2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)黑龍江版試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）已知集合A={x|sinx=0}，B={x|x2-2x-3≤0}，則A∩B=（）A.{-π,0,π}B.{-1,0,3}C.{0}D.{-π,0}下列命題中正確的是（）A.若向量a·b=0，則a=0或b=0B.|a+b|≥|a-b|C.若a與b共線，則存在唯一實數(shù)λ，使b=λaD.若|a|=|b|，則a=b或a=-b復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i，則|z|=（）A.1B.√2C.2D.2√2函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期和對稱軸方程分別是（）A.π，x=kπ/2+π/12(k∈Z)B.2π，x=kπ+π/12(k∈Z)C.π，x=kπ+π/12(k∈Z)D.2π，x=kπ/2+π/12(k∈Z)在正方體ABCD-A?B?C?D?中，異面直線AC與B?D所成角的大小是（）A.30°B.45°C.60°D.90°已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，若a⊥(a-b)，則m=（）A.3B.4C.5D.6已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，則tan(α+π/4)=（）A.-7B.-1/7C.1/7D.7某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）A.12πcm3B.16πcm3C.20πcm3D.24πcm3已知復(fù)數(shù)z?=2+i，z?=1-2i，則z=z?·z?在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=2，b=3，C=60°，則c=（）A.√7B.√13C.3D.√19函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π/2)的部分圖象如圖所示，則f(x)的解析式是（）A.f(x)=2sin(2x+π/3)B.f(x)=2sin(2x-π/3)C.f(x)=2sin(x+π/3)D.f(x)=2sin(x-π/3)在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積是（）A.8πB.12πC.16πD.20π二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知向量a=(2,3)，b=(-1,2)，則a·b=________。函數(shù)f(x)=sinx+cosx的最大值是________。已知復(fù)數(shù)z滿足z+|z|=2+i，則z=________。在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=3，b=4，c=5，則sinA=________。三、解答題（本大題共6小題，共70分）（本小題滿分10分）已知集合A={x|x2-3x+2<0}，B={x|2x-3>0}，求A∩B和A∪B。（本小題滿分12分）已知向量a=(cosα,sinα)，b=(cosβ,sinβ)，且a與b的夾角為60°。（1）求a·b的值；（2）若c=a+2b，d=2a-b，求c·d。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=sin2x+√3sinxcosx+2cos2x。（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在區(qū)間[0,π/2]上的最大值和最小值。（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABC-A?B?C?中，AC=BC=AA?=2，∠ACB=90°，D是A?B?的中點。（1）求證：CD⊥平面A?ABB?；（2）求直線BC?與平面A?ABB?所成角的正弦值。（本小題滿分12分）已知復(fù)數(shù)z?=1+i，z?=3-4i。（1）求z?/z?；（2）若復(fù)數(shù)z滿足|z-z?|=|z-z?|，求|z|的最小值。（本小題滿分12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足acosC+ccosA=2bcosB。（1）求角B的大?。唬?）若b=√3，求△ABC面積的最大值。參考答案及評分標準一、選擇題（每小題5分，共60分）C2.C3.B4.A5.D6.C7.B8.B9.A10.A11.B12.B二、填空題（每小題5分，共20分）414.√215.3/4+i16.3/5三、解答題（共70分）解：由x2-3x+2<0，得1<x<2，所以A=(1,2)。（3分）由2x-3>0，得x>3/2，所以B=(3/2,+∞)。（6分）因此，A∩B=(3/2,2)，A∪B=(1,+∞)。（10分）解：（1）因為|a|=|b|=1，〈a,b〉=60°，所以a·b=|a||b|cos60°=1×1×1/2=1/2。（5分）（2）c·d=(a+2b)·(2a-b)=2a2+3a·b-2b2=2|a|2+3a·b-2|b|2=2×1+3×1/2-2×1=3/2。（12分）解：（1）f(x)=sin2x+√3sinxcosx+2cos2x=1+cos2x+√3/2sin2x=1+(1+cos2x)/2+√3/2sin2x=3/2+sin(2x+π/6)。（5分）所以f(x)的最小正周期T=2π/2=π。（7分）（2）因為x∈[0,π/2]，所以2x+π/6∈[π/6,7π/6]。（9分）當2x+π/6=π/2，即x=π/6時，f(x)取得最大值3/2+1=5/2；（10分）當2x+π/6=7π/6，即x=π/2時，f(x)取得最小值3/2-1/2=1。（12分）（1）證明：因為AC=BC，D是A?B?的中點，所以CD⊥A?B?。（3分）又因為ABC-A?B?C?是直三棱柱，所以AA?⊥平面A?B?C?，而CD?平面A?B?C?，所以AA?⊥CD。（5分）因為A?B?∩AA?=A?，所以CD⊥平面A?ABB?。（6分）（2）解：由（1）知CD⊥平面A?ABB?，所以∠C?BD是直線BC?與平面A?ABB?所成的角。（8分）在Rt△C?BD中，C?D=1，BC?=√(BC2+CC?2)=√(22+22)=2√2。（10分）所以sin∠C?BD=C?D/BC?=1/(2√2)=√2/4。（12分）解：（1）z?/z?=(1+i)/(3-4i)=(1+i)(3+4i)/[(3-4i)(3+4i)]=(3+4i+3i+4i2)/(9+16)=(-1+7i)/25=-1/25+7/25i。（6分）（2）設(shè)z=x+yi(x,y∈R)，則|z-z?|=√[(x-1)2+(y-1)2]，|z-z?|=√[(x-3)2+(y+4)2]。（8分）由|z-z?|=|z-z?|，得(x-1)2+(y-1)2=(x-3)2+(y+4)2，化簡得4x-10y-15=0。（10分）|z|=√(x2+y2)的最小值即為原點到直線4x-10y-15=0的距離，所以|z|min=|0-0-15|/√(16+100)=15/√116=15√29/58。（12分）解：（1）由正弦定理得sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB，即sin(A+C)=2sinBcosB。（3分）因為A+B+C=π，所以sin(A+C)=sinB，所以sinB=2sinBcosB。（5分）因為sinB≠0，所以cosB=1/2，又B∈(0,π)，所以B=π/3。（6分）（2）由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，即3=a2+c2-ac。（8分）因為a2+c2≥2ac，所以3=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac，即ac≤3，當且僅當a=c=√3時取等號。（10分）所以△ABC的面積S=1/2acsinB=1/2acsinπ/3=√3/4ac≤√3/4×3=3√3/4。（12分）命題說明本試卷嚴格依據(jù)《2025年高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》和黑龍江省高中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容命題，主要考查三角函數(shù)、平面向量、復(fù)數(shù)、立體幾何等章節(jié)知識。試卷結(jié)構(gòu)合理，題型多樣，包括選擇題、填空題和解答題三種題型，滿分150分。試題難度適中，既有基礎(chǔ)題，也有一定難度的綜合題，能夠全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能，以及分析問題和解決問題的能力。在內(nèi)容分布上，三角函數(shù)部分約占30%，平面向量部分約占25%，復(fù)數(shù)部分約占15%，立體幾何部分約占30%。各部分內(nèi)容比例適當，重點突出，符合高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實際情況。試題注重考查數(shù)學(xué)思