作FG0BC于G,創(chuàng)造團PGF并證明其與mEBP相似：（3）使團BPE能PFE,

那么案=霧，算出m值，反證相似.

PEPF

【詳解】（1）證明：團四邊形ABCD是矩形

團國B=^C=90°

00BAP+0BPA=9OO

雕）MPN=90°

00CPD+（3BPA=9OO

03BAP=SCPD

豳ABP釀PCD

（2）過點F作FG回BC于G

00FGP=9O°

00FGP=0B,0PFG+0FPG=9O°

易知四邊形ABGF是矩形，

0FG=AB=2

00MPN=9O0

國EPB+團FPG=90°

團團EPBWFPG

00EBP03PGF

PFFG2

喘的值是定值，該定值為:

（3）0AE=m

0BE=2-m

①當(dāng),=那，

00B=0EPF=9O°

國BPE型1PFE

解二里

BPPF

0^=1

12

0m=-

2

②當(dāng)冷,時.

00B=0EPF=9O°

0SBPE00PEF

爛=竺

BEPF

0-^-=-

2-7712

0m=0

綜上,當(dāng)m=0或|時，I3BPE與GIPEF相似.

【點睛】本題考察了相似三角形的判定定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交；兩

邊對應(yīng)成比例且夾角相等；三邊對應(yīng)成比例；兩角對應(yīng)相等以及性質(zhì)定理：對應(yīng)角相等，對

應(yīng)邊成比例.

9.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，在AABC中，AB=AC,/-BAC=120°,D為BC

邊上一點，E為AC邊上一點、,且乙IDE=30。，求證；fDCE.

答案:見解析

分析：利用三角形的外角性質(zhì)證明（3EOCWD48,即可證明財8由。。￡

【詳解】證明：^AB=AC,且回84c=120。，

的4小園4cB=30°,

幽4。氏30°,

兆148。=蜘。￡>30。，

^DC=^ADE+^EDC=^ABD-^DAI3,

^EDC^DAB,

^ABD^DCE.

【點睛】本題考查了三角形相似的判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，利用三角

形的外角性質(zhì)證明團EDCWD4B是解題的關(guān)鍵.

10.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，△48C和a/lDE都是等腰直角三角形，Z.ABC=

LADE=90Q,AB=BC,AD=DE,連接8〃，CE,求空的值.

答案:企

分析：由等腰直角三角形的性質(zhì)可推出N￡ME=4B/C=45。，AE=V2ADfAC=V2AB,從

而可得出=禁=當(dāng)=遮，即證明△O4B?AE/IC,得出黑二遮.

ADABBD

【詳解】解：團△48C和△力DE都是等腰直角三角形，

^Z-DAE=Z.BAC=45°,AE=^2AD,AC=\/2ABf

^EAC=Z-DAB,—=—=V2,

ADAB

0ADAB~&EAC9

喘=&

【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì).掌握三角形相似的判

定條件是解題關(guān)鍵.

11.（2023?全國?九年級課時練習(xí)）如圖，在MBC中，AO是先平分線，點E是邊AC上一點，

且滿足"IDE=Z.B.

⑴證明:AADB?AAED；

(2)若AE=3,AD=5,求A8的長.

答案:⑴見解析

喈

分析：（1）證出（3R4O=MAO.根據(jù)相似三角形的判定可得出結(jié)論;

（2）由相似三角形的性質(zhì)可得出喋=*，則可得出答案.

AEAD

（1）

斯。是團3AC的角平分線，

^BAD=^EAD.

團財。氏團8,

（2）

團財。的2AE。，

財￡=3,AD=5,

夠苦,

^AB=

3

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握相似三角形

的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

12.（2023?全國?九年級謾時練習(xí)）如圖，團ABC與國ADE中，團C=?E,01=02；

（1）證明：0ABC00ADE.

（2）請你再添加一個條件，使121ABs121ADE.你補充的條件為：.

答案:⑴證明見解析；（2）見解析.

分析：⑴由回1=回2,證出團BACWDAE.再由回CWE,即可得出結(jié)論;

⑵由AAS證明團ABC0團ADE即可.

【詳解】⑴雷1=吸，

回131+[3DAC=[32+I3DAC,

00DAC=0DAE.

00C=0E?

釀ABC甌ADE.

（2）補充的條件為：AB=AD（答案不唯一）；理由如下：

由（1）得：（3BAC=0DAE,

（Z.BAC=Z.DAE

在團ABC和0ADE中，LC=ZE,

（AB=AD

00ABC0MDE：

故答案為AB=AD（答案不唯一）.

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定及相似三角形的判定.

13.（2023?全國?九年級單元測試）如圖，BD、CE是△ABC的高.

A

B

（1）求證：△ACE?△A3D：

（2）若80=8,AD=6,DE=5,求4c的長.

答案：（1）見解析；⑵BC=y.

分析：（1）8D、CE是△力BC的高，可得=Z-AEC=90。，進而可以證明△4CE?AABD；

（2）在ABD中，80=8,AD=6,根據(jù)勾股定理可得AB=10,結(jié)合（1）△

對應(yīng)邊成比例，進而證明A4ED?ZiACB,對應(yīng)邊成比例即可求出BC的長.

