2026屆山東省濟(jì)南市長清區(qū)第五中學(xué)數(shù)學(xué)七上期末檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．已知點(diǎn)O，A，B，C在數(shù)軸上的位置如圖所示，O為原點(diǎn)，BC＝1，OA＝OB．若點(diǎn)C所表示的數(shù)為a，則點(diǎn)A所表示的數(shù)為()A．－a－1 B．－a＋1 C．a(chǎn)＋1 D．a(chǎn)－12．已知方程，則移項(xiàng)正確的是（）A． B．C． D．3．下列說法錯(cuò)誤的是（）A．0.350是精確到0.001的近似數(shù)B．3.80萬是精確到百位的近似數(shù)C．近似數(shù)26.9與26.90表示的意義相同D．近似數(shù)2.20是由數(shù)四會五入得到的，那么數(shù)的取值范圍是4．方程去括號正確的是（）A． B．C． D．5．如圖，AB∥CD，∠A=80°，則∠1的度數(shù)是()A．70° B．100° C．110° D．130°6．一個(gè)容量為72的樣本最大值是125，最小值是50，取組距為10，則可以分成（）A．8組 B．7組 C．6組 D．5組7．某商場將一件玩具按進(jìn)價(jià)提高50%后標(biāo)價(jià)，銷售時(shí)按標(biāo)價(jià)打折銷售，結(jié)果相對于進(jìn)價(jià)仍獲利20%，則這件玩具銷售時(shí)打的折扣是（）A．6折 B．7折 C．8折 D．9折8．如圖，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，則下列等式不成立的是（）A．AD+BD＝AB B．BD﹣CD＝CB C．AB＝2AC D．AD＝AC9．若∠A，∠B互為補(bǔ)角，且∠A＜∠B，則∠A的余角是（）A．（∠A+∠B） B．∠B C．（∠B﹣∠A） D．∠A10．有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=12cm，BC=16cm如圖，現(xiàn)將直角邊AC沿AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則DE等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．14cm二、填空題(本大題共有6小題，每小題3分，共18分)11．下面是用相同的等邊三角形和正方形按一定的規(guī)律擺成的圖案，其中的等邊三角形都涂成黑色．搭成第（1）個(gè)圖案要用4個(gè)等邊三角形；搭成第（2）個(gè)圖案要用7個(gè)等邊三角形；搭成第（3）個(gè)圖案要用10個(gè)等邊三角形……根據(jù)這個(gè)規(guī)律，搭成第（n）個(gè)圖案要用的等邊三角形的個(gè)數(shù)用含n的代數(shù)式表示為_______．12．若與是同類項(xiàng)，則m的值是__________．13．如果21x-14x2+6的值為5，則2x2-3x+4的值為______．14．在括號內(nèi)填上恰當(dāng)?shù)捻?xiàng)：(_____________________)．15．在這四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是_______．16．一只蝴蝶在空中飛行，然后隨意落在如圖所示的某一方格中（每個(gè)方格除顏色外完全相同），則蝴蝶停止在白色方格中的概率是.三、解下列各題(本大題共8小題，共72分)17．（8分）（1）計(jì)算：（2）計(jì)算：（3）18．（8分）如圖，點(diǎn)O是學(xué)校的大門，教師的辦公室A位于點(diǎn)O的北偏東45°，學(xué)生宿舍B位于點(diǎn)O的南偏東30°，（1）請?jiān)趫D中畫出射線OA、射線OB，并計(jì)算∠AOB的度數(shù)；（2）七年級教室C在∠AOB的角平分線上，畫出射線OC，并通過計(jì)算說明七年級教室相對于點(diǎn)O的方位角．19．（8分）如圖是由幾個(gè)大小完全一樣的小正方體搭成的幾何體從上面看得到的圖形，小正方形中的數(shù)字表示在該位置小正方體的個(gè)數(shù)，請你分別畫出從正面看和從左面看該幾何體得到的圖形．20．（8分）如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣7，點(diǎn)B是數(shù)軸上位于點(diǎn)A右側(cè)一點(diǎn)，且AB＝1．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向點(diǎn)B方向勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)為_______；點(diǎn)P表示的數(shù)為_______（用含t的代數(shù)式表示）．（2）動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向點(diǎn)A方向勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)P、點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇后，點(diǎn)P馬上改變方向，與點(diǎn)Q繼續(xù)向點(diǎn)A方向勻速運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P、點(diǎn)Q在運(yùn)動(dòng)過程中，速度始終保持不變）；當(dāng)點(diǎn)P返回到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，P、Q停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①當(dāng)點(diǎn)P返回到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，求t的值，并求出此時(shí)點(diǎn)Q表示的數(shù)．②當(dāng)點(diǎn)P是線段AQ的三等分點(diǎn)時(shí)，求t的值．21．（8分）先化簡下式，再求值：，其中，．22．（10分）一副三角尺按照如圖所示擺放在量角器上，邊與量角器刻度線重合，邊與量角器刻度線重合，將三角尺繞量角器中心點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)邊與刻度線重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)三角尺的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）（1）當(dāng)秒時(shí)，邊經(jīng)過的量角器刻度線對應(yīng)的度數(shù)為_;（2）秒時(shí)，邊平分;（3）若在三角尺開始旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，三角尺也繞點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)三角尺停止旋轉(zhuǎn)時(shí)，三角尺也停止旋轉(zhuǎn)，①當(dāng)為何值時(shí)，邊平分;②在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得.