第1頁(yè)：封面標(biāo)題：27.2.1.1平行線分線段成比例副標(biāo)題：人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)配圖：包含三組平行線截兩條直線的示意圖（標(biāo)注截得的線段長(zhǎng)度，體現(xiàn)比例關(guān)系）落款：授課教師/日期第2頁(yè)：學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)與技能：理解平行線分線段成比例定理的內(nèi)容，能識(shí)別定理中的“截線”與“被截線”掌握平行線分線段成比例定理的基本推論（平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所得線段成比例）會(huì)運(yùn)用定理及推論解決線段比例計(jì)算、證明等問(wèn)題過(guò)程與方法：通過(guò)測(cè)量、計(jì)算、歸納等探究活動(dòng)，經(jīng)歷定理的推導(dǎo)過(guò)程，提升邏輯推理能力借助圖形變式，培養(yǎng)從不同角度分析問(wèn)題的能力，體會(huì)“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想情感態(tài)度：在探究定理的過(guò)程中，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性與規(guī)律性通過(guò)定理的實(shí)際應(yīng)用，增強(qiáng)學(xué)習(xí)幾何的自信心與興趣第3頁(yè)：情境引入——生活中的比例關(guān)系實(shí)例展示（配圖呈現(xiàn)）：實(shí)例1：建筑工人在砌墻時(shí)，用若干條平行的墨線分割墻面，形成的豎直線段長(zhǎng)度成比例實(shí)例2：公園里的石板路，多條平行的石板邊緣截兩條縱向小路，截得的路段長(zhǎng)度成比例實(shí)例3：網(wǎng)格紙中，水平的平行線截豎直的兩條直線，所得線段長(zhǎng)度比相等觀察思考：提問(wèn)1：這些實(shí)例中，平行線截兩條直線后，所得的線段有什么規(guī)律？提問(wèn)2：若任意畫(huà)一組平行線截兩條直線，是否仍能得到類似的比例關(guān)系？引入課題：今天我們將深入探究“平行線分線段成比例”的規(guī)律，學(xué)習(xí)相關(guān)定理。第4頁(yè)：探究活動(dòng)——平行線分線段成比例定理動(dòng)手操作：畫(huà)三條互相平行的直線\(l_1\parallell_2\parallell_3\)，再畫(huà)兩條不平行的直線\(a\)、\(b\)，使它們分別與\(l_1\)、\(l_2\)、\(l_3\)相交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F（如圖）測(cè)量線段長(zhǎng)度：AB=，BC=，DE=，EF=計(jì)算比例：\(\frac{AB}{BC}\)=，\(\frac{DE}{EF}\)=，觀察兩個(gè)比例的關(guān)系多組驗(yàn)證：改變直線\(a\)、\(b\)的夾角，重復(fù)上述測(cè)量與計(jì)算改變平行線的間距，再次驗(yàn)證比例關(guān)系定理總結(jié)：平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例符號(hào)表示：若\(l_1\parallell_2\parallell_3\)，則\(\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}\)（或\(\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}\)、\(\frac{BC}{AC}=\frac{EF}{DF}\)）關(guān)鍵概念：“一組平行線”是截線，“兩條直線”是被截線；“對(duì)應(yīng)線段”指被截線被平行線截得的線段第5頁(yè)：定理辨析與拓展圖形變式（結(jié)合圖形講解）：變式1：被截線\(a\)、\(b\)相交（形成三角形的兩邊延長(zhǎng)線），仍滿足\(\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}\)變式2：平行線的數(shù)量增加（如4條平行線），則\(\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}\)，\(\frac{BC}{CD}=\frac{EF}{FG}\)，進(jìn)而\(\frac{AB}{CD}=\frac{DE}{FG}\)易錯(cuò)提醒：定理中“對(duì)應(yīng)線段”需根據(jù)平行線的順序確定，不可混淆（如不可寫(xiě)成\(\frac{AB}{EF}=\frac{BC}{DE}\)）定理成立的前提是“一組平行線”截“兩條直線”，與直線的位置（是否相交）無(wú)關(guān)小練習(xí)：如圖，\(l_1\parallell_2\parallell_3\)，AB=2，BC=3，DE=4，求EF的長(zhǎng)。