第08講函數(shù)模型及其應(yīng)用（模擬精練+真題演練）1．（2023·河南鄭州·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）水霧噴頭布置的基本原則是：保護(hù)對(duì)象的水霧噴頭數(shù)量應(yīng)根據(jù)設(shè)計(jì)噴霧強(qiáng)度、保護(hù)面積和水霧噴頭特性，按水霧噴頭流量q（單位：L/min）計(jì)算公式為和保護(hù)對(duì)象的水霧噴頭數(shù)量N計(jì)算公式為計(jì)算確定，其中P為水霧噴頭的工作壓力（單位：MPa），K為水霧噴頭的流量系數(shù)（其值由噴頭制造商提供），S為保護(hù)對(duì)象的保護(hù)面積，W為保護(hù)對(duì)象的設(shè)計(jì)噴霧強(qiáng)度（單位：L/min·m2），水霧噴頭的布置應(yīng)使水霧直接噴射和完全覆蓋保護(hù)對(duì)象，如不能滿足要求時(shí)應(yīng)增加水霧噴頭的數(shù)量.當(dāng)水霧噴頭的工作壓力P為0.35MPa，水霧噴頭的流量系數(shù)K為24.96，保護(hù)對(duì)象的保護(hù)面積S為14m2，保護(hù)對(duì)象的設(shè)計(jì)噴霧強(qiáng)度W為20L/min·m2時(shí)，保護(hù)對(duì)象的水霧噴頭的數(shù)量N約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【答案】C【解析】由水霧噴頭的工作壓力P為0.35MPa，水霧噴頭的流量系數(shù)K為24.96，得，再由保護(hù)對(duì)象的保護(hù)面積S為14m2，保護(hù)對(duì)象的設(shè)計(jì)噴霧強(qiáng)度W為20L/min·m2，得，即保護(hù)對(duì)象的水霧噴頭的數(shù)量N約為個(gè).故選：C.2．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）提丟斯一波得定則，簡(jiǎn)稱“波得定律”，是表示各行星與太陽(yáng)平均距離的一種經(jīng)驗(yàn)規(guī)則.它是在1766年德國(guó)的一位中學(xué)教師戴維·提丟斯發(fā)現(xiàn)的.后來被柏林天文臺(tái)的臺(tái)長(zhǎng)波得歸納成了一個(gè)如下經(jīng)驗(yàn)公式來表示：記太陽(yáng)到地球的平均距離為1，若某行星的編號(hào)為n，則該行星到太陽(yáng)的平均距離表示為，那么編號(hào)為9的行星用該公式推得的平均距離位于（

）行星金星地球火星谷神星木星土星天王星海王星編號(hào)12345678公式推得值0.711.62.85.21019.638.8實(shí)測(cè)值0.7211.522.95.29.5419.1830.06A． B． C． D．【答案】D【解析】由表格可得，故選：D3．（2023·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）英國(guó)物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家牛頓曾提出物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型．如果物體的初始溫度是，環(huán)境溫度是，則經(jīng)過物體的溫度將滿足，其中k是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸情況而定的正常數(shù)．現(xiàn)有的物體，若放在的空氣中冷卻，經(jīng)過物體的溫度為，則若使物體的溫度為，需要冷卻（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，，，代入，，即，所以，所以，由題意得，，代入，即，得，即，解得，即若使物體的溫度為，需要冷卻，故選：C．4．（2023·福建福州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）為落實(shí)黨的二十大提出的“加快建設(shè)農(nóng)業(yè)強(qiáng)國(guó)，扎實(shí)推動(dòng)鄉(xiāng)村振興”的目標(biāo)，銀行擬在鄉(xiāng)村開展小額貸款業(yè)務(wù).根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立了實(shí)際還款比例關(guān)于貸款人的年收入（單位：萬(wàn)元）的Logistic，模型：，已知當(dāng)貸款人的年收入為8萬(wàn)元時(shí)，其實(shí)際還款比例為50%.若銀行希望實(shí)際還款比例為40%，則貸款人的年收入為（

）（精確到0.01萬(wàn)元，參考數(shù)據(jù)：，）A．4.65萬(wàn)元 B．5.63萬(wàn)元 C．6.40萬(wàn)元 D．10.00萬(wàn)元【答案】A【解析】由題意，即，得，所以.令，得，得，得得.故選：A.5．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）為了貫徹落實(shí)《中共中央國(guó)務(wù)院關(guān)于深入打好污染防治攻堅(jiān)戰(zhàn)的意見》，某造紙企業(yè)的污染治理科研小組積極探索改良工藝，使排放的污水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少.已知改良工藝前所排放廢水中含有的污染物數(shù)量為，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，第n次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量滿足函數(shù)模型，其中為改良工藝前所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，為首次改良工藝后所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，n為改良工藝的次數(shù).