2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)周練（四）試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|2^x>4})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,+\infty))C.((1,+\infty))D.((1,2])函數(shù)(f(x)=\frac{\ln(x-1)}{\sqrt{4-x^2}})的定義域是（）A.((1,2))B.([1,2))C.((1,2])D.([1,2])已知(\sin\alpha=\frac{3}{5})，(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi))，則(\cos(\alpha-\frac{\pi}{4})=)（）A.(-\frac{\sqrt{2}}{10})B.(\frac{\sqrt{2}}{10})C.(-\frac{7\sqrt{2}}{10})D.(\frac{7\sqrt{2}}{10})已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，若(a_1=1)，(S_3=13)，則公比(q=)（）A.3B.-4C.3或-4D.-3或4某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）（注：三視圖為一個長方體上方放置一個半球，長方體長、寬、高分別為4、3、2，半球半徑為1）A.(24+\frac{2\pi}{3})B.(24+\frac{4\pi}{3})C.(24+\pi)D.(24+2\pi)已知直線(l:ax+y-2=0)與圓(C:(x-1)^2+(y-1)^2=4)相切，則實數(shù)(a=)（）A.(-\frac{3}{4})B.(\frac{3}{4})C.0D.(-\frac{3}{4})或0已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)，則函數(shù)(f(x))的極大值點是（）A.(x=0)B.(x=1)C.(x=2)D.(x=3)某學(xué)校為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，隨機抽取100名學(xué)生進行調(diào)查，得到學(xué)生數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖（如圖），則成績在[80,100]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)是（）（注：直方圖中[80,90)頻率為0.3，[90,100]頻率為0.2）A.30B.40C.50D.60二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A.(f(x)=x^3)B.(f(x)=\sinx)C.(f(x)=2^x-2^{-x})D.(f(x)=x|x|)已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec=(m,-1))，則下列說法正確的是（）A.若(\vec{a}\perp\vec)，則(m=2)B.若(\vec{a}\parallel\vec)，則(m=-\frac{1}{2})C.(|\vec{a}+\vec|)的最小值為(\sqrt{5})D.若(\vec{a})與(\vec)的夾角為鈍角，則(m<2)關(guān)于函數(shù)(f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{3}))，下列說法正確的是（）A.最小正周期為(\pi)B.圖象關(guān)于點((-\frac{\pi}{6},0))對稱C.圖象關(guān)于直線(x=\frac{\pi}{12})對稱D.在區(qū)間([-\frac{\pi}{3},0])上單調(diào)遞增已知拋物線(C:y^2=4x)的焦點為(F)，準(zhǔn)線為(l)，過點(F)的直線與拋物線交于(A,B)兩點，過點(A)作準(zhǔn)線(l)的垂線，垂足為(A')，則下列說法正確的是（）A.(|AF|=|AA'|)B.若直線(AB)的斜率為1，則(|AB|=8)C.以(AB)為直徑的圓與準(zhǔn)線(l)相切D.若(\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB})，則直線(AB)的斜率為(\pm2\sqrt{2})三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知(\tan\theta=2)，則(\frac{\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta-\cos\theta}=)________。若函數(shù)(f(x)=x^2-2ax+a)在區(qū)間([0,1])上的最小值為(-2)，則(a=)________。已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)，則(a_5=)________。在三棱錐(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB=AC=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(PA=3)，則該三棱錐外接球的表面積為________。四、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（10分）已知數(shù)列({a_n})是等差數(shù)列，(a_1=1)，公差(d\neq0)，且(a_1,a_2,a_5)成等比數(shù)列。（1）求數(shù)列({a_n})的通項公式；（2）設(shè)(b_n=2^{a_n})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項和(S_n)。（12分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，且滿足(b\cosC+c\cosB=2a\cosA)。（1）求角(A)的大小；（2）若(a=2\sqrt{3})，(\triangleABC)的面積為(2\sqrt{3})，求(b+c)的值。