高考立體幾何知識點總結(jié)

整體知識框架:

空

間L空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征一空間幾何體的表面積和體積

幾

何

空間兒何體的三視圖和宜觀圖

體

空

間

空

點

間

向

、

宜

衣

線

與

立

、

平

體

面

幾

位

何

置

關(guān)

系

一、空間幾何體

（一）空間幾何體的類型

1多面體：由若干個平面多邊形圍成的幾何體。圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面,

相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點叫做多面體的頂點。

2旋轉(zhuǎn)體：把一個平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)形成了封閉幾何體。其中,

這條直線稱為旋轉(zhuǎn)體的軸，

（-）幾種空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

1、棱柱的結(jié)構(gòu)特征

1.1棱柱的定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共

邊都互相平行，由這些面所圍成的兒何體叫做棱柱。

1.2棱柱的分類圖1-1棱柱

（斜楂柱

①棱柱J娓間是V＞正校位

秋巾；＞百棱柱棱

其他棱柱…柱

底面是四邊形

底面是平行四邊形側(cè)棱近直于底面

----------------＞

四棱柱平行六面體直平行六面體

底面是矩形底面是正方形棱長都相等

---------??--------->

長方體----正四棱柱-----------------正方體

性質(zhì)：

I、側(cè)面都是平行四邊形：且各側(cè)棱互相平行且相等；

II、兩底面是全等多邊形且互相平行;

III、平行于底面的截面和底面全等；

1.3棱柱的面積和體積公式

（是底冏長，是高）

S宜板柱費面=c?h+2s底

V校柱=S底-h

2、棱錐的結(jié)構(gòu)特征

2.1棱錐的定義

（1）棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的

兒何體叫做棱錐。

（2）正棱錐：如果有一個極錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的投影是底面的中心，這

樣的棱錐叫做正棱錐。

2.2正棱錐的結(jié)構(gòu)特征

I、平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等于頂點到截面的距離與頂點

到底面的距離之比：它們面積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的平方比；截得的棱錐

的體積與原棱錐的體積的比等于裁得的棱錐的高與原棱錐的高的立方比；

H、正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形；

正棱錐側(cè)面積：（為底周長，為斜高）

體積：（為底面積，為高）

正四面體：

對于棱長為a正四面體的問題可將它補成一個邊長為的正方體問題。

2

對棱間的距離為J〃（正方體的邊長）

2

正四面體的高手。（="正方體體對角觀）

S1

正四面體的體積為普/（乙方體一4%卜三極錐方體）

I-O

正四面體的中心到底面與頂點的距離之比為1:3（=-/正方體體對角線正方體體對角線）

0Z

正四面體的外接球半徑為，外接球半徑為，外接球半徑

一個正四面體的內(nèi)切球，外接球，棱切球的半徑如何計算”

已知正四面體H-3CQ的棱長為々，求它的外接球半徑、內(nèi)切球半徑、棱切球半徑

解：由正四面體的對稱性與球的對稱性知球心在正四面體的高上..

解得苜“

KfAOCG中，OC2=OG?+CG"^RZ=―Ry+—,

3

內(nèi)切球半--Z0哼-孚嚕

?-Jia

棱切球半徑為0E=JEG'OG：V12+24=-T-

3、棱臺的結(jié)構(gòu)特征

3.1棱臺的定義：用一個平行于底面的平面去截棱錐，我們把截面和底面之間的部分稱為棱

臺。

3.2正棱臺的結(jié)構(gòu)特征

<1）各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形：

（2）正棱臺的兩個底面和平行于底面的截面都是正多邊形；

（3）正棱臺的對角面也是等腰梯形：

（4）各側(cè)棱的延長線交于一點。

4、圓柱的結(jié)構(gòu)特征

4.1圓柱的定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的

幾何體叫圓柱。

4.2圓柱的性質(zhì)

