專題2.1不等式的性質(zhì)及常見不等式解法新課程考試要求1.不等關(guān)系：了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系,了解不等式(組)的實(shí)際背景.2.一元二次不等式：(1)會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.(3)會(huì)解一元二次不等式.3.會(huì)解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式.4.掌握不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|及其應(yīng)用.核心素養(yǎng)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算（例2.3.4）、數(shù)學(xué)建模（例1）、邏輯推理（例2.3.4）等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).考向預(yù)測(cè)1.不等式的性質(zhì)及應(yīng)用2．一元二次不等式的解法3．一元二次不等式的恒成立問題【知識(shí)清單】1．實(shí)數(shù)的大小(1)數(shù)軸上的任意兩點(diǎn)中，右邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)大.(2)對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b，如果a－b是正數(shù)，那么a>b；如果a－b是負(fù)數(shù)，那么a<b；如果a－b等于零，那么a＝b.2．不等關(guān)系與不等式我們用數(shù)學(xué)符號(hào)“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些符號(hào)的式子，叫做不等式.3．不等式的性質(zhì)(1)性質(zhì)1：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b?b<a.(2)性質(zhì)2：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c?a>c.(3)性質(zhì)3：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)性質(zhì)4：①如果a>b，c>0那么ac>bc.②如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)性質(zhì)5：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)性質(zhì)6：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)性質(zhì)7：如果a>b>0，那么an>bn，(n∈N，n≥2)．(8)性質(zhì)8：如果a>b>0，那么eq\r(n,a)>eq\r(n,b)，(n∈N，n≥2)．4．一元二次不等式的概念及形式(1)概念：我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．(2)形式：①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．(3)一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某個(gè)一元二次不等式成立的x的值叫做這個(gè)不等式的解，一元二次不等式的所有解組成的集合叫做這個(gè)一元二次不等式的解集.5.一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如下表判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1<x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}{x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}?eq\a\vs4\al(?)6．分式不等式的解法定義：分母中含有未知數(shù)，且分子、分母都是關(guān)于x的多項(xiàng)式的不等式稱為__分式不等式__.eq\f(fx,gx)>0?f(x)g(x)__>__0，eq\f(fx,gx)<0?f(x)·g(x)__<__0.eq\f(fx,gx)≥0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fxgx≥0，,gx≠0.))?f(x)·g(x)__>__0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝0,gx≠0)).eq\f(fx,gx)≤0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx·gx≤0，,gx≠0))?f(x)·g(x)__<__0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝0,gx≠0.))7．簡(jiǎn)單的高次不等式的解法高次不等式：不等式最高次項(xiàng)的次數(shù)高于2，這樣的不等式稱為高次不等式.解法：穿根法①將f(x)最高次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；②將f(x)分解為若干個(gè)一次因式的積或二次不可分因式的積；③將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，自上而下，從右向左依次通過每一點(diǎn)畫曲線(注意重根情況，偶次方根穿而不過，奇次方根穿過)；④觀察曲線顯現(xiàn)出的f(x)的值的符號(hào)變化規(guī)律，寫出不等式的解集．8.不等式恒成立問題1．一元二次不等式恒成立問題(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集為R)時(shí)，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))；(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集為R)時(shí)，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ≤0))；(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集為R)時(shí)，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0))；(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集為R)時(shí)，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ≤0)).2．含參數(shù)的一元二次不等式恒成立．若能夠分離參數(shù)成k<f(x)或k>f(x)形式．則可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域求解．設(shè)f(x)的最大值為M，最小值為m.(1)k<f(x)恒成立?k<m，k≤f(x)恒成立?k≤m.(2)k>f(x)恒成立?k>M，k≥f(x)恒成立?k≥M.9．絕對(duì)值不等式的解法1．形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用兩邊平方的形式轉(zhuǎn)化為二次不等式求解．2．形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式(1)絕對(duì)值不等式|x|>a與|x|<a的解集(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)．10．絕對(duì)值不等式的應(yīng)用如果a，b是實(shí)數(shù)，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號(hào)成立．【常用結(jié)論】1．倒數(shù)性質(zhì)的幾個(gè)必備結(jié)論(1)a>b，ab>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(2)a<0<b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(3)a>b>0,0<c<d?eq\f(a,c)>eq\f(b,d).(4)0<a<x<b或a<x<b<0?eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).2．兩個(gè)重要不等式若a>b>0，m>0，則(1)eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)．(2)eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．【考點(diǎn)分類剖析】考點(diǎn)一：用不等式表示不等關(guān)系例1.用一段長(zhǎng)為30的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園,墻長(zhǎng)18,要求菜園的面積不小于216,靠墻的一邊長(zhǎng)為,其中的不等關(guān)系可用不等式(組)表示為________.