若存在，請求出的值;若不存在，請說明理由.23．（10分）（1）如圖1，在四邊形中，，，、分別是邊、上的點(diǎn)，若，可求得、、之間的數(shù)量關(guān)系為______．（只思考解題思路，完成填空即可，不必書寫證明過程）（2）如圖2，在四邊形中，，，、分別是邊、延長線上的點(diǎn)，若，判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系還成立嗎，若成立，請完成證明，若不成立，請說明理由．（可借鑒第（1）問的解題經(jīng)驗(yàn)）24．（12分）數(shù)學(xué)問題：計(jì)算（其中m，n都是正整數(shù)，且m≥2，n≥1）．探究問題：為解決上面的數(shù)學(xué)問題，我們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過不斷地分割一個(gè)面積為1的正方形，把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，并采取一般問題特殊化的策略來進(jìn)行探究．探究一：計(jì)算．第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為；第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，陰影部分的面積之和為+；第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，…；…第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和為+++…+，最后空白部分的面積是．根據(jù)第n次分割圖可得等式：+++…+=1﹣．探究二：計(jì)算+++…+．第1次分割，把正方形的面積三等分，其中陰影部分的面積為；第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，陰影部分的面積之和為+；第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，…；…第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后三等分，所有陰影部分的面積之和為+++…+，最后空白部分的面積是．根據(jù)第n次分割圖可得等式：+++…+=1﹣，兩邊同除以2，得+++…+=﹣．探究三：計(jì)算+++…+．（仿照上述方法，只畫出第n次分割圖，在圖上標(biāo)注陰影部分面積，并寫出探究過程）解決問題：計(jì)算+++…+．（只需畫出第n次分割圖，在圖上標(biāo)注陰影部分面積，并完成以下填空）根據(jù)第n次分割圖可得等式：_________，所以，+++…+=________．拓廣應(yīng)用：計(jì)算+++…+．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、A【分析】根據(jù)求出C的坐標(biāo)和B的坐標(biāo)，再根據(jù)等式“OA=OB”即可求出答案.【詳解】∵點(diǎn)C所表示的數(shù)為a∴C的坐標(biāo)為a又BC=1∴B的坐標(biāo)a+1又∵OA=OB∴A的坐標(biāo)為-a-1故答案選擇A.【點(diǎn)睛】本題考查的是點(diǎn)在數(shù)軸上的表示，注意原點(diǎn)左邊的數(shù)為負(fù)，原點(diǎn)右邊的數(shù)為正.2、D【分析】根據(jù)移項(xiàng)要變號，分析判斷即可得解．【詳解】解：∵，∴；故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程，注意移項(xiàng)要變號．解題的關(guān)鍵是熟練掌握移項(xiàng)的運(yùn)算法則.3、C【分析】根據(jù)近似數(shù)的精確度對各項(xiàng)進(jìn)行判斷選擇即可.【詳解】A.0.350是精確到0.001的近似數(shù)，正確；B.3.80萬是精確到百位的近似數(shù)，正確；C.近似數(shù)26.9精確到十分位，26.90精確到百分位，表示的意義不相同，所以錯(cuò)誤；D.近似數(shù)2.20是由數(shù)四會五入得到的，那么數(shù)的取值范圍是，正確；綜上，選C.【點(diǎn)睛】本題考查了近似數(shù)，精確到第幾位是精確度常用的表示形式，熟知此知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.4、D【分析】去括號時(shí)，一是注意不要漏乘括號內(nèi)的項(xiàng)，二是明確括號前的符號.當(dāng)括號前是“+”號時(shí)，去掉括號和前面的“+”號，括號內(nèi)各項(xiàng)的符號都不變號；當(dāng)括號前是“-”號時(shí)，去掉括號和前面的“-”號，括號內(nèi)各項(xiàng)的符號都要變號.【詳解】∵，∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解法，熟練掌握一元一次方程的解題步驟是解答本題的關(guān)鍵.5、B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可；【詳解】如圖所示，∵AB∥CD，∴，又∵∠A=80°，∴，又∵與是對頂角，∴．故答案選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)應(yīng)用，準(zhǔn)確理解對頂角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6、A【分析】求出最大值和最小值的差，然后除以組距，用進(jìn)一法取整數(shù)值就是組數(shù)．【詳解】解：在樣本數(shù)據(jù)中最大值為125，最小值是50，它們的差是125-50=75，已知組距為10，那么由于75÷10=7.5，故可以分成8組．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布表中組數(shù)的確定，關(guān)鍵是求出最大值和最小值的差，然后除以組距，用進(jìn)一法取整數(shù)值就是組數(shù)．7、C【分析】設(shè)這件玩具的進(jìn)價(jià)為a元，標(biāo)價(jià)為a(1+50%)元，再設(shè)打了x折，再由打折銷售仍獲利20%，可得出方程，解出即可．【詳解】解：設(shè)這件玩具的進(jìn)價(jià)為a元，打了x折，依題意有