（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圓；

（2）過軸的截面（軸截面）是全等的矩形。

4.3圓柱的側(cè)面展開圖：圓柱的側(cè)面展開圖是以底面周長和母線長為鄰邊的矩形。

4.4圓柱的面積和體積公式

S圓柱側(cè)面=2n?r-h（r為底面半徑,h為圓柱的高）

S兩住全=2兀rh+271r2

V園柱=Sin；h=7trh

5.圓錐的結(jié)構(gòu)特征

5.1圓錐的定義：以直角三角形的一宜角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲

面所圍成的幾何體叫做圓錐。

5.2圓錐的結(jié)構(gòu)特征

（1）平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等于頂點到截面的距離與頂點

到底面的距離之比；

（2）軸截面是等腰三角形；

（3）母線的平方等于底面半徑與高的平方和：圖1-5圓錐

I2=r+h2

5.3圓錐的側(cè)面展開圖：圓錐的側(cè)面展開圖是以頂點為圓心，以母線長為半徑的扇形。

6.圓臺的結(jié)構(gòu)特征

6.1圓臺的定義：用一個平行于底面的平面去截圓錐，我們把截面和底面之間的部分稱為圓

臺。

6.2圓臺的結(jié)構(gòu)特征

（0圓臺的上下底面和平行于底面的截面都是圓；

⑵圓臺的截面是等腰梯形；

（3）圓臺經(jīng)常補成圓錐，然后利用相似三角形進行研究。

6.3圓臺的面積和體積公式

SKiftM=71?（R+r）-1（r、R為上下底面半徑）

S雙臺全=it?r+71?R2+n?（R+r）?1

Vrafj=1/3（nr+ITR2+HrR）h（h為圓臺的高）

7球的結(jié)構(gòu)特征

7.1球的定義：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，

半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體?？臻g中，與定點

距離等于定長的點的集合叫做球面，球面所圍成的幾

何體稱為球體。

7-2球的結(jié)構(gòu)特征

⑴球心與截面圓心的連線垂直于截面；

⑵截面半徑等于球半徑與截面和球心的距離的平方

差：r2=R2-d2

★7-3球與其他多面體的組合體的問題

球體與其他多面體組合，包括內(nèi)接和外切兩種類型，解決此類問題的基本思路是：

⑴根據(jù)題意，確定是內(nèi)接還是外切，畫出立體圖形；

⑵找出多面體與球體連接的地方，找出對球的合適的切割面，然后做出剖面圖；

⑶將立體問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中圓與多邊形的問題；

⑷注意圓與正方體的兩個關(guān)系：球內(nèi)接正方體，球直徑等于正方體對角線；球外切正方體,

球百杼等千正方體的功長，

7-4球的面積和體積公式

S球面=4兀R?（R為球半徑）V球=4/3北R3

練習(xí)：

1）將直角三角形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體一定是（）

A.圓錐B.圓柱C.圓臺D.上均不正確

2）用一個平面去截一個幾何體，得到的截面是四邊形，這個幾何體可能是（）

A.圓錐B.圓柱C.球體D.以上都可能

3）下左一圖是一個物體的三視圖,根據(jù)圖中尺寸（單位：cm），計算它的體積....cm3.

正項圖?（襁圈

飴崔0B

二、典型例題分析

例1:（幾何體的側(cè)面展開圖）

如上左二圖，長方體的長、寬、高分別是5cm、4cm、3cm,一只螞蟻從到點，沿著表

面爬行的最短距離是多少.

練習(xí)：1）如上右二圖.四面體P-ABC中.PA=PB=PC=2.APB=BPC=APC=300.一只螞蚊

從A點出發(fā)沿四面體的表面繞一周，再回到A點，問螞蟻經(jīng)過的最短路程是________.

練習(xí).1）已知一個幾何體的主視圖及左視圖均是邊長為2的正三角形，俯視圖是直徑為2的圓,

則此幾何體的外接球的表面積為（）

A.B.C.D.