（答案：6）第6頁(yè)：推論——平行于三角形一邊的直線推導(dǎo)過(guò)程：如圖，在△ABC中，作直線DE∥BC，交AB于D，交AC于E延長(zhǎng)DE、BC，過(guò)A作直線\(l_1\parallelDE\parallelBC\)，此時(shí)\(l_1\)、DE、BC構(gòu)成一組平行線，截AB、AC兩條直線根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得\(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\)（或\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)、\(\frac{DB}{AB}=\frac{EC}{AC}\)）推論總結(jié)：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例圖形特征：截線平行于三角形的一邊，被截線是三角形的另外兩邊幾何語(yǔ)言：在△ABC中，若DE∥BC，則\(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\)第7頁(yè)：定理與推論的應(yīng)用（基礎(chǔ)例題）例1：如圖，\(l_1\parallell_2\parallell_3\)，AB=5，BC=10，DE=3，求DF的長(zhǎng)。解析：由定理得\(\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}\)，即\(\frac{5}{10}=\frac{3}{EF}\)，解得EF=6DF=DE+EF=3+6=9例2：在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=4，求AC的長(zhǎng)。解析：由推論得\(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\)，即\(\frac{2}{3}=\frac{4}{EC}\)，解得EC=6AC=AE+EC=4+6=10方法總結(jié)：應(yīng)用定理時(shí)，先確定截線（平行線）與被截線，找到對(duì)應(yīng)線段應(yīng)用推論時(shí)，明確三角形的“一邊”與“其他兩邊”，建立比例關(guān)系第8頁(yè)：定理與推論的應(yīng)用（綜合例題）例3：如圖，已知AB∥CD∥EF，AD與BC相交于點(diǎn)O，若AO=2，OD=3，BC=10，求BO的長(zhǎng)。解析：因?yàn)锳B∥CD，由推論得\(\frac{AO}{OD}=\frac{BO}{OC}\)（△AOB與△DOC中，AB∥CD截AD、BC）設(shè)BO=x，則OC=10-x，代入比例得\(\frac{2}{3}=\frac{x}{10-x}\)交叉相乘：2(10-x)=3x→20-2x=3x→5x=20→x=4，故BO=4例4：證明：平行于三角形一邊且和其他兩邊相交的直線，截得的三角形與原三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例。已知：在△ABC中，DE∥BC，DE交AB于D，交AC于E求證：\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}\)證明：由推論得\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)過(guò)D作DF∥AC交BC于F，∵DE∥BC，DF∥AC，∴四邊形DFCE是平行四邊形，∴DE=FC又∵DF∥AC，由推論得\(\frac{AD}{AB}=\frac{FC}{BC}\)，∴\(\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}\)綜上，\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}\)技巧提煉：遇到復(fù)雜圖形時(shí)，通過(guò)作輔助線（如平行線）將圖形轉(zhuǎn)化為定理或推論的基本模型，再建立比例關(guān)系。第9頁(yè)：鞏固練習(xí)選擇題：（1）如圖，\(l_1\parallell_2\parallell_3\)，AB=4，BC=6，DE=3，則EF的長(zhǎng)為（