【規(guī)律總結(jié)】用不等式(組)表示實(shí)際問題中不等關(guān)系的步驟：①審題．通讀題目，分清楚已知量和待求量，設(shè)出待求量．找出體現(xiàn)不等關(guān)系的關(guān)鍵詞：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超過”“不超過”等．②列不等式組：分析題意，找出已知量和待求量之間的約束條件，將各約束條件用不等式表示．【變式探究】某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷售，可以售出8萬(wàn)本．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若單價(jià)每提高0.1元，銷售量就可能相應(yīng)減少2000本，若把提價(jià)后雜志的定價(jià)設(shè)為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬(wàn)元？考點(diǎn)二：比較數(shù)或式子的大小例2.已知x＜y＜0，比較(x2＋y2)(x－y)與(x2－y2)(x＋y)的大小．【領(lǐng)悟技法】1.比較大小的常用方法(1)作差法一般步驟：①作差；②變形；③定號(hào)；④結(jié)論．其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式．當(dāng)兩個(gè)式子都為正數(shù)時(shí)，有時(shí)也可以先平方再作差．(2)作商法一般步驟：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④結(jié)論．(3)函數(shù)的單調(diào)性法將要比較的兩個(gè)數(shù)作為一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系．【變式探究】(1)比較x2＋y2＋1與2(x＋y－1)的大??；(2)設(shè)a∈R且a≠0，比較a與eq\f(1,a)的大?。键c(diǎn)三：不等式性質(zhì)的應(yīng)用例3.【多選題】（2021·河北高三二模）若實(shí)數(shù)，滿足，則下列選項(xiàng)中一定成立的有（）A． B． C． D．例4.若a＝eq\f(ln3,3)，b＝eq\f(ln4,4)，c＝eq\f(ln5,5)，則()A．a(chǎn)＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜c例5.設(shè)f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4”，則f(－2)的取值范圍是．【規(guī)律總結(jié)】1．判斷不等式的真假．(1)首先要注意不等式成立的條件，不要弱化條件．(2)解決有關(guān)不等式選擇題時(shí)，也可采用特值法進(jìn)行排除，注意取值要遵循以下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡(jiǎn)單，便于驗(yàn)證計(jì)算．(3)若要判斷某結(jié)論正確，應(yīng)說明理由或進(jìn)行證明，推理過程應(yīng)緊扣有關(guān)定理、性質(zhì)等，若要說明某結(jié)論錯(cuò)誤，只需舉一反例．2．證明不等式(1)要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用．(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推證時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．3．求取值范圍(1)建立待求范圍的代數(shù)式與已知范圍的代數(shù)式的關(guān)系，利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，求得待求的范圍．(2)同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形，如果在解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴(kuò)大其取值范圍．4．掌握各性質(zhì)的條件和結(jié)論．在各性質(zhì)中，乘法性質(zhì)的應(yīng)用最易出錯(cuò)，即在不等式的兩邊同時(shí)乘(除)以一個(gè)數(shù)時(shí)，必須能確定該數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零，否則結(jié)論不確定．【變式探究】已知12<a<60,15<b<36，求a－b及eq\f(a,b)的取值范圍．【易錯(cuò)警示】錯(cuò)用不等式的性質(zhì)致錯(cuò).考點(diǎn)四：一元二次不等式的解法例6.（2020·全國(guó)高考真題（文））已知集合則（）A． B．C． D．【規(guī)律方法】1.解一元二次不等式的一般步驟(1)化：把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式．(2)判：計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式．(3)求：求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程有沒有實(shí)根．(4)寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集．2．含有參數(shù)的不等式的求解，往往需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．(1)若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，首先確定二次項(xiàng)系數(shù)是否為正數(shù)，再考慮分解因式，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，若不易分解因式，則可依據(jù)判別式符號(hào)進(jìn)行分類討論．(2)若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，確定不等式是不是二次不等式，然后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為零的情形，以便確定解集的形式．(3)對(duì)方程的根進(jìn)行討論，比較大小，以便寫出解集．【易錯(cuò)警示】忽視二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)致誤【變式探究】1．（2021·江西九江市·高三三模（文））已知集合，，則（）A． B． C． D．2.（2021·陜西省漢中中學(xué)高三其他模擬（理））已知集合，，則（）A． B．C． D．考點(diǎn)五：絕對(duì)值不等式的解法例7.（2021·浙江高三其他模擬）已知，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件例8.（廣東高考真題（理））不等式的解集為.【規(guī)律方法】形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三種解法：(1)分段討論法：利用絕對(duì)值號(hào)內(nèi)式子對(duì)應(yīng)方程的根，將數(shù)軸分為(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此處設(shè)a<b)三個(gè)部分，在每個(gè)部分上去掉絕對(duì)值號(hào)分別列出對(duì)應(yīng)的不等式求解，然后取各個(gè)不等式解集的并集．(2)幾何法：利用|x－a|＋|x－b|>c(c>0)的幾何意義：數(shù)軸上到點(diǎn)x1＝a和x2＝b的距離之和大于c的全體，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.(3)圖象法：作出函數(shù)y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的圖象，結(jié)合圖象求解．【變式探究】1.（2017天津，文2）設(shè)，則“”是“”的（）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件2.不等式|x?3|?|x+1|<1的解集為_______________．考點(diǎn)六：絕對(duì)值不等式的應(yīng)用如果a，b是實(shí)數(shù)，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號(hào)成立．例9.（2020·陜西省西安中學(xué)高二期中（文））若關(guān)于x的不等式有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．或 B． C． D．【總結(jié)提升】1.兩類含絕對(duì)值不等式的證明問題一類是比較簡(jiǎn)單的不等式，往往可通過平方法、換元法去掉絕對(duì)值符號(hào)轉(zhuǎn)化為常見的不等式證明題，或利用絕對(duì)值三角不等式性質(zhì)定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通過適當(dāng)?shù)奶?、拆?xiàng)證明；另一類是綜合性較強(qiáng)的函數(shù)型含絕對(duì)值的不等式，往往可考慮利用一般情況成立，則特殊情況也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法來(lái)證明．2.含絕對(duì)值不等式的應(yīng)用中的數(shù)學(xué)思想(1)利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；(2)利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．3.求f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|和f(x)＝|x＋a|－|x＋b|的最值的三種方法(1)轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)進(jìn)而利用分段函數(shù)的性質(zhì)求解.(2)利用絕對(duì)值三角不等式進(jìn)行“求解”，但要