（三）空間幾何體的表面積與體積

空間幾何體的表面積

棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和

圓柱的表面積：圓錐的表面積：

圓臺的表面積：球的表面積：

扇形的面枳公式（其中表示弧長，表示半徑，表示弧度）

空間幾何體的體積

柱體的體積：錐體的體積：

臺體的體積：球體的體積：

（四）空間幾何體的三視圖和直觀圖

正視圖：光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖。

側(cè)視圖：光線從幾何體的左邊向右邊正投影，得到的投影圖。

俯視圖：光線從幾何體的上面向右邊正投影，得到的投影圖。

★畫三視圖的原則：

主視圖反映了物體的上、下和左、右位置關(guān)系；俯視圖反映了物體的前、后和左、右

位置關(guān)系；側(cè)視圖反映了物體的上、下和前、后位置關(guān)系。

三個視圖之間的投影關(guān)系為：正俯長相等、正側(cè)高相同、俯側(cè)寬一樣

注：球的三視圖都是圓；長方體的三視圖都是矩形

直觀圖：斜二測畫法

斜二測畫水平放置的平面圖形的基本步驟

（1）建立直角坐標(biāo)系，在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的Ox,Oy,建立直角坐標(biāo)系；

（2）畫出斜坐標(biāo)系.在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對應(yīng)的Ox',Oy'.使Nx'Oy'=45°

（或135°）,它們確定的平面表示水平平面；

（3）畫對應(yīng)圖形，在已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于x'軸，且長度保

持不變；平行于y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于y'軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

（4）擦去輔助線，圖畫好后，要擦去x軸、y軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）.

原視圖與直觀圖的關(guān)系：

例I、將長方體截去一個四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為

解析：如圖所示，點D1的投影為點C1,點D的投影為點C,點A的投影為點B.

答案:D

練習(xí)：

（I）如圖所示為某一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是（）

①水平放置的正方形的直觀圖可能是等腰梯形

②兩條相交的線段的直觀圖可能是平行線段

③兩條互相垂直的直線的直觀圖仍然垂直

④平行四邊形的直觀圖仍為平行四邊形

⑤長度相等的兩線段直觀圖仍然相等

（3）三角形是邊長為正三角形，求其直觀圖三角形的面積

（4）如圖，正方形的邊長為，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，求原圖形的周

長和面積

（5）如上右圖，用斜二測畫法作ABC水平放置的直觀圖形得A1B1C1,其中A1B1=B1C1,

A1D1是B1C1邊上的中線，由圖形可知在ABC中，下列四個結(jié)論中正確的是（)

A.AR=RC=ACR.ADRCC.AC>AD>AB>RCD.AC>AD>AR=RC

空間幾何體三視圖（重點）

例1如圖所示，某幾何體的正視圖是平行四邊形，側(cè)視圖和俯視圖都是矩形，則該幾何

體的體積為（）

俯視圖

A.6B.9C.12D.18

解析：由三視圖可還原幾何體的直觀圖如圖所示.此幾何體可通過分割和補形的方法拼

湊成一個長和寬均為3,高為的長方體，所求體積V=3X3X=9.

答案：B

（2）一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）

A.48B.32+8C.48+8D.80

（3）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

側(cè)視圖

俯視圖

A.Ji+12B.n+18

C.9Ji+42D.36兀+18

【答案】（1）C(2)B

【解析】（1）由三視圖可知本題所給的是一個底面為等腰梯形的放倒的直四

棱柱（如圖所示），所以該直四棱柱的表面積為S=2XX（2+4）X4+4X4+2

（2）由三視圖可得這個幾何體是由上面是一個宜徑為3的球，下面是一個長、寬都為3.

高為2的長方體所構(gòu)成的;I何體，則其體積為:V=V1+V2=XITX3+3X3X2="+

18,故選B.

.[2012高考真題北京理7]某三棱錐的三視圖如圖所示，該三梭錐的表面枳是（）

A.28+6..B30+6...C.56.12...D.60+12.

【答案】B【解析】從所給的三視圖可以得到該幾何體為三楂錐，如圖所示，圖中藍色數(shù)字

所表示的為直接從題目所給三視圖中讀出的長度，黑色數(shù)字代表通過勾股定理的計算得到

的邊長。本題所求表面枳應(yīng)為三棱錐四個面的面積之和，利用垂直關(guān)系和三角形面枳公式,

可得：，，，，因此該兒何體表面積，故選B。

例題：

.1.一空間幾何體的三視圖如下右圖所示,則該幾何體的體積為…）.

