2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)動機激發(fā)測試試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）情境題：某科技公司研發(fā)的AI學(xué)習(xí)助手可通過分析學(xué)生做題數(shù)據(jù)預(yù)測數(shù)學(xué)成績。若學(xué)生在三角函數(shù)模塊的正確率(x)（單位：%）與預(yù)測成績(y)（單位：分）滿足函數(shù)關(guān)系(y=0.8x+20)，則正確率從60%提升至80%時，預(yù)測成績提高了（）A.12分B.16分C.20分D.24分邏輯推理題：甲、乙、丙三名同學(xué)在數(shù)學(xué)競賽中獲得前三名（無并列），甲說：“我不是第一名”，乙說：“丙是第一名”，丙說：“乙不是第二名”。若三人中只有一人說真話，則第一名是（）A.甲B.乙C.丙D.無法確定動態(tài)圖形題：在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線(y=x^2-2x+3)繞其頂點順時針旋轉(zhuǎn)(180^\circ)，得到的新拋物線解析式為（）A.(y=-x^2-2x+1)B.(y=-x^2+2x+1)C.(y=-x^2-2x+5)D.(y=-x^2+2x+5)實際應(yīng)用題：某學(xué)校為優(yōu)化課表，需將5節(jié)不同的數(shù)學(xué)選修課安排在周一至周五的5個時間段，要求“統(tǒng)計與概率”不能安排在第一節(jié)，“數(shù)學(xué)建?！辈荒馨才旁谧詈笠还?jié)，則不同的排課方案有（）A.78種B.96種C.108種D.120種跨學(xué)科融合題：物理學(xué)中，單擺的周期(T)（單位：秒）與擺長(l)（單位：米）的關(guān)系為(T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}})（其中(g\approx9.8,\text{m/s}^2)）。若擺長從1米增加到1.21米，則周期增加了約（）A.0.1秒B.0.2秒C.0.3秒D.0.4秒函數(shù)性質(zhì)題：已知函數(shù)(f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{x^2+1})，則下列說法正確的是（）A.(f(x))是偶函數(shù)，且在((0,+\infty))上單調(diào)遞減B.(f(x))是奇函數(shù)，且在((0,+\infty))上單調(diào)遞增C.(f(x))是非奇非偶函數(shù)，且在((-\infty,0))上單調(diào)遞減D.(f(x))是奇函數(shù)，且在((-\infty,0))上單調(diào)遞增幾何探究題：在棱長為2的正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，點(E)為棱(BB_1)的中點，點(F)為底面(A_1B_1C_1D_1)內(nèi)一動點，且滿足(AF\perpD_1E)，則點(F)的軌跡長度為（）A.(\sqrt{2})B.(2)C.(2\sqrt{2})D.(4)數(shù)據(jù)分析題：某班級10名學(xué)生的數(shù)學(xué)月考成績（單位：分）如下：85，92，78，90，88，95，85，89，91，86。則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（）A.89B.90C.90.5D.91創(chuàng)新定義題：定義“關(guān)聯(lián)函數(shù)”：對于函數(shù)(f(x))和(g(x))，若存在常數(shù)(a,b)，使得(f(x)=ag(x)+b)對定義域內(nèi)任意(x)成立，則稱(f(x))與(g(x))關(guān)聯(lián)。下列函數(shù)中，與(f(x)=\log_2x)關(guān)聯(lián)的是（）A.(g(x)=\log_{\frac{1}{2}}x)B.(g(x)=\log_2(x+1))C.(g(x)=2^x)D.(g(x)=\log_2x^2)不等式應(yīng)用：若正數(shù)(a,b)滿足(a+2b=3)，則(\frac{1}{a}+\frac{1})的最小值為（）A.(1+\frac{2\sqrt{2}}{3})B.(1+\frac{\sqrt{2}}{3})C.(2+\frac{2\sqrt{2}}{3})D.(2+\frac{\sqrt{2}}{3})復(fù)數(shù)幾何意義：在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(z_1=1+i)，(z_2=3-i)，若復(fù)數(shù)(z)滿足(|z-z_1|=|z-z_2|)，則(z)對應(yīng)的點的軌跡是（）A.直線B.圓C.橢圓D.雙曲線極限思想題：已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n})，則(\lim_{n\to\infty}(a_1+a_2+\cdots+a_n))的值為（）A.1B.2C.(+\infty)D.不存在二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）開放探究題：寫出一個同時滿足以下條件的函數(shù)解析式：①定義域為(\mathbf{R})；②是奇函數(shù)；③圖像過點((1,1))：__________。概率計算：在一個不透明的袋子中裝有3個紅球和2個白球，每次從中隨機摸出1個球并放回，連續(xù)摸3次，則至少摸到2個紅球的概率為__________。立體幾何：已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為6的半圓，則該圓錐的體積為__________。數(shù)列創(chuàng)新題：定義“等比差數(shù)列”：若數(shù)列({a_n})中，從第二項起，每一項與前一項的差成等比數(shù)列，則稱其為等比差數(shù)列。若等比差數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_2=2)，(a_3=5)，則(a_4=)__________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）三角函數(shù)與解三角形（10分）某研學(xué)小組在測量一座山的高度時，在山腳(A)處測得山頂(B)的仰角為(30^\circ)，沿坡度(i=1:\sqrt{3})的斜坡前進1000米到達點(C)，在點(C)處測得山頂(B)的仰角為(60^\circ)（如圖）。求山的高度(BD)（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：(\sqrt{3}\approx1.732)）。函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（12分）已知函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\in\mathbf{R})）。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若(f(x))在(x=1)處取得極值，且對任意(x\geq1)，(f(x)\geqm(x-1))恒成立，求實數(shù)(m)的取值范圍。數(shù)列與不等式（12分）已知數(shù)列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，且滿足(S_n=2a_n-n)（(n\in\mathbf{N}^*)）。（1）求數(shù)列({a_n})的通項公式；（2）設(shè)(b_n=\frac{a_n+1}{a_na_{n+1}})，數(shù)列({b_n})的前(n)項和為(T_n)，證明：(T_n<\frac{1}{2})。立體幾何（12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，點(D,E)分別為棱(BC,B_1C_1)的中點。（1）求證：(A_1E\parallel)平面(ADC_1)；（2）求二面角(A-DC_1-C)的余弦值。解析幾何（12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點(P(2,1))。（1）求橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(Q(1,0))的直線(l)與橢圓(C)交于(M,N)兩點，設(shè)(O)為坐標(biāo)原點，是否存在直線(l)，使得(\angleMON=90^\circ)？若存在，求出直線(l)的方程；若不存在，說明理由。數(shù)學(xué)建模與創(chuàng)新（12分）為響應(yīng)“雙碳”政策，某工廠需優(yōu)化碳排放管理。已知該工廠每月的碳排放量(C)（單位：噸）與生產(chǎn)投入(x)（單位：萬元）的關(guān)系為(C(x)=\frac{100}{x}+0.1x+5)（(x\geq10)）。（1）當(dāng)生產(chǎn)投入為多少萬元時，碳排放量最低？最低排放量是多少？（2）若每噸碳排放需繳納2萬元稅費，且每月生產(chǎn)投入不超過50萬元，求該工廠每月因碳排放產(chǎn)生的總費用（含稅費）的最小值。（全卷共150分，考試時間120分鐘）設(shè)計說明：動機激發(fā)導(dǎo)向：題目融入科技、生活、跨學(xué)科等情境，如AI預(yù)測成績、單擺