平移與旋轉(zhuǎn)中考試題及解析集平移與旋轉(zhuǎn)是初中幾何的重要組成部分，它們不僅是研究圖形變換的基礎(chǔ)，也是解決許多幾何問(wèn)題的有效工具。中考中，這部分內(nèi)容常與三角形、四邊形等知識(shí)結(jié)合，考察學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和動(dòng)手操作能力。下面，我們結(jié)合近年來(lái)的中考典型試題，對(duì)平移與旋轉(zhuǎn)的考點(diǎn)進(jìn)行分析，并給出詳細(xì)的解題思路與方法。一、平移類試題平移的核心特征是“圖形沿某一方向移動(dòng)一定距離，形狀和大小不變，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線平行且相等”。中考對(duì)平移的考察多集中在基本性質(zhì)的應(yīng)用、坐標(biāo)變換以及利用平移解決實(shí)際問(wèn)題。例1：基本性質(zhì)應(yīng)用題目：如圖，將三角形ABC沿射線BC方向平移得到三角形DEF。若BC的長(zhǎng)度為5，EC的長(zhǎng)度為2，求平移的距離。解析：這道題直接考察平移的基本概念。我們知道，平移的距離可以通過(guò)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離來(lái)衡量。在三角形ABC平移得到三角形DEF的過(guò)程中，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)D，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)E。因此，線段BE或線段CF的長(zhǎng)度就是平移的距離。已知BC=5，EC=2，那么BE=BC-EC=5-2=3。所以，平移的距離為3。這里需要注意，要準(zhǔn)確找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，平移方向是沿射線BC，所以點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，還是在線段BC上？題目說(shuō)“沿射線BC方向”，射線BC是從B向C無(wú)限延伸的方向，所以平移后點(diǎn)E應(yīng)該在BC的延長(zhǎng)線上，那么平移距離應(yīng)該是BE=BC+CE嗎？哦，這里我剛才的分析有誤。題目說(shuō)“得到三角形DEF”，通常情況下，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)D，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)E，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)F。這樣才更合理。那么，如果是點(diǎn)B對(duì)應(yīng)E，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)F，那么平移方向是射線BC，所以BE和CF都是平移距離，且相等。此時(shí)BC=5，EC=2，若E在B和C之間，那么BE=BC-EC=5-2=3；若E在C的延長(zhǎng)線上，則BE=BC+CE=5+2=7。但題目圖形未給出，通常這類基礎(chǔ)題，平移距離不會(huì)讓E在延長(zhǎng)線上使得計(jì)算復(fù)雜化，且“EC”這個(gè)表述，若E在延長(zhǎng)線上，一般會(huì)說(shuō)“CE”。所以，更合理的是點(diǎn)B平移到點(diǎn)E，點(diǎn)C平移到點(diǎn)F，E在線段BC上，平移距離BE=BC-EC=3。這里提醒我們，在解決平移問(wèn)題時(shí)，準(zhǔn)確判斷對(duì)應(yīng)點(diǎn)以及平移方向至關(guān)重要，有時(shí)題目中的字母順序本身就暗示了對(duì)應(yīng)關(guān)系。例2：坐標(biāo)變換題目：在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)P(-2,3)沿x軸方向向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿y軸方向向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)Q。求點(diǎn)Q的坐標(biāo)。解析：平面直角坐標(biāo)系中的平移，其坐標(biāo)變化規(guī)律是“右加左減，上加下減”。即：沿x軸向右平移n個(gè)單位，橫坐標(biāo)加n；向左平移n個(gè)單位，橫坐標(biāo)減n。沿y軸向上平移m個(gè)單位，縱坐標(biāo)加m；向下平移m個(gè)單位，縱坐標(biāo)減m。點(diǎn)P(-2,3)向右平移3個(gè)單位，橫坐標(biāo)變?yōu)?2+3=1；再向下平移1個(gè)單位，縱坐標(biāo)變?yōu)?-1=2。因此，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,2)。這類題目關(guān)鍵在于記住平移的坐標(biāo)變換口訣，并準(zhǔn)確應(yīng)用。二、旋轉(zhuǎn)類試題旋轉(zhuǎn)的核心特征是“圖形繞某一點(diǎn)（旋轉(zhuǎn)中心）沿某個(gè)方向（順時(shí)針或逆時(shí)針）轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度（旋轉(zhuǎn)角），形狀和大小不變，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角”。旋轉(zhuǎn)是中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，常涉及旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角的確定，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的應(yīng)用，以及與全等三角形、等腰三角形、四邊形等知識(shí)的綜合。例3：旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)角題目：如圖，將正方形ABCD繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到正方形A'B'C'D'，且點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D。請(qǐng)確定旋轉(zhuǎn)中心，并求出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)。解析：確定旋轉(zhuǎn)中心，通常的方法是：旋轉(zhuǎn)中心是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)。已知點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)D。因此，我們需要分別作出線段AC和線段BD的垂直平分線，它們的交點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心。對(duì)于正方形ABCD，若為常見的頂點(diǎn)順序（A、B、C、D依次排列），則AC和BD是正方形的兩條對(duì)角線。正方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等，因此它們的交點(diǎn)就是正方形的中心O。所以，旋轉(zhuǎn)中心就是正方形ABCD的中心O。接下來(lái)求旋轉(zhuǎn)角。旋轉(zhuǎn)角是對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角，即∠AOC或∠BOD的度數(shù)。在正方形中，對(duì)角線AC和BD相交成90°角。但點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C，是順時(shí)針還是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)呢？