A?????B?????（.?????D?

的（左徹B

正（生）癖

2.上中圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是

A.9nB.IOnC.llJTD.12Ji

3.若一個正三棱柱的體積為，其三視圖如上左圖所示，則這個正三棱柱的側(cè)視圖的

面積為

4.12012高考真題廣東理6】某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為（C）

A.12nB.45nC.57nD.8In

二、典型例題

考點一：三視圖

1.一空間幾何體的三視D如圖1所示,則該幾何體的體積為.

俯視圖

第1題

2.若某空間幾何體的三視組如圖2所示，則該幾何體的體枳是

他視圖

第2題第3題

3.一個幾何體的三視圖如圖3所示，則這個幾何體的體積為

4.若某幾何體的三視圖（單位:cm）如圖4所示，則此幾何體的體積是

2一I

正泥巧田

夕用M

第4題第5題

5.如圖5是一個幾何體的三視圖，若它的體積是，則

6.已知某個幾何體的三視圖如圖6,根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm）,可■得這個幾何體的

體積是

第6題

第7題

7.若某幾何體的三視圖（單位：）如圖所示，見此兒

何體的體積是

8.設(shè)某幾何體的三視圖如圖8（尺寸的長度單位為ni）,

的視圖

第7題

第8題

9.一個空間幾何體的主視圖和

左視圖都是邊長為1的正方形,

俯視圖是一個圓，那么這個幾何

體的側(cè)面積為

主視圖

俯視圖

10.一個三棱柱的底面是正三角形，側(cè)棱垂直廣底面,它的三視圖及其尺寸如圖10所示（單

圖10

11.如圖11所示，一個空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是一個

直徑為1的圓，那么這個幾何體的全面積為.

圖13

12.如圖12,一個空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為1的正三角形，俯視圖是一個圓,

那么幾何體的側(cè)面積為.

13.已知某幾何體的俯視圖是如圖13所示的邊長為的正方形，主視圖與左視圖是邊長為

的正三角形，則其表面積是

14.如果一個幾何體的三視圖如圖14所示（單位長度：cm）,則此幾何體的表面積是

圖14

15.一個棱錐的三視圖如圖圖9-3-7,則該棱錐的全面積（單位：）.

正視圖左視圖俯視圖

圖1

二、點、直線、平面之間的關(guān)系

（一）、立體幾何網(wǎng)絡(luò)圖：

(6)

1.平面的基本性質(zhì)

公理1若一條直線上的兩點在??個平面內(nèi)，則這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi).

公理2如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線.

公理3經(jīng)過不在同一直線上的三個點，有且只有一個平面.

根據(jù)上面的公理，可得以下推論.

推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.

推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.

推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.

2.等角定理及其推論

定理若一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并亙方向相同，則這兩個角相等

推論若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，則這兩組直線所成的角相等.

2.空間線面的位置關(guān)井

共面］平行一沒有公共點

（1）直線與直線］［相交一有且只有一個公共點

異面（既不平行,〔又不相交）

'直線在平面內(nèi)一有無數(shù)個公共點

（2）直線和平面J直線不在平面內(nèi)［平行一沒有公共點

（直淺在平面外）1相交一有且只有一公共點

（3）平面與平面｛相交一有一條公共直線（無數(shù)個公共點）

平行一沒有公共點

唯一性定理：（1）過已知點，有且只能作一直線和已知平面垂直。

（2）過已知平面外一點，有且只能作一平面和已知平面平行。

（3）過兩條異面直線中的一條能且只能作一平面與另一條平行。

1.線線平行的判斷方法：

1.中位線、i止明平仃四邊方、相似邊互相平行（初中的方法）、內(nèi)錯角I可位角相等、平仃公

理等

2.線面平行的性質(zhì)、面面平行的性質(zhì)

