第3節(jié)圓的方程高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025課標(biāo)解讀了解確定圓的幾何要素.在平面直角坐標(biāo)系中,探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.1強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分2研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破目錄索引

1強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分知識(shí)梳理1.圓的定義與方程

定長(zhǎng)

(a,b)

2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圓心C的坐標(biāo)為(a,b),半徑為r,設(shè)M的坐標(biāo)為(x0,y0).(x0-a)2+(y0-b)2>r2(x0-a)2+(y0-b)2<r2常用結(jié)論1.以A(x1,y1),B(x2,y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.2.點(diǎn)M(x0,y0)與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)的位置關(guān)系:自主診斷題組一思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)1.點(diǎn)(0,0)在圓(x-1)2+(y-2)2=1上.(

)2.過不共線的三點(diǎn)一定有唯一的一個(gè)圓.(

)3.方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圓心為(a,b),半徑為t的圓.(

)×√××題組二回源教材5.(人教A版選擇性必修第一冊(cè)習(xí)題2.4第2(1)題改編)圓心為點(diǎn)C(8,-3),且過點(diǎn)A(5,1)的圓的一般方程是

.

x2+y2-16x+6y+48=0

6.(人教B版選擇性必修第一冊(cè)第110頁(yè)練習(xí)B第2題改編)已知圓x2+y2+2x-ay-4=0的半徑為3,則實(shí)數(shù)a的值為

.

解析

圓的半徑r=|CA|==5,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-8)2+(y+3)2=25,化為一般式,得x2+y2-16x+6y+48=0.±47.(人教A版選擇性必修第一冊(cè)2.4.2節(jié)例5)已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3),端點(diǎn)A在圓(x+1)2+y2=4上運(yùn)動(dòng),求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.題組三連線高考8.(2022·北京,3)若直線2x+y-1=0是圓(x-a)2+y2=1的一條對(duì)稱軸,則a=(

)A解析

圓(x-a)2+y2=1的圓心為(a,0),代入直線方程,可得2a+0-1=0,∴a=,故選A.9.(2022·全國(guó)甲,文14)設(shè)點(diǎn)M在直線2x+y-1=0上,點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在☉M上,則☉M的方程為

.

(x-1)2+(y+1)2=5(方法二)設(shè)圓心M(a,1-2a),☉M的半徑為r,則r2=(a-3)2+(1-2a)2=(a-0)2+(1-2a-1)2,整理可得-10a+10=0,即a=1.則圓心M(1,-1),故所求☉M的方程為(x-1)2+(y+1)2=5.2研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一求圓的方程例1已知圓C的圓心在直線x+y=0上,圓C與直線x-y=0相切,且在直線x-y-3=0上截得的弦長(zhǎng)為,則圓C的方程為

.

(x-1)2+(y+1)2=2

[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1](2022·全國(guó)乙,文15)過四點(diǎn)(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為

.

(x-2)2+(y-3)2=13考點(diǎn)二與圓有關(guān)的軌跡問題例2已知Rt△ABC的斜邊為AB,且A(-1,0),B(3,0).求:(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程;(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程.解

(1)(方法一)設(shè)C(x,y).因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)不共線,所以y≠0.因?yàn)锳C⊥BC,且BC,AC斜率均存在,所以kAC·kBC=-1,即

=-1,化簡(jiǎn)得x2+y2-2x-3=0.因此,直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x-1)2+y2=4(y≠0).(方法二)設(shè)AB的中點(diǎn)為D,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1,0).由直角三角形的性質(zhì),知|CD|=|AB|=2.由圓的定義,知?jiǎng)狱c(diǎn)C的軌跡是以D(1,0)為圓心,2為半徑的圓(由于A,B,C三點(diǎn)不共線,所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn)),所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x-1)2+y2=4(y≠0).[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2](2020·北京,5)已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)(3,4),則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為(

)A.4 B.5

C.6 D.7A所以|OC|≥5-1=4,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C在線段OM上時(shí)取得等號(hào).考點(diǎn)三與圓有關(guān)的最值問題(多考向探究預(yù)測(cè))考向1借助目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最值例3已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0,(1)求

的最大值和最小值;(2)求y-x的最大值和最小值;(3)求x2+y2的最大值和最小值.(3)x2+y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方.由平面幾何知識(shí)知,在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3](2023·全國(guó)乙,文11)已知x,y滿足x2+y2-4x-2y-4=0,則x-y的最大值是(

)C解析

(方法一)由x2+y2-4x-2y-4=0,得(x-2)2+(y-1)2=9,該方程表示圓心為(2,1),半徑為3的圓.設(shè)x-y=u,則x-y-u=0,且由題意知直線x-y-u=0與圓考向2利用對(duì)稱性求最值例4已知圓C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圓C2:(x-3)2+(y-4)2=9,點(diǎn)M,點(diǎn)N分別是圓C1,圓C2上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P為x軸上的動(dòng)點(diǎn),則|PM|+|PN|的最小值為(

)A解析

由題可知圓心C1(2,3),圓心C2(3,4).因?yàn)辄c(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn),所以|PM|的最小值為|PC1|-1,同理|PN|的最小值為|PC2|-3,所以|PM|+|PN|的最小值為|PC1|+|PC2|-4.作C1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C'1(2,-3)(圖略),所以[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4]已知A(0,2),點(diǎn)P在直線x+y+2=0上,點(diǎn)Q在圓C:x2+