假設(shè)廢水中含有的污染物數(shù)量不超過時(shí)符合廢水排放標(biāo)準(zhǔn)，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少要（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．14次 B．15次 C．16次 D．17次【答案】C【解析】依題意，，，當(dāng)時(shí)，，即，可得，于是，由，得，即，則，又，因此，所以若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少要16次．故選：C6．（2023·江西·校聯(lián)考二模）草莓中有多種氨基酸、微量元素、維生素，能夠調(diào)節(jié)免疫功能，增強(qiáng)機(jī)體免疫力.草莓味甘、性涼，有潤(rùn)肺生津，健脾養(yǎng)胃等功效，受到眾人的喜愛.根據(jù)草莓單果的重量，可將其從小到大依次分為個(gè)等級(jí)，其等級(jí)（）與其對(duì)應(yīng)等級(jí)的市場(chǎng)銷售單價(jià)單位：元千克近似滿足函數(shù)關(guān)系式.若花同樣的錢買到的級(jí)草莓比級(jí)草莓多倍，且級(jí)草莓的市場(chǎng)銷售單價(jià)為元千克，則級(jí)草莓的市場(chǎng)銷售單價(jià)最接近（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．元千克 B．元千克 C．元千克 D．元千克【答案】C【解析】由題可知，由則.故選：C.7．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)《居室空氣中甲醛的衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定：居室空氣中甲醛的最高容許濃度為：一類建筑，二類建筑．二類建筑室內(nèi)甲醛濃度小于等于為安全范圍，已知某學(xué)校教學(xué)樓（二類建筑）施工過程中使用了甲醛噴劑，處于良好的通風(fēng)環(huán)境下時(shí)，竣工2周后室內(nèi)甲醛濃度為，4周后室內(nèi)甲醛濃度為，且室內(nèi)甲醛濃度（單位：）與竣工后保持良好通風(fēng)的時(shí)間（單位：周）近似滿足函數(shù)關(guān)系式，則該教學(xué)樓竣工后的甲醛濃度若要達(dá)到安全開放標(biāo)準(zhǔn)，至少需要放置的時(shí)間為（

）A．5周 B．6周 C．7周 D．8周【答案】B【解析】由題意可得：，解得，所以，令，整理得，因?yàn)?，故，則，所以至少需要放置6周.故選：B.8．（2023·山西朔州·懷仁市第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）為研究每平方米平均建筑費(fèi)用與樓層數(shù)的關(guān)系，某開發(fā)商收集了一棟住宅樓在建筑過程中，建筑費(fèi)用的相關(guān)信息，將總樓層數(shù)與每平米平均建筑成本（單位：萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)整理成如圖所示的散點(diǎn)圖：則下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為每平米平均建筑費(fèi)用和樓層數(shù)的回歸方程類型的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】觀察散點(diǎn)圖，可知是一個(gè)單調(diào)遞減的曲線圖，結(jié)合選項(xiàng)函數(shù)的類型可得回歸方程類型是反比例類型，故C正確.故選：C.9．（多選題）（2023·遼寧大連·統(tǒng)考三模）甲乙兩隊(duì)進(jìn)行比賽，若雙方實(shí)力隨時(shí)間的變化遵循蘭徹斯特模型：其中正實(shí)數(shù)分別為甲?乙兩方初始實(shí)力，為比賽時(shí)間；分別為甲?乙兩方時(shí)刻的實(shí)力；正實(shí)數(shù)分別為甲對(duì)乙?乙對(duì)甲的比賽效果系數(shù).規(guī)定當(dāng)甲?乙兩方任何一方實(shí)力為0時(shí)比賽結(jié)束，另一方獲得比賽勝利，并記比賽持續(xù)時(shí)長(zhǎng)為.則下列結(jié)論正確的是（

）A．若且，則B．若且，則C．若，則甲比賽勝利D．若，則甲比賽勝利【答案】ABD【解析】對(duì)選項(xiàng)A：若且，則，所以，由可得，正確；對(duì)選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)根據(jù)A中的結(jié)論可知，所以乙方實(shí)力先為0，即，化簡(jiǎn)可得，即，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得，即，即，正確；對(duì)選項(xiàng)C：，若甲方獲得比賽勝利，則甲方可比賽時(shí)間大于乙方即可，設(shè)甲方實(shí)力為0時(shí)所用時(shí)間為，乙方實(shí)力為0時(shí)所用時(shí)間為，即，可得，同理可得，即，解得，又因?yàn)槎紴檎龑?shí)數(shù)，所以可得，甲方獲得比賽勝利，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：根據(jù)C知正確；故答案為：.10．（多選題）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示為某池塘中野生水葫蘆的面積與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系的圖象，假設(shè)其函數(shù)關(guān)系為指數(shù)函數(shù)，現(xiàn)給出下列說法，其中正確的說法有（