3.線面垂直的性質(zhì)：垂直于同一平面的兩直線平行。

4.向量法，證明

2、線線垂直的判斷：

1.勾股定理2.正方形、菱形、圓等特點3.等腰、等邊三角形的中線4.線面垂直和面面垂直的

轉(zhuǎn)化

補充：一條直線和兩條平行直線中的一條垂直，也必垂直平行線中的另一條。

3.線面平行的判斷：如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這

個平面平行。

符號表示：

4.線面平行的性質(zhì)：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交,

那么這條直線和交線平行，

5.面面平行的判斷：一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面，這兩個平面平行。

注：垂直于同一條直線的兩個平面平行

5.面面平行的性質(zhì)：

性質(zhì)定理：1.如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。

2.兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面。

alia

au。=＞a//b（線面平行n線線平行）

aC0=b

★判斷或證明線面平行的方法

⑴利用定義（反證法）：,則〃a（用于判斷）；

⑵利用判定定理：線線平行線面平行（用于證明）；

⑶利用平面的平行：面面平行線面平行（用于證明）；

⑷利用垂直于同一條直線的直線和平面平行（用于判斷）。

2線面斜交和線面角：na=A

2.1直線與平面所成的角（簡稱線面角）：若直線與平面斜交，則平面的斜線與該斜線在平面

內(nèi)射影的夾角

2.2線面角的范圍：0￡[0°,90°]注意：當(dāng)直線在平面內(nèi)或者直線平行于平面時，。=0°；

當(dāng)直線垂直于平面時，0=90°

4.線面垂直的判斷：

判定定理如果一直線和平面內(nèi)的兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個平面。

a,bua

a[yb=O

l（zan/la（線線垂直=＞線面垂百）

/la

lib

5.線面垂直性質(zhì)：（1）若直線垂直于平面，則它垂直于平面內(nèi)任意一條直線。

即：ILa.aaa=＞11a（線面垂直.二＞線線垂自）

（2）垂直于同一平面的兩直線平行。

即：推論：

6.面面垂直的判斷：一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，這兩個平面互相垂直。

判定定理：

6.面面垂直的性質(zhì)：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)

垂直于交線的直線必垂直于另一個平面。

aLP

A4（面面垂直=＞線面垂直）

3au"a'

aLAB

圖2-10面面垂直性質(zhì)2

定義法：若兩面垂直，則這兩個平面的二面角的平面角為90°；

★判斷或證明線面垂直的方法

（1）利用定義，用反證法證明。

⑵利用判定定理證明。

⑶一條直線垂直于平面而平行于另一條直線，則另一條直線也垂直與平面。

（4）一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則也垂直于另一個。

⑸如果兩平面垂直，在一平面內(nèi)有一直線垂直于兩平面交線，則該直線垂直于另一平面。

★1.5三垂線定理及其逆定理

（1）斜線定理：從平面外一點向這個平面所引的所有線段中,

線相等則射影相等，斜線越長則射影越長，垂線段最短。

如圖：

PB=PC0OB=OC；PA>PB^OA>OB

⑵三垂線定理及其逆定理

已知POa,斜線PA在平面a內(nèi)的射影為OA,a是平面

a內(nèi)的一條直線。

①三垂線定理：若aJ.OA,則a_LPA。即垂直射影則垂直斜線。

②三垂線定理逆定理：若a_LPA,則2_10人。即垂直斜線則垂直射影。

⑶三垂線定理及其逆定理的主要應(yīng)用

圖2-8三垂線定理

①證明異面直線垂直；

②作出和證明二面角的平面角；

③作點到線的垂線段，

（二）、其他定理:

（1）確定平面的條件：①不共線的三點；②直線和直線外一點；③相交直線或平行直線;

（5）最小角定理：斜線與平面內(nèi)所有直線所成的角中最小的是與它在平面內(nèi)射影所成的角。

（6）異面直線的判定：①反證法；

②過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線。

（7）過已知點與一條直線垂直的直線都在過這點與這條直線垂直平面內(nèi)。

（8）如果一直線平行于兩個相交平面,那么這條直線平行于兩個平面的交線。

考點六線面、面面關(guān)系判斷短

1.已知直線1、m、平面a、B,且l_La,mB,給出下列四個命題：

（1）a〃B,則lj_m（2）若則a〃B

（3）若&，8,則l〃m（4）若l〃m,則Q_LB

其中正確的是.