【詳解】解：（1）證明：,??8D、CE是448C的高，

Z-ADB=Z.AEC=90°,

vZ.A=z.A,

**?△ACEs4ABD；

(2)在Rt^ABD中，8。=8,AD=6,

根據(jù)勾股定理，得

AB=\/AD2+BD2=10,

ACEABD,

AC__AE_

"AB~AD'

:Z/l=Z/l,

AEDACB,

DE__AD_

"BC-AB'

：DE=5,

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與

性質(zhì).

14.（2023?全國?九年級謖時練習(xí)）如圖，AB//EF//CD.E為力。與8C的交點，尸在上，

BD

答案:見解析

分析：根據(jù)已知條件可得ADEFDABABEFBCD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例

式，即可證明結(jié)論

【詳解】-AB//EF,EF//DC

???△DEF?△DAB,XBEFBCD

EF_FDEF_BF

"AB=~BD,CD='BD

EFEFFDBFBD

:.----4-------=-----+-----=-----=1

ABCDBDBDBD

EFEF__EF_

"AB+CD=~EF

.2-2,±

AB+CD=EF

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，將線段比轉(zhuǎn)化為48,CD,E戶之間的關(guān)系是解

題的關(guān)鍵.

15.（2023?全國?九年級課時練習(xí)）（1）如圖1,將直角三角板的直角頂點放在正方形力8CO

上，使直角頂點與。重合，三角板的一邊交人B于點P,另一邊交的延長線于點Q.則

DPDQ（填“>""V〃或"="）；

（2）將（1）中“正方形MCD"改成"矩形A8CQ"，且4）=2,CD=4,其他條件不變.

①如圖2,若PQ=5,求/IP長.

②如圖3,若8。平分團PDQ.則。P的長為.

答案：（1）=：（2）①1,②半

分析：（1）先證明財DP00CDQ,即可求解：

（2）①先證明財QPamCDQ,可得卷=券=：=豆設(shè)則CQ=2.r,

再由勾股定理，即可求解；

②過點B作BE^DP交DP延長線于點E,BF^DQ于點F,根據(jù)可得（MQDWQ,

募=券=：=p從而得至!則不期2,再由角平分線的性質(zhì)定理可得的所，進而證得

田BEPWBFQ,得至lj8P=8Q,從而得到力尸=|,再由勾股定理，即可求解.

【詳解】解團（1）在正方形ARCO中，

(L4=0fiCD=0DCC=a4DC=5Oo,AD=CD,

團團PQQ=90°,

00PDC=0ADC=9O°,

(3MQP+團POC=OCOQ+DPOC=90°，

豳ADPWCOQ,

團(MDP021COQ,

WP=DQ,

故答案為即

(2)①國四邊形A3c。是矩形，

回S4=MOC=團BC7)=90°.

0a4DP+0PDC=0CD0+3PDC=9O°,

^ADP=^CDQ.

又團財=(3OCQ=90°.

酶4OP02ICOQ,

^APAD2

0-=—=-=1

CQCD42

設(shè)AP=x,則CQ=2x,

回尸8=4-X,8Q=2+2x.

由勾股定理得，在R底尸8。中，PB2+BQ2=PQ2,

代入得(4一不)2+(2+lt)2=52,

解得x=l,B|JAP=1.

財產(chǎn)的長為1.

②如圖，過點8作8EI2P交。P延長線于點￡加加。于點3

由①得：^ADP^CDQ,

回財產(chǎn)又%喘法=：?

^CQ=2AP,

^APD^BPE,

團團BPE=0Q,

國8。平分回POQ,BE^DE,BF^DQ,

^BE=BF,

圓團E=aBFQ=90°,

（3BP=8Q,

設(shè)AP=〃i,則3Q=8P=4-〃?，CQ=2m,

團2+2〃?=4-〃?，解得：m=->

3

即AP_I，

（3DP=y/AD2+AP2=

【點睛】本題.主要考查了T方形的性質(zhì)，相似三角形和全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線

的性質(zhì)定理，勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵.

16.（2023?全國?九年級專題練習(xí)）感知：（1）數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個模型：

如圖1,Z.BAD=Z.ACB=Z.AED=90°,由+42+乙BAD=180°,z2+zD+^AED=

180°,可得41="；又因為/CB=^-AED=90°,可得△ABC-△DAE,進而得到

.我們把這個模型稱為“一線三等角〃模型.

AC

應(yīng)用：（2）實戰(zhàn)組受此模型的啟發(fā),將三等角變?yōu)榉侵苯?，如圖2,在△ABC中,48=力。=10,

8c=12,點P是BC邊上的一個動點（不與8、C重合），點。是4C邊上的一個動點，

且44PZ）=￡B.

①求證：AABP~APCD；

②當(dāng)點P為中點時，求C。的長；

拓展：（3）在（2）的條件下如圖2,當(dāng)△4PD為等腰三角形時，請直接寫出80的長.

答案:感知：（1）某應(yīng)用：（2）①見解析；②3.6；拓展：（3）2或2

分析：（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解；

（2）①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得至胞B=0C,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到0B4P=（3CPD,即可

求證；

②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算，即可求解；

（3）分%=PD、AP=AD.D4=OP三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，

即可求解.

【詳解】感知：（1）^ABC^DAE,

喘小

^AC-DE*

故答案為：~

應(yīng)〃]：(2)@0a4PC=05+0BAP,[MPC=a4PD+0CPD,MPZX3B,

0/18=AC,

團團B=0C,

的48P0回PCQ；

②4c=12,點尸為8c中點，

國BP=PC=6,

-00ABP00PCD,

櫻=絲，即u=9,

P