a(1+50%)×?a=20%a，

解得：x=1．

答：這件玩具銷售時(shí)打的折扣是1折．

故選C．【點(diǎn)睛】此題考查一元一次方程的實(shí)際運(yùn)用，掌握銷售問題中的基本數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．8、C【分析】根據(jù)圖形和題意可以分別判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確．【詳解】解：由圖可得，AD+BD＝AB，故選項(xiàng)A中的結(jié)論成立，BD﹣CD＝CB，故選項(xiàng)B中的結(jié)論成立，∵點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，∴AB不一定時(shí)AC的二倍，故選項(xiàng)C中的結(jié)論不成立，∵D是線段AC的中點(diǎn)，∴，故選項(xiàng)D中的結(jié)論成立，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間的距離，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．9、C【解析】由題意得：∠A+∠B=180°，90°=（∠A+∠B），90°－∠A=（∠A+∠B）－∠A=（∠B－∠A）.故選C.點(diǎn)睛：本題主要在將90°用∠A和∠B來表示.10、A【解析】先根據(jù)勾股定理求得AB的長，再根據(jù)折疊的性質(zhì)求得AE，BE的長，從而利用勾股定理可求得DE的長．【詳解】解：∵AC=12cm，BC=16cm，∴AB=20cm，∵AE=12cm（折疊的性質(zhì)），∴BE=8cm，設(shè)CD=DE=x，則在Rt△DEB中，解得x=6，即DE等于6cm．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），以及利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．二、填空題(本大題共有6小題，每小題3分，共18分)11、3n＋1【分析】由題意可知：第（1）個(gè)圖案有3+1=4個(gè)三角形，第（2）個(gè)圖案有3×2+1=7個(gè)三角形，第（3）個(gè)圖案有3×3+1=10個(gè)三角形，…依此規(guī)律，可得第n個(gè)圖案的三角形的數(shù)量．【詳解】解：∵第（1）個(gè)圖案有3+1=4個(gè)三角形，第（2）個(gè)圖案有3×2+1=7個(gè)三角形，第（3）個(gè)圖案有3×3+1=10個(gè)三角形，…∴第n個(gè)圖案有（3n+1）個(gè)三角形．故答案為：3n+1．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)律解答是解題的關(guān)鍵．12、1【分析】由同類項(xiàng)的概念可得：的指數(shù)相同，從而可得答案．【詳解】解：與是同類項(xiàng)，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是同類項(xiàng)的概念，掌握同類項(xiàng)的概念是解題的關(guān)鍵．13、【分析】先根據(jù)已知條件，求出的值，然后將其整體代入所求的代數(shù)式中進(jìn)行求解．【詳解】解：21x-14x2+6的值為5，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值的方法和正確運(yùn)算的能力，掌握整體代入的數(shù)學(xué)思想是解題的關(guān)鍵．14、【分析】根據(jù)添括號的法則解答．【詳解】解：．

