2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)表現(xiàn)性評(píng)價(jià)試卷一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用（30分）（一）問(wèn)題情境某科技公司研發(fā)的智能溫控系統(tǒng)需根據(jù)環(huán)境溫度變化動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)散熱功率。已知實(shí)驗(yàn)室測(cè)得溫度函數(shù)模型為(f(x)=x^3-6x^2+9x+c)（(x)為時(shí)間，單位：小時(shí)，(x\in[0,6])；(f(x))為溫度，單位：℃），其中(c)為初始環(huán)境溫度參數(shù)。參數(shù)確定若當(dāng)(x=2)時(shí)系統(tǒng)記錄到最高溫度12℃，求(c)的值，并寫(xiě)出函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間。（提示：需通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷極值點(diǎn)與單調(diào)性）實(shí)際應(yīng)用散熱功率(P(x))（單位：W）與溫度變化率的關(guān)系為(P(x)=2|f'(x)|)。當(dāng)(P(x)>10)時(shí)系統(tǒng)需啟動(dòng)強(qiáng)散熱模式，求(x\in[0,6])內(nèi)強(qiáng)散熱模式的運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)。優(yōu)化設(shè)計(jì)工程師提出修改模型為(g(x)=f(x)+k\sin\left(\frac{\pix}{3}\right))，若要求(x=3)時(shí)溫度變化率為0，求(k)的值，并分析該修改對(duì)函數(shù)凹凸性的影響（需計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)說(shuō)明）。（二）開(kāi)放性任務(wù)結(jié)合上述問(wèn)題，設(shè)計(jì)一個(gè)具體的實(shí)驗(yàn)方案驗(yàn)證溫度函數(shù)模型的準(zhǔn)確性，要求包含：至少3個(gè)關(guān)鍵測(cè)量時(shí)間點(diǎn)的選擇依據(jù)數(shù)據(jù)誤差分析的數(shù)學(xué)方法（如殘差平方和計(jì)算）用函數(shù)圖像描述模型改進(jìn)前后的溫度變化趨勢(shì)差異二、立體幾何與空間向量（25分）（一）空間幾何體構(gòu)建如圖1（虛擬示意圖），直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)為(BC)中點(diǎn)，(E)為(A_1C_1)上一點(diǎn)且(C_1E=\frac{1}{3}A_1C_1)?？臻g向量表示以(A)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)(D)、(E)的坐標(biāo)，并計(jì)算向量(\overrightarrow{DE})與(\overrightarrow{BC_1})的夾角余弦值。位置關(guān)系證明求證：直線(xiàn)(DE\perp)平面(A_1BD)，并求出點(diǎn)(E)到平面(A_1BD)的距離。體積計(jì)算若在三棱柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，求該點(diǎn)落在三棱錐(E-A_1BD)內(nèi)的概率（需用體積比計(jì)算幾何概型）。（二）跨學(xué)科拓展聯(lián)系物理學(xué)中“重心”概念，若上述三棱柱材質(zhì)均勻，用空間向量方法求出其重心坐標(biāo)（提示：可將幾何體分解為簡(jiǎn)單三棱錐）。三、概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)分析（25分）（一）數(shù)據(jù)處理某中學(xué)為研究學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)與成績(jī)的相關(guān)性，隨機(jī)抽取50名高三學(xué)生的周均學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)(t)（單位：小時(shí)）和模擬考試成績(jī)(s)（單位：分），部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)區(qū)間[5,10)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30]人數(shù)61218104成績(jī)均值7278858279統(tǒng)計(jì)描述繪制學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)的頻率分布直方圖（要求寫(xiě)出組距、縱坐標(biāo)刻度值）；計(jì)算樣本的平均學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)（精確到0.1小時(shí)）?；貧w分析另測(cè)得5名學(xué)生的具體數(shù)據(jù)如下：|(t)|12|16|18|22|26||--------|----|----|----|----|----||(s)|76|83|88|80|77|請(qǐng)建立(s)關(guān)于(t)的線(xiàn)性回歸方程(\hat{s}=\hat{a}t+\hat)，并預(yù)測(cè)周均學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)24小時(shí)的學(xué)生成績(jī)（(\hat{a})、(\hat)保留兩位小數(shù)）。（參考公式：(\hat{a}=\frac{\sum_{i=1}^n(t_i-\bar{t})(s_i-\bar{s})}{\sum_{i=1}^n(t_i-\bar{t})^2})，(\hat=\bar{s}-\hat{a}\bar{t})）模型檢驗(yàn)用相關(guān)系數(shù)(r)判斷線(xiàn)性相關(guān)性強(qiáng)弱（計(jì)算結(jié)果保留三位小數(shù)），并解釋(r^2=0.68)的實(shí)際意義。（參考數(shù)據(jù)：(\sum(t_i-\bar{t})^2=120)，(\sum(s_i-\bar{s})^2=140)，(\sum(t_i-\bar{t})(s_i-\bar{s})=-36)）（二）決策問(wèn)題若該校計(jì)劃根據(jù)學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)制定分層輔導(dǎo)方案，要求：成績(jī)85分以上學(xué)生納入“培優(yōu)組”，不足70分納入“基礎(chǔ)組”；用獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷“學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)≥20小時(shí)”與“成績(jī)≥85分”是否獨(dú)立（需寫(xiě)出(2\times2)列聯(lián)表及卡方值計(jì)算過(guò)程，臨界值(\chi^2_{0.05}=3.841)）。四、解析幾何與創(chuàng)新應(yīng)用（20分）（一）問(wèn)題探究在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過(guò)點(diǎn)((2,1))。方程求解求橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出以橢圓右焦點(diǎn)為圓心、與橢圓相切的圓的方程。動(dòng)態(tài)問(wèn)題過(guò)點(diǎn)(P(4,0))的直線(xiàn)(l)與橢圓交于(A,B)兩點(diǎn)，(M)為線(xiàn)段(AB)的中點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)(l)的斜率變化時(shí)，求點(diǎn)(M)的軌跡方程（需說(shuō)明軌跡的形狀與范圍）。（二）項(xiàng)目設(shè)計(jì)以“橢圓光學(xué)性質(zhì)”為主題，完成以下任務(wù)：用解析幾何方法證明：從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)經(jīng)橢圓反射后必經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)（需寫(xiě)出已知、求證、證明過(guò)程）；設(shè)計(jì)一個(gè)基于橢圓性質(zhì)的應(yīng)用模型（如光學(xué)儀器、建筑結(jié)構(gòu)等），并說(shuō)明其數(shù)學(xué)原理。五、附加題：數(shù)學(xué)建模綜合實(shí)踐（20分）問(wèn)題背景城市共享單車(chē)調(diào)度系統(tǒng)需解決“潮汐現(xiàn)象”導(dǎo)致的區(qū)域供需失衡問(wèn)題。某區(qū)域有A、B兩個(gè)站點(diǎn)，早高峰（7:00-9:00）期間：A站用戶(hù)租車(chē)率(r_A(t)=0.1t)（(t)為分鐘，(t\in[0,120])），還車(chē)率(0.05t)；B站用戶(hù)租車(chē)率(r_B(t)=0.08t)，還車(chē)率(0.12t)；初始時(shí)刻兩站各有100輛單車(chē)。任務(wù)要求建立兩站點(diǎn)單車(chē)數(shù)量(N_A(t))、(N_B(t))的微分方程模型（無(wú)需求解，需說(shuō)明建模依據(jù)）；若調(diào)度車(chē)可在兩站間轉(zhuǎn)運(yùn)單車(chē)，轉(zhuǎn)運(yùn)成本與轉(zhuǎn)運(yùn)量(