2.是空間兩條不同直線，是空間兩條不同平面，下面有四個命題:

①加J_。，川|尸,0||m_L〃；②m_L七二mJ_a=>〃“/J;

⑶m.Ln,a\\/?,m||an〃_L夕；④相_La,a||6=>〃_L/?;

其中真命題的編號是________（寫出所有真命題的編號）。

5.關(guān)于直線m、n與平面與，有下列四個命題：

①若且，則；②若且，則；

③若且，則；④若且，則；

其中真命題的序號是.

練習(xí)

1.判斷下面命題的正確的是

平行于同一宜線的兩平面平行…垂直于同一平面的兩直線平行.

平行于同一平面的兩直線平行…垂直于同一直線的兩平面平行.

平行于同一平面的兩平面平行…垂直于同一平面的兩平面平行.

2空間不重合的三平面可以把空間分成一部分,正方體六個面所在平面把空間分成_部分.

3若〃力是異面直線，b,c是異面直線，則a”的位置關(guān)系是（）

A.相交，平行或異面B.相交或平行C.異面D.平行或異面

4設(shè)b,c表示兩條直線,a,您示兩個平面，下列命題中正確的是

A.若b,c〃，則b〃cB.若b力〃<\則c〃

C.若c〃c±，則±D.若"_L則c

5設(shè)機，〃是兩條不同的直線，％乃是兩個不同的平面,下列命題正確的是（）

A,若mA./?,m±a,n/tfi，則allpB,若mHa,nil/夕,a//fi,則tn//n

C,若m±a,n///7,?///7，則tnLnD、若mH〃,mHa,nH則allP

6設(shè)是兩條直線,a,4是兩個平面，則能推出aLb的一個條件是（）

A.?±a,b//±（3B.a1a、b10,a"B

C.aca,b13aHsua,bll12

9已知〃2,幾為兩條不同的直線，a,分為兩個不同的平面則下列命題中正確的是（）

A.muu〃⑸〃〃2=a〃產(chǎn)B.力,加ua,4u』=怨〃門

C.mla,mLn^>n//aD.m//n.n1am1a

10已知兩條直線，兩個平面，給出下面四個命題：

m//n,m_La=〃_La②a//p,mua、nu0=mHn

⑥m/!n,mHann//a④a//(3、mH〃，相_a=L/7

其中正確命題的序號是（）

A.①?B.??C.①④D.②③

11設(shè)有直線，幾〃和平面a,〃.下列四個命題中，正確的是（）

A.若m〃a,n〃a，則m〃nB.若mua,nua,m〃p,n〃p，則a//ft

C.若a_Lp,mcza，則m_L夕D.若a_LP,m±p,ni（Za，則m//a

12'設(shè)a、p是兩個不同的平面,/是一條直線，以下命題正確的是（）

A.若則B.若，則

C.若，則D.若，則

13已知直線〃泊和平面a,下述推理中正確的有,

14如下左圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中,

①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線；③CN與BM成角：④DM與BN垂直；以

上四個命題中，正確命題的序號是()

A.①②③B.②@C.③④D.②③④

練習(xí)：下左二圖是一個正方體的展開圖，在原正方體中，有下列命題：

⑴A8與Er所在直線平行；(2MB與CO所在直線異面；

⑶MN與8尸所在直線成60°；(4)MN與C。所在直線垂直;其中正確命題的序號是.

D

考點四平行與垂直的證明

1.正方體，，E為棱的中點.

(I)求證：；

(II)求證：平面；

(III)求三棱錐的體積.

2.已知正方體，是底對角線的交點.

求證：(1)C1O〃面；(2)面.

3.如圖，矩形所在平面，、分別是和的中點.