故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了去括號與添括號，添括號法則：添括號時(shí)，如果括號前面是正號，括到括號里的各項(xiàng)都不變號，如果括號前面是負(fù)號，括號括號里的各項(xiàng)都改變符號．添括號與去括號可互相檢驗(yàn)．15、-2【分析】根據(jù)正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小比較即可．【詳解】∵-2＜-1＜0＜2＜5，∴最小的數(shù)是-2.故答案為：-2.【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的大小比較，熟練掌握有理數(shù)的大小比較方法是解答本題的關(guān)鍵.16、【解析】試題分析：概率的求法：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)的比值.解：由圖可得蝴蝶停止在白色方格中的概率.考點(diǎn)：概率的求法點(diǎn)評：本題屬于基礎(chǔ)應(yīng)用題，只需學(xué)生熟練掌握概率的求法，即可完成.三、解下列各題(本大題共8小題，共72分)17、(1)-30；(2)-3.5；(3)-4【分析】(1)根據(jù)加法結(jié)合律和交換律即可得到結(jié)果；(2)根據(jù)含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算即可得到結(jié)果；(3)根據(jù)解一元一次方程的步驟即可得到結(jié)果．【詳解】解：(1)原式=13+47-（56+34）=60-90=-30；(2)原式=-1×3+4÷（-8）=-3-0.5=-3.5；(3)【點(diǎn)睛】本題主要考查的是含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算以及解一元一次方程，掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．18、（1）畫圖見解析，105°；（2）南偏東82.5°處.【分析】（1）根據(jù)方位角的確定方法畫圖即可；再利用平角減去∠AOM、∠NOB即可得到答案；（2）根據(jù)角平分線的畫法畫出OC，利用角平分線的性質(zhì)計(jì)算角度.【詳解】(1)（畫出OA、OB）由題知：∠AOM=45°,∠NOB=30°，∴∠AOB=180°-45°-30°=105°；(2)（畫出OC）由（1）知：∠AOB=105°∵OC平分∠AOB，∴∠BOC=∠AOB=52.5°，∴∠NOC=∠NOB+∠BOC=30°+52.5°=82.5°，∴七年級教室位于O點(diǎn)南偏東82.5°處.【點(diǎn)睛】此題考查方位角的計(jì)算，角平分線的性質(zhì)，方位角的畫法，正確畫出方位角是解題的關(guān)鍵，由此依據(jù)圖形中角的關(guān)鍵進(jìn)行計(jì)算.19、詳見解析【分析】由已知條件可知，從正面看有3列，每列小正方數(shù)形數(shù)目分別為3，1，1，從左面看有1列，每列小正方形數(shù)目分別為3，1．據(jù)此可畫出圖形．【詳解】解：從正面看，如下：從左面看，如下：【點(diǎn)睛】考查幾何體的三視圖畫法．由幾何體的俯視圖及小正方形內(nèi)的數(shù)字，可知主視圖的列數(shù)與俯視數(shù)的列數(shù)相同，且每列小正方形數(shù)目為俯視圖中該列小正方形數(shù)字中的最大數(shù)字．左視圖的列數(shù)與俯視圖的行數(shù)相同，且每列小正方形數(shù)目為俯視圖中相應(yīng)行中正方形數(shù)字中的最大數(shù)字．20、（1）23，-7+3t；（2）①t＝12；②t=，，，秒．【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離求解可得；