（12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，點(D,E)分別是棱(BC,B_1C_1)的中點。（1）求證：(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)；（2）求三棱錐(A_1-BDE)的體積。（12分）已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)。（1）求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)(f(x))在區(qū)間([-1,2])上的最大值和最小值。（12分）某學(xué)校為了了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，隨機抽取了100名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進行統(tǒng)計，得到如下頻率分布表：成績分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻率0.050.150.30.30.2（1）求這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)和方差（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）若從成績在[80,100]的學(xué)生中隨機抽取2人，求至少有1人成績在[90,100]的概率。（12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點((2,1))。（1）求橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(A,B)兩點，(O)為坐標(biāo)原點，若(k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{4})，求證：(\triangleAOB)的面積為定值。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題A2.A3.C4.C5.A6.D7.A8.C二、多項選擇題ACD10.ABC11.ACD12.ACD三、填空題314.3或-115.3116.19π四、解答題（1）設(shè)等差數(shù)列({a_n})的公差為(d)，由題意得(a_2^2=a_1a_5)，即((1+d)^2=1\times(1+4d))，解得(d=2)（(d=0)舍去），所以(a_n=2n-1)。（5分）（2）由（1）得(b_n=2^{2n-1}=\frac{1}{2}\times4^n)，所以(S_n=\frac{1}{2}(4+4^2+\cdots+4^n)=\frac{2(4^n-1)}{3})。（10分）（1）由正弦定理得(\sinB\cosC+\sinC\cosB=2\sinA\cosA)，即(\sin(B+C)=2\sinA\cosA)，因為(\sin(B+C)=\sinA\neq0)，所以(\cosA=\frac{1}{2})，又(A\in(0,\pi))，所以(A=\frac{\pi}{3})。（6分）（2）由面積公式得(\frac{1}{2}bc\sinA=2\sqrt{3})，解得(bc=8)，由余弦定理得(a^2=b^2+c^2-bc=(b+c)^2-3bc)，即(12=(b+c)^2-24)，解得(b+c=6)。（12分）（1）連接(A_1B,A_1C)，因為(D,E)分別是(BC,B_1C_1)的中點，所以(DE\parallelA_1B)，又(DE\not\subset)平面(ABB_1A_1)，(A_1B\subset)平面(ABB_1A_1)，所以(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)。（6分）（2）由題意得(V_{A_1-BDE}=V_{E-A_1BD})，因為(E)到平面(A_1BD)的距離等于(\frac{1}{2}AA_1=1)，(S_{\triangleA_1BD}=\frac{1}{2}\times2\times\sqrt{2}=\sqrt{2})，所以體積為(\frac{1}{3}\times\sqrt{2}\times1=\frac{\sqrt{2}}{3})。（12分）（1）(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2))，令(f'(x)>0)，得(x<0)或(x>2)；令(f'(x)<0)，得(0<x<2)，所以單調(diào)遞增區(qū)間為((-\infty,0),(2,+\infty))，單調(diào)遞減區(qū)間為((0,2))。（6分）（2）計算得(f(-1)=-2)，(f(0)=2)，(f(2)=-2)，所以最大值為2，最小值為-2。（12分）（1）平均數(shù)(\bar{x}=55\times0.05+65\times0.15+75\times0.3+85\times0.3+95\times0.2=79)，方差(s^2=(55-79)^2\times0.05+(65-79)^2\times0.15+(75-79)^2\times0.3+(85-79)^2\times0.3+(95-79)^2\times0.2=159)。（6分）（2）成績在[80,90)的學(xué)生有30人，[90,100]的學(xué)生有20人，總基本事件數(shù)為(C_{50}^2=1225)，至少有1人在[90,100]的事件數(shù)為(C_{50}^2-C_{30}^2=1225-435=790)，概率為(\frac{790}{1225}=\frac{158}{245})。（12分）（1）由題意得(\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1)，又(a^2=b^2+c^2)，解得(a^2=8)，(b^2=2)，所以橢圓方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。（4分）（2）聯(lián)立直線與橢圓方程得((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0)，設(shè)(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2))，則(x_1+x_2=-\frac{8km}{1+4k^2})，(x_1x_2=\frac{4m^2-8}{1+4k^2})，由(k_{OA}\cdotk_{OB}=\f