(I)求證：〃平面；

(II)求證：；

(III)若，求證：平面.

4.如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A平面ABCD.

AD//BC//FE,ABAD,M為EC的中點，

N為AE的中點,AF=AB=BC=FE=AD

(I)證明平面AMD_L平面CDE；

(II)證明BN〃平面CDE；

5.在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD是正三角形，且與底面ABCD垂

直，已知菱形ABCD中NADC=6()°,M是PA的中點,O是DC中點.

(1)求證:0M//平面PCB；(2)求證:PA_LCD；

(3)求證:平面以6_L平面COM.

7.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PDJ_底面ABCD,PD=DC.E

是PC的中點，作EF1PB交PB于點F.

(1)證明用〃平面EDB；(2)證明PBJ_平面EFD

底面直線所成的角,線面角,二面角的求法★★★

1.求異面直線所成的角：

1.定義法：解題步驟：一找（作）：利用平移法找出異面直線所成的角：（1）可固定一條直

線平移另一條與其相交；（2）可將兩條一面直線同時平移至某一特殊位置。常用中位線平

移法二證：證明所找（作）的角就是異面直線所成的角（或其補角）。常需要證明線線平

行；三計算：通過解三角形，求出異面直線所成的角；

2.向量法求異面直線所成的角：若異面直線a,b的方向向量分別為a,b、異面直線所成的

角為。，則cos0=|cos（a,b）|=.

2求直線與平面所成的角：關(guān)鍵找“兩足”：垂足與斜足

1.定義法：解題步驟：一找：找（作）出斜線與其在平面內(nèi)的射影的夾角（注意三垂線定理

的應(yīng)用）；二證：證明所找（作）的角就是直線與平面所成的角（或其補角）（常需證明線

面垂直）；三計算：常通過解直角三角形，求出線面角。

2.向量法：求出平面的法向量n,直線的方向向量a,設(shè)線面所成的角為0,則sin（）=|cos

<n,a）|=.

3求二面角的平面角9?0,句

解題步驟：一找：根據(jù)二面角的平面角的定義，找（作）出二面角的平面角；二證：

證明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定義法，三垂線法，垂面法）；三計

算：通過解三角形，求出二面角的平面角。

2.向量法求二面角：求出二面角a一1一。的兩個半平面a與B的法向量nl,n2,若二面角a

—1—B所成的角。為銳角，則cos0=|cos<nl,n2>|=；

若二面角a-1—8所成的角0為鈍角，則cos。=一|cos<nl,n2>|=—.

五、距離的求法：

（1）點點、點線、點面距離：點與點之間的距離就是兩點之間線段的長、點與線、面間的

距離是點到線、面垂足間線段的長。求它們首先要找到表示距離的線段，然后再計算。

注意：求點到面的距離的方法：

①直接法：直接確定點到平面的垂線段長（垂線段一般在二面角所在的平面上）：

②轉(zhuǎn)移法：轉(zhuǎn)化為另一點到該平:面的距離（利用線面平:行的性質(zhì)）；

③體積法：利用三棱錐體積公式。

（2）線線距離：關(guān)于異面直線的距離，常用方法有：

①定義法，關(guān)鍵是確定出的公垂線段；

②轉(zhuǎn)化為線面距離，即轉(zhuǎn)化為與過而平行于的平面之間的距離，關(guān)鍵是找出或構(gòu)造出

這個平面；③轉(zhuǎn)化為面面距離；

（3）線面.、面面距離：線面間距離面面間距離與線線間、點線間距離?常常相互轉(zhuǎn)化；

例題：如圖所示,已知正四棱錐S-ABCD側(cè)棱長為，底面邊長為*是§人

的中點，則異面直線BE與SC所成角的大小為（）

2正方體ABCD-ABCD中，異面直線°。和所成的角的度數(shù)是.

如圖7,在正方體中，分別是，中點，求異面直線與所成角的角.

考點二體積、距離、角等問題

1.正棱錐的高和底面邊長都縮小原來的，則它的體積是原來的.