）A.4.5B.5C.5.5D.6（2）在△ABC中，DE∥BC，AD=3，DB=6，AE=2，則EC的長(zhǎng)為（

）A.2B.3C.4D.6填空題：（1）兩條直線被一組平行線所截，所得的____線段成比例；（2）如圖，AB∥CD∥EF，若\(\frac{AC}{CE}=\frac{2}{3}\)，BD=4，則DF=____。解答題：如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD=5，AB=15，AE=4，求AC的長(zhǎng)及\(\frac{DE}{BC}\)的值。第10頁(yè)：課堂小結(jié)知識(shí)梳理：平行線分線段成比例定理：一組平行線截兩條直線，對(duì)應(yīng)線段成比例推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，對(duì)應(yīng)線段成比例核心應(yīng)用：線段比例計(jì)算、幾何證明（轉(zhuǎn)化圖形、建立比例關(guān)系）思想方法：轉(zhuǎn)化思想：將復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為定理/推論的基本模型數(shù)形結(jié)合：借助圖形直觀分析線段關(guān)系，推導(dǎo)比例式易錯(cuò)點(diǎn)回顧：混淆“對(duì)應(yīng)線段”的順序，導(dǎo)致比例式寫(xiě)錯(cuò)應(yīng)用推論時(shí)，未明確三角形的“一邊”與“其他兩邊”第11頁(yè)：布置作業(yè)基礎(chǔ)作業(yè)：教材對(duì)應(yīng)習(xí)題，完成3道比例計(jì)算和2道簡(jiǎn)單證明題提升作業(yè)：（1）如圖，已知AD∥BE∥CF，AB=6，BC=3，EF=2，求DE的長(zhǎng)；（2）在△ABC中，DE∥BC，DE分別交AB、AC于D、E，若AD:DB=2:3，且△ADE的周長(zhǎng)為10，求△ABC的周長(zhǎng)。實(shí)踐作業(yè)：觀察生活中應(yīng)用“平行線分線段成比例”的實(shí)例（如建筑設(shè)計(jì)、藝術(shù)構(gòu)圖），嘗試用直尺測(cè)量并驗(yàn)證比例關(guān)系2025-2026學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)【公開(kāi)課精做課件】授課教師：

.班級(jí)：

.

時(shí)間：

.

27.2.1.1平行線分線段成比例第二十七章

相似aiTujmiaNg復(fù)習(xí)引入1.相似多邊形的對(duì)應(yīng)角

，對(duì)應(yīng)邊

，對(duì)應(yīng)邊的比叫做

.2.如圖，△ABC和△A′B′C′相似需要滿足什么條件？相等成比例相似比ABCA′B′C′相似用符號(hào)“∽”表示，讀作“相似于”.△ABC與△A′B′C′相似記作“△ABC∽△A′B′C′”.平行線分線段成比例的基本事實(shí)

如圖，任意畫(huà)兩條直線

l1，l2，再畫(huà)三條與

l1，l2

都相交的平行線

l3，l4，l5.

分別度量在

l1上截得的兩條線段

AB，BC和在

l2

上截得的兩條線段

DE，EF的長(zhǎng)度.合作探究ACEBDFl4l5l1l2l3(1)計(jì)算的值，它們相等嗎？ACEBDFl4l5l1l2l3(2)任意平移l5，重復(fù)上述操作，度量AB，BC，DE，EF，同（1）中計(jì)算，它們還相等嗎？

一般地，我們有平行線分線段成比例的基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.符號(hào)語(yǔ)言：歸納：

若

l3∥l4∥l5，則，，，ABCDEFl4l5l3l2l1如圖，已知

l1∥l2∥l3，下列比例式中錯(cuò)誤的是

(

)A.

B.C.

D.D練一練ACEBDFl2l1l3

如圖，直線

a∥b∥c，由平行線分線段成比例的基本事實(shí)，我們可以得出圖中對(duì)應(yīng)成比例的線段，若把直線n向左或向右任意平移，這些線段是否依然成比例？平行線分線段成比例的推論觀察與思考A1A2A3bcmB1B2B3naA1A2A3bcmB1B2B3na

若把直線n向左平移到B1與A1重合的位置，說(shuō)說(shuō)圖中有哪些成比例線段.

若把圖中的部分線條擦去，得到如圖所示的新圖形，剛剛所說(shuō)的線段是否仍然成比例？A1(B1)A2A3B2B3()A1A2A3bcmB1B2B3na

若把直線n向左平移到B2與A2重合的位置，說(shuō)說(shuō)圖中有哪些成比例線段.