（2）①根據(jù)重合前兩者的路程和等于AB的長度列方程求解可得；

②分點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇前和相遇后，依據(jù)點(diǎn)P是線段AQ的三等分點(diǎn)線段間的數(shù)量關(guān)系，并據(jù)此列出方程求解可得．【詳解】解：（1）由題意知，點(diǎn)B表示的數(shù)是-7+1=23，點(diǎn)P表示的數(shù)是-7+3t．（2）①根據(jù)題意，得：（3+2）t＝1，解得：t＝6，由題意得，點(diǎn)P返回點(diǎn)A的時(shí)間也是6秒，∴點(diǎn)P從出發(fā)到返回A點(diǎn)所需時(shí)間為12秒，即點(diǎn)Q共運(yùn)動(dòng)12秒，∴23-24=-1答：當(dāng)t＝12時(shí)，點(diǎn)P返回點(diǎn)A，此時(shí)點(diǎn)Q表示的數(shù)為-1；②P與Q相遇前：當(dāng)時(shí)，即解得，當(dāng)時(shí)，即解得，P與Q相遇后：當(dāng)時(shí)，即解得，當(dāng)時(shí)，即解得，綜上所述，當(dāng)t=，，，秒時(shí)，點(diǎn)P是線段AQ的三等分點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，以及一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握各自的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21、，1．【分析】根據(jù)整式的加減運(yùn)算法則化簡，再將x，y的值代入求解即可．【詳解】解：原式=當(dāng)，時(shí)原式【點(diǎn)睛】本題考查了整式加減運(yùn)算的化簡求值問題，解題的關(guān)鍵是熟悉整式加減運(yùn)算法則．22、（1）115°；（2）26.25；（3）①21秒，②秒或秒【分析】（1）秒時(shí)，邊經(jīng)過量角器刻度對應(yīng)的度數(shù)是，由由旋轉(zhuǎn)知，，進(jìn)而即可得到答案；（2）由旋轉(zhuǎn)知，旋轉(zhuǎn)角為度，根據(jù)題意，列出關(guān)于t的方程，即可求解；（3）①類似（2）題方法，列出關(guān)于t的方程，即可求解；②分兩種情況：當(dāng)邊在邊左側(cè)時(shí)，當(dāng)邊在邊右側(cè)時(shí)，用含t的代數(shù)式分別表示出與，進(jìn)而列出方程，即可求解．【詳解】當(dāng)秒時(shí)，由旋轉(zhuǎn)知，，是等腰直角三角形，，即：秒時(shí)，邊經(jīng)過量角器刻度對應(yīng)的度數(shù)是，旋轉(zhuǎn)秒時(shí)，邊經(jīng)過量角器刻度對應(yīng)的度數(shù)是，故答案為：；由旋轉(zhuǎn)知，旋轉(zhuǎn)角為度，邊平分且，，解得：，故答案為:；①同的方法得：，解得：；②當(dāng)邊在邊左側(cè)時(shí)，由旋轉(zhuǎn)知，，，，，解得：，當(dāng)邊在邊右側(cè)時(shí)，由旋轉(zhuǎn)知，，或，，或，解得：(不合題意舍去)或，綜上所述：秒或秒時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程與角的和差倍分關(guān)系的綜合，根據(jù)等量關(guān)系，列出一元一次方程，是解題的關(guān)鍵．23、（1）EF=BE+DF；（2）不成立，證明見解析．【分析】（1）延長CB至M，使BM=DF，證明△ABM≌△ADF，再證明△EAH≌△EAF，可得出結(jié)論；

（2）在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．證明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF，即可得出EF=BE-FD．【詳解】（1）EF=BE+DF；

如圖，延長CB至M，使BM=DF，

∵∠ABC=∠D=90°，

∴∠1=∠D，

在△ABM與△ADF中，，

∴△ABM≌△ADF（SAS）．

∴AF=AM，∠2=∠3，∵，∴∠2+∠4=∠BAD=∠EAF，∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF．

在△AME與△AFE中，，∴△