）A．野生水葫蘆的面積每月增長(zhǎng)量相等B．野生水葫蘆從蔓延到歷時(shí)超過1個(gè)月C．設(shè)野生水葫蘆蔓延到，，所需的時(shí)間分別為，，，則有D．野生水葫蘆在第1個(gè)月到第3個(gè)月之間蔓延的平均速度等于在第2個(gè)月到第4個(gè)月之間蔓延的平均速度【答案】BC【解析】由圖可知野生水葫蘆第一個(gè)月增長(zhǎng)面積為，第二個(gè)月增長(zhǎng)面積為，A錯(cuò)誤；由圖可知野生水葫蘆從蔓延到歷時(shí)超過1個(gè)月，B正確；野生水葫蘆的面積與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為，，，，，所以，C正確；野生水葫蘆在第1個(gè)月到第3個(gè)月之間蔓延的平均速度為野生水葫蘆在第2個(gè)月到第4個(gè)月之間蔓延的平均速度為，D錯(cuò)誤.故選：BC11．（多選題）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）牛頓曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：若物體初始溫度是（單位：℃），環(huán)境溫度是（單位：℃），其中、則經(jīng)過t分鐘后物體的溫度將滿足（且）．現(xiàn)有一杯的熱紅茶置于的房間里，根據(jù)這一模型研究紅茶冷卻情況，下列結(jié)論正確的是（

）（參考數(shù)值）A．若，則B．若，則紅茶下降到所需時(shí)間大約為6分鐘C．5分鐘后物體的溫度是，k約為0.22D．紅茶溫度從下降到所需的時(shí)間比從下降到所需的時(shí)間多【答案】AC【解析】由題知，A選項(xiàng)：若，即，所以，則，A正確；B選項(xiàng)：若，則，則，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，所以，所以紅茶下降到所需時(shí)間大約為7分鐘，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：5分鐘后物體的溫度是，即，則，得，所以，故C正確；D選項(xiàng)：為指數(shù)型函數(shù)，如圖，可得紅茶溫度從下降到所需的時(shí)間（）比從下降到所需的時(shí)間（）少，故D錯(cuò)誤．故選：AC．12．（多選題）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某地下車庫(kù)在排氣扇發(fā)生故障的情況下測(cè)得空氣中一氧化碳含量達(dá)到了危險(xiǎn)狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復(fù)正常，排氣4分鐘后測(cè)得車庫(kù)內(nèi)的一氧化碳濃度為64ppm，繼續(xù)排氣4分鐘后又測(cè)得濃度為32ppm.由檢驗(yàn)知該地下車庫(kù)一氧化碳濃度y（單位：ppm）與排氣時(shí)間t（單位：分）之間滿足函數(shù)關(guān)系y＝f（t），其中（R為常數(shù)）．若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm，人就可以安全進(jìn)入車庫(kù)了，則下列說法正確的是（）A．B．C．排氣12分鐘后，人可以安全進(jìn)入車庫(kù)D．排氣32分鐘后，人可以安全進(jìn)入車庫(kù)【答案】BD【解析】因?yàn)?，所以符合要求．又解得，a＝128，故B正確，A錯(cuò)誤．，當(dāng)時(shí)，即，得，所以，即，所以排氣32分鐘后，人可以安全進(jìn)入車庫(kù)，故D正確，C錯(cuò)誤，故選：BD.13．（2023·北京朝陽(yáng)·統(tǒng)考一模）某軍區(qū)紅、藍(lán)兩方進(jìn)行戰(zhàn)斗演習(xí)，假設(shè)雙方兵力（戰(zhàn)斗單位數(shù)）隨時(shí)間的變化遵循蘭徹斯特模型：，其中正實(shí)數(shù)，分別為紅、藍(lán)兩方初始兵力，t為戰(zhàn)斗時(shí)間；，分別為紅、藍(lán)兩方t時(shí)刻的兵力;正實(shí)數(shù)a，b分別為紅方對(duì)藍(lán)方、藍(lán)方對(duì)紅方的戰(zhàn)斗效果系數(shù)；和分別為雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)．規(guī)定當(dāng)紅、藍(lán)兩方任何一方兵力為0時(shí)戰(zhàn)斗演習(xí)結(jié)束，另一方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，并記戰(zhàn)斗持續(xù)時(shí)長(zhǎng)為T．給出下列四個(gè)結(jié)論：①若且，則；②若且，則；③若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利；④若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．【答案】①②④【解析】對(duì)于①，若且，則，即，所以，由可得，即①正確；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)根據(jù)①中的結(jié)論可知，所以藍(lán)方兵力先為0，即，化簡(jiǎn)可得，即，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得，即，所以戰(zhàn)斗持續(xù)時(shí)長(zhǎng)為，所以②正確；對(duì)于③，若紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，則紅方可戰(zhàn)斗時(shí)間大于藍(lán)方即可，設(shè)紅方兵力為0時(shí)所用時(shí)間為，藍(lán)方兵力為0時(shí)所用時(shí)間為，即，可得同理可得即，解得又因?yàn)槎紴檎龑?shí)數(shù)，所以可得，紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利；所以可得③錯(cuò)誤，④正確.故答案為：①②④.14．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）我們可以用下面的方法在線段上構(gòu)造出一個(gè)特殊的點(diǎn)集：如圖，取一條長(zhǎng)度為1的線段，第1次操作，將該線段三等分，去掉中間一段，留下兩段；第2次操作，將留下的兩段分別三等分，各去掉中間一段，留下四段；按照這種規(guī)律一直操作下去.