若把圖中的部分線條擦去，得到新的圖形，剛剛所說(shuō)的線段是否仍然成比例？A2(B2)A1A3B1B3()

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.A1(B1)A2A3B2B3A2(B2)A1A3B1B3歸納：

如圖，DE∥BC，，則

；若

FG∥BC，

，則

.練一練ABCEDFG例如圖，在△ABC中，EF∥BC.(1)如果

E、F

分別是AB和AC上的點(diǎn)，AE=BE

=

7，

FC=4，那么AF的長(zhǎng)是多少？ABCEF典例精析解：∵EF∥BC，∴

∴，解得AF=4.(2)若

AB=10，AE

=

6，AF=5，則FC的長(zhǎng)是多少？解：∵EF∥BC，∴∴，解得AC=.∴FC=AC－AF=ABCEF

如圖，DE∥BC，AD

=

4，DB

=

6，AE

=

3，則AC

=

；若

FG∥BC，AF

=4.5，則AG

=

.ABCEDFG練一練7.56由,可得到

CE

的長(zhǎng)

可以通過(guò)

，得到

AG的長(zhǎng)

如圖，在△ABC

中，D

為

AB

上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

D

作

BC

的平行線

DE，交

AC

于點(diǎn)

E.問(wèn)題

1

△ADE

與△ABC

的三個(gè)內(nèi)角分別相等嗎？問(wèn)題

2分別度量△ADE

與△ABC

的邊長(zhǎng)，

它們的邊長(zhǎng)是否對(duì)應(yīng)成比例？BCADE判定相似三角形的引理合作探究

我們通過(guò)度量三角形的邊長(zhǎng)，知道△ADE∽△ABC，但要用相似的定義去證明它，我們需要證明什么？問(wèn)題

3

你認(rèn)為△ADE

與△ABC

之間有什么關(guān)系？平行移動(dòng)

DE

的位置，你的結(jié)論還成立嗎？通過(guò)度量，我們發(fā)現(xiàn)△ADE∽△ABC，且只要

DE∥BC，這個(gè)結(jié)論恒成立.BCADE想一想：

由所學(xué)的定理，我們可以證出哪些結(jié)論？還需證明什么？

而除了DE外，其他的線段都在△ABC的邊上，要想利用前面學(xué)到的結(jié)論來(lái)證明三角形相似，可以怎樣做呢？

由所學(xué)的定理可得，需要證明的是可以將DE平移到BC邊上去BCADE證明：在△ADE與△ABC

中，∠A

=∠A.∵DE∥BC，∴∠ADE

=∠B，∠AED

=∠C.如圖，過(guò)點(diǎn)

E

作

EF∥AB，交

BC于點(diǎn)

F.CABDEF如圖，DE∥BC，用相似的定義證明△ADE∽△ABC.∵DE∥BC，EF∥AB，∴，

，且四邊形

DEFB

為平行四邊形．∴DE=BF.∴△ADE∽△ABC.∴由此我們得到判定三角形相似的一個(gè)定理：

平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.三角形相似的兩種常見(jiàn)類型：“A”型

“X”型DEABCABCDE2.若△ABC與△A′B′C′相似，一組對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)為

AB=

3cm，A′B′

=

4cm，則△A′B′C′

與△ABC的相似比是_____.1.如圖，已知

AB∥EF∥CD，則圖中共

有___對(duì)相似三角形.3練一練CDABEFO相似具有傳遞性4︰33.若△ABC的三條邊長(zhǎng)分別為

3cm，5cm，6cm，與其相似的另一個(gè)△A′B′C′的最小邊長(zhǎng)為

12cm，則△A′B′C′的最大邊長(zhǎng)是_______.24cm1.如圖，△ABC∽△DEF，相似比為

1

:

2，若BC

=

1，則EF的長(zhǎng)為(

)A.1B.2C.3D.4BCAEFDB2.如圖，在△ABC中，EF∥BC，AE

=

2cm，BE

=

6cm，BC=4cm，則

EF的長(zhǎng)為()AABCEFA.1cmB.cm

C.2

cmD.3cmB返回1．已知△ABC∽△DEF，AB＝2，BC＝3，若DE＝3，則EF＝(

)A．6B．4.5C．5D．2.5返回C2．[2024重慶一中月考]如圖，l1∥l2∥l3，直線a，b相交于點(diǎn)G，與這三條平行線分別相交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn)，下列比例式中錯(cuò)誤的是(

)3．[2024長(zhǎng)春]如圖，在△ABC中，O是邊AB的中點(diǎn)．按下列要求作圖：

①以點(diǎn)B為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交線段