若正方形ABCD中，A在左上角，B在右上角，C在右下角，D在左下角（順時(shí)針排列），那么點(diǎn)A（左上）繞中心O旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C（右下），可以是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，也可以是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，因?yàn)?80°的旋轉(zhuǎn)不分順逆。此時(shí)∠AOC為180°。同樣，點(diǎn)B（右上）旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)D（左下），∠BOD也是180°。因此，旋轉(zhuǎn)角為180°。這道題考察了旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角的確定方法，需要學(xué)生熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，并結(jié)合正方形的性質(zhì)進(jìn)行分析。例4：旋轉(zhuǎn)性質(zhì)與全等綜合題目：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將△ACD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCE。連接DE。若CD=3，求DE的長(zhǎng)度。解析：這是一道典型的利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)解決問(wèn)題的題目。首先，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，我們知道旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，即△ACD≌△BCE。因此，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。所以，CD=CE，∠ACD=∠BCE。已知∠ACB=90°，即∠ACD+∠DCB=90°。而∠ACD=∠BCE，所以∠BCE+∠DCB=90°，即∠DCE=90°。又因?yàn)镃D=CE=3（旋轉(zhuǎn)半徑相等），所以△DCE是一個(gè)等腰直角三角形，其中CD=CE=3，∠DCE=90°。根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，斜邊DE的長(zhǎng)度為直角邊長(zhǎng)度的√2倍。因此，DE=CD×√2=3√2。這道題的關(guān)鍵在于通過(guò)旋轉(zhuǎn)得到全等三角形，進(jìn)而得出等腰直角三角形DCE，從而利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出DE的長(zhǎng)度。旋轉(zhuǎn)在這里起到了“轉(zhuǎn)移”線段和角的作用，將分散的條件集中起來(lái)。三、平移與旋轉(zhuǎn)綜合類試題平移和旋轉(zhuǎn)的綜合題往往具有一定的難度，需要學(xué)生靈活運(yùn)用兩種變換的性質(zhì)，結(jié)合其他幾何知識(shí)進(jìn)行求解。例5：平移與旋轉(zhuǎn)在幾何證明中的應(yīng)用題目：已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊上一點(diǎn)（不與B、C重合）。將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC，得到線段AE，連接BE。求證：BE=CD。解析：要證明BE=CD，我們可以考慮通過(guò)證明△ABE≌△ACD來(lái)實(shí)現(xiàn)。已知AB=AC，這是一個(gè)很好的已知條件，說(shuō)明△ABC是等腰三角形。題目中提到“將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC，得到線段AE”。根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，我們有：AD=AE（旋轉(zhuǎn)半徑相等），∠DAE=∠BAC（旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC）?，F(xiàn)在來(lái)看∠BAE和∠CAD的關(guān)系?！螪AE=∠BAC，即∠BAE+∠BAD=∠BAD+∠CAD（因?yàn)椤螧AC=∠BAD+∠CAD，∠DAE=∠BAE+∠BAD，這里假設(shè)點(diǎn)E的位置使得∠BAE和∠CAD是這樣的包含關(guān)系，具體需要結(jié)合圖形想象，通常這種題目是構(gòu)造這樣的角相等關(guān)系）。等式兩邊同時(shí)減去∠BAD，可得∠BAE=∠CAD?，F(xiàn)在，在△ABE和△ACD中：AB=AC（已知）∠BAE=∠CAD（已證）AE=AD（旋轉(zhuǎn)性質(zhì)）根據(jù)“SAS”（邊角邊）全等判定定理，可得△ABE≌△ACD。因此，對(duì)應(yīng)邊BE=CD。這道題巧妙地利用了旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形，核心在于根據(jù)旋轉(zhuǎn)角相等推導(dǎo)出一組對(duì)應(yīng)角（∠BAE和∠CAD）相等，再結(jié)合已知的邊相等，從而證明三角形全等，得出結(jié)論。四、解題策略與方法總結(jié)通過(guò)以上例題的分析，我們可以總結(jié)出解決平移與旋轉(zhuǎn)問(wèn)題的一些通用策略和方法：1.緊扣定義與性質(zhì)：無(wú)論是平移還是旋轉(zhuǎn)，其定義和基本性質(zhì)是解決一切問(wèn)題的基礎(chǔ)。要牢記平移的“三不變”（形狀、大小、方向不變，位置改變）和“對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線平行且相等”；旋轉(zhuǎn)的“三不變”（形狀、大小不變，方向可能改變，位置改變）和“對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線夾角等于旋轉(zhuǎn)角”。2.準(zhǔn)確識(shí)圖與畫圖：對(duì)于幾何變換題，圖形是關(guān)鍵。要能夠根據(jù)題意準(zhǔn)確識(shí)別圖形中的對(duì)應(yīng)元素（對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角），必要時(shí)要學(xué)會(huì)自己畫出變換后的圖形，或者在原圖上標(biāo)出關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)位置，幫助理解題意。3.善用輔助線：在一些復(fù)雜問(wèn)題中，適當(dāng)添加輔助線可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化。例如，在旋轉(zhuǎn)問(wèn)題中，連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心，往往能構(gòu)造出等腰三角形或全等三角形。4.轉(zhuǎn)化思想：平移和旋轉(zhuǎn)都不改變圖形的形狀和大小，這意味著變換前后的圖形是全等的。因此，許多問(wèn)題可以通過(guò)平移或旋轉(zhuǎn)將分散的條件集中到一個(gè)圖形中，或?qū)⒉灰?guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，從而利用全等三角形、特殊三角形（如等腰三角形、直角三角形）、特殊四邊形（如平行四邊形、菱形、正方形）的性質(zhì)來(lái)解決。5.多思多練：圖形變換問(wèn)題的靈活性較強(qiáng)，需要通過(guò)大量練習(xí)來(lái)積累經(jīng)驗(yàn)，熟悉常見的變換模型和解題套路，培養(yǎng)空間