若經(jīng)過次這樣的操作后，去掉的所有線段的長(zhǎng)度總和大于，則的最小值為__________.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】12【解析】設(shè)每次操作留下的長(zhǎng)度為，則，，且每次操作留下的長(zhǎng)度均為上一次操作留下長(zhǎng)度的，所以為等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，故，所以經(jīng)過次這樣的操作后，去掉的所有線段長(zhǎng)度總和為，故，即，兩邊取對(duì)數(shù)得：，因?yàn)?，所以，則n的最小值為12.故答案為：1215．（2023·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考一模）研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測(cè)得的信息素濃度y滿足，其中為非零常數(shù)；已知釋放1秒后，在距釋放處2米的地方測(cè)得信息素濃度為m，則釋放信息素4秒后，距釋放處的___________米的位置，信息素濃度為.【答案】4【解析】因?yàn)獒尫?秒后，在距釋放處2米的地方測(cè)得信息素濃度為m，所以，所以，即當(dāng)時(shí)，，整理得即，所以，因?yàn)?，所?故答案為:4.16．（2023·全國(guó)·長(zhǎng)郡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航天事業(yè)取得又一重大成就．實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系．為解決這個(gè)問題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點(diǎn)的軌道運(yùn)行．點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上．設(shè)地球質(zhì)量為M１，月球質(zhì)量為M２，地月距離為R，點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律，r滿足方程：．設(shè)，由于的值很小，因此在近似計(jì)算中，則r的近似值為_________．【答案】【解析】由，得，由，得，將代入，得，有，所以，則，所以.故答案為：.1．（2021?北京）某一時(shí)段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個(gè)時(shí)段的降雨量（單位：．24降雨量的等級(jí)劃分如下：等級(jí)降雨量（精確到小雨中雨大雨暴雨在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組自制了一個(gè)底面直徑為，高為的圓錐形雨量器．若一次降雨過程中，該雨量器收集的的雨水高度是如圖所示），則這降雨量的等級(jí)是A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨【答案】【解析】圓錐的體積為，因?yàn)閳A錐內(nèi)積水的高度是圓錐總高度的一半，所以圓錐內(nèi)積水部分的半徑為，將，代入公式可得，圖上定義的是平地上積水的厚度，即平地上積水的高，平底上積水的體積為，且對(duì)于這一塊平地的面積，即為圓錐底面圓的面積，所以，則平地上積水的厚度，因?yàn)椋深}意可知，這一天的雨水屬于中雨．故選：．2．（2021?甲卷）青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測(cè)量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)滿足．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6【答案】【解析】在中，，所以，即，解得，所以其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為0.8．故選：．3．（2020?山東）基本再生數(shù)與世代間隔是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)．基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計(jì)感染病例數(shù)隨時(shí)間（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率與，近似滿足．有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出，．據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天【答案】【解析】把，代入，可得，，當(dāng)時(shí)，，則，兩邊取對(duì)數(shù)得，解得．故選：．4．（2019?新課標(biāo)Ⅱ）2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航天事業(yè)取得又一重大成就．實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系．為解決這個(gè)問題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點(diǎn)的軌道運(yùn)行．點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上．設(shè)地球質(zhì)量為，月球質(zhì)量為，地月距離為，點(diǎn)到月球的距離為，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律，滿足方程：．設(shè)．由于的值很小，因此在近似計(jì)算中，則的近似值為A． B． C． D．【答案】【解析】．，滿足方程：．，把代入，得：，，，．故選：．5．（多選