2.已知圓錐的母線長為8.底面周長為6丁則它的體積是.

3.如圖8所示，已知正四棱錐S-ABCD側(cè)棱長為，底面邊長為，E是SA的中點，則

異面直線BE與SC所成角的大小為.

第3題

4.如圖9-1-4,在空間四邊形中，.，分別是AB.CD的中點，則.與所成角的大小為

5.如上右三圖在正三棱柱中，，則直線與平面所成角的正弦值為

6如圖9-3-6,在正方體ABCD—A1B1C1D1中，對角線BD1與平面ABCD所成的角的正切

圖9-3-6

7.如圖9-3-1,已知為等腰直角三角形，為空間一點，且，的中點為，

則與平面所成的角為

8.如圖7,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱氏為1,0是底面A1B1C1D1的中心，則0到

平面ABC1D1的距離為.

9.一平面截一球得到直徑是6cm的圓面，球心到這個平面的距離是4cm,則該球的體枳是

10.長方體的8個頂點在同一個球向上，旦AB=2,AD=,,則頂點A.B間的球面距

離是.

II.已知點在同一個球面上，若，則兩點間的球面距離是.

12.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M為DD1的中點，O為底面ABCD的中心，P為棱

A1B1上任意一點，則直線OP與直線AM所成的角是.

13.4ABC的頂點B在平面a內(nèi)，A.C在a的同一側(cè),AB.BC與a所成的角分別是30”和

45°,若AB=3,BC=,AC=5,則AC與a所成的角為.

14.矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B-AC-D,

則四面體ABCD的外接球的體積為.

15.已知正方體的八個頂點都在球面上，且球的體積為，則正方體的棱長為.

16.一個四面體的所有棱長都為,四個頂點在同二球面上,則此球的表面積為.

考點五異面直線所成的角，線面角，二面角證明

1.如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD為正方形，PD_L底面ABCD,PD=AD.求證：（1）平面PAC

_L平面PBD：

（2）求PC與平面P8O所成的角;

2.如圖所示，已知正四棱誰S—ABCI）側(cè)棱長為，底面邊長為，［二是5人的中點，則異面

直線BE與SC所成角的大小為.

5.如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P—ABCD中，平面ABCD,且PA=AB,點E是PD

的中點.（1）求證：；（2）求證：平面AEC；

（3）若，求三棱錐E—ACD的體積；（4）求二面角E—AC—D的大小.

立體幾何中的向量方法（理科）

例題：如圖，直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的高為3,底面是邊長為4且/DAB=60°的菱

形,ACnBD=0,A1CinB1D1=01,E是01A的中點.

（1）求二面角。1一8。一。的大?。籇i__C,

（2）求點E到平面Oi〉C的距離.

解(1)???001_L平面AC,

A001X0A,001±0B,又OA_LOB,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系（如圖）

???底面ABCD是邊長為4,ZDAB=60°的菱形,

/.OA=2,0B=2,

則A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),

O1(0,0,3)

設(shè)平面01BC的法向量為=（x,y,z）,

則_L,1,:.,則z=2,則x=-,y=3,

:.=(-,3,2),而平面AC的法向量=(0,0,3)

??COSv,>=9

設(shè)01—BC—D的平面角為a..,.cosa=?，.a=60".故二面角01—BC—D為60°.

(2)設(shè)點E到平面01BC的距離為d,???E是O1A的中點，???=(一,0,),

則(1=，二點E到面01BC的距離等于.

例題：如圖，在四面體ABCD中，O、E分別是BD.BC的中點，

(1)求證：平面BCD；

(2)求異面直線AB與CD所成角的余弦值；

(3)求點E到平面ACD的距離.

⑴證明連結(jié)OC

???BO=DO、AB=AD,.\AOA-BD.

在中，由己知可得

而，

.?.N4OC=90Y|MO_LOC.

???平面.

(2)解以O(shè)為原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則5(1,0,0),D(-l,0,0),C(0,瓜0),A(0,0,1),E(-,—,0),BA=(-1,0,1),CD=(-1,0).

22

,???異面直線