2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)鞏固試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2=0})，(B={x|x^2-ax+a-1=0})，若(A\cupB=A)，則實數(shù)(a)的值為（）A.2B.3C.2或3D.1或2函數(shù)(f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{\log_2(x-1)})的定義域是（）A.((1,+\infty))B.([-2,1)\cup(1,+\infty))C.((1,2)\cup(2,+\infty))D.([-2,2)\cup(2,+\infty))已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec=(m,8))，若(\vec{a}\parallel\vec)，則(m)的值為（）A.4B.-4C.±4D.2函數(shù)(f(x)=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right))的最小正周期和對稱軸方程分別是（）A.(\pi)，(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{5\pi}{12})（(k\in\mathbb{Z})）B.(2\pi)，(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{5\pi}{12})（(k\in\mathbb{Z})）C.(\pi)，(x=k\pi+\frac{5\pi}{12})（(k\in\mathbb{Z})）D.(2\pi)，(x=k\pi+\frac{5\pi}{12})（(k\in\mathbb{Z})）已知等比數(shù)列({a_n})中，(a_1=2)，(a_4=16)，則數(shù)列({a_n})的前5項和(S_5)為（）A.30B.62C.126D.254若(\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right))，且(\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{3}{5})，則(\sin\alpha)的值為（）A.(\frac{4\sqrt{3}-3}{10})B.(\frac{4\sqrt{3}+3}{10})C.(\frac{3\sqrt{3}-4}{10})D.(\frac{3\sqrt{3}+4}{10})已知直線(l:ax+by+c=0)與圓(C:x^2+y^2=4)相切，且(a)，(b)，(c)成等差數(shù)列，則(ab)的最大值為（）A.1B.2C.4D.8某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.(8\pi)B.(12\pi)C.(16\pi)D.(24\pi)（注：此處默認三視圖為一個底面半徑2cm、高4cm的圓柱挖去一個同底等高的圓錐）已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)，則函數(shù)(f(x))的極大值點和極小值分別為（）A.(x=0)，(f(2)=-2)B.(x=0)，(f(0)=2)C.(x=2)，(f(0)=2)D.(x=2)，(f(2)=-2)已知雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0)，(b>0)）的離心率為(\sqrt{3})，且過點((2,\sqrt{6}))，則雙曲線的標準方程為（）A.(\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1)B.(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1)C.(x^2-\frac{y^2}{2}=1)D.(\frac{x^2}{2}-y^2=1)甲、乙、丙、丁4名學(xué)生隨機分配到A、B、C三個不同的班級，每個班級至少分配一名學(xué)生，則甲被分配到A班的概率為（）A.(\frac{1}{3})B.(\frac{1}{4})C.(\frac{3}{8})D.(\frac{5}{12})已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}\log_2x,&x>0,\2^x,&x\leq0,\end{cases})若(f(a)=f(b)=f(c))（(a<b<c)），則(a+b+c)的取值范圍是（）A.((-\infty,1))B.((-\infty,2))C.((1,2))D.((1,+\infty))二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位），則(|z|=)________。已知(\triangleABC)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若(a=3)，(b=4)，(\cosC=\frac{1}{4})，則(c=)________。若(x)，(y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\geq2,\x-y\leq2,\y\leq2,\end{cases})則(z=x+2y)的最大值為________。在數(shù)列({a_n})中，(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+3^n)，則數(shù)列({a_n})的通項公式為(a_n=)________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知等差數(shù)列({a_n})的前n項和為(S_n)，且(a_3=5)，(S_5=25)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項公式；（2）若(b_n=\frac{1}{a_na_{n+1}})，求數(shù)列({b_n})的前n項和(T_n)。（本小題滿分12分）在(\triangleABC)中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足(b\cosC+c\cosB=2a\cosA)。（1）求角A的大??；（2）若(a=2\sqrt{3})，(\triangleABC)的面積為(2\sqrt{3})，求b+c的值。（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，D為BC的中點。（1）求證：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求直線(A_1D)與平面(BCC_1B_1)所成角的正弦值。（本小題滿分12分）已知拋物線(C:y^2=4x)的焦點為F，過點F的直線l與拋物線交于A，B兩點。（1）若直線l的斜率為1，求線段AB的長；（2）設(shè)點M在拋物線C的準線上，且(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0)，求證：直線AB過定點。（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\in\mathbb{R})）。（1）當(a=1)時，求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))在區(qū)間((1,+\infty))上單調(diào)遞減，求a的取值范圍。（本小題滿分12分）某工廠生產(chǎn)一種精密儀器，已知該儀器的合格率為0.9，且各臺儀器的合格情況相互獨立。（1）若生產(chǎn)10臺儀器，求至少有2臺不合格的概率（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；（2）若生產(chǎn)n臺儀器，記不合格的儀器數(shù)為X，若(D(X)=1.44)，求n的值；（3）若生產(chǎn)5臺儀器，設(shè)合格儀器的利潤為200元/臺，不合格儀器的虧損為100元/臺，求該工廠生產(chǎn)5臺儀器的利潤Y的分布列及數(shù)學(xué)期望。參考答案及評分標準（僅供閱卷參考）一、選擇題C2.C3.C4.A5.B6.A7.B8.A9.A10.A11.D12.C二、填空題(\frac{\sqrt{10}}{2})14.415.616.(3^n-2^n)三、解答題（1）設(shè)等差數(shù)列({a_n})的公差為d，由(a_3=5)，(S_5=25)，得(\begin{cases}a_1+2d=5,\5a_1+10d=25,\end{cases})解得(a_1=1)，(d=2)，故(a_n=2n-1)。（5分）（2）(b_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right))，則(T_n=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)=\frac{n}{2n+1})。（10分）（1）由正弦定理得(\sinB\cosC+\sinC\cosB=2\sinA\cosA)，即(\sin(B+C)=2\sinA\cosA)。因為(B+C=\pi-A)，所以(\sinA=2\sinA\cosA)。又(\sinA\neq0)，故(\cosA=\frac{1}{2})，則(A=\frac{\pi}{3})。（6分）（2）由面積公式得(\frac{1}{2}bc\sinA=2\sqrt{3})，即(bc=8)。由余弦定理得(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA)，即(12=(b+c)^2-3bc)，解得(b+c=6)。（12分）（1）連接(A_1C)交(AC_1)于點O，連接OD。因為O為(A_1C)的中點，D為BC的中點，所以O(shè)D(\parallelA_1B)。又OD?平面(ADC_1)，(A_1B\not\subset)平面(ADC_1)，故(A_1B\parallel)平面(ADC_1)。（6分）（2）以A為原點，AB，AC，(AA_1)所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，得(A_1(0,0,2))，(D(1,1,0))，(B(2,0,0))，(C(0,2,0))，(C_1(0,2,2))。平面(BCC_1B_1)的法向量(\vec{n}=(1,1,0))，(\overrightarrow{A_1D}=(1,1,-2))，則(\sin\theta=\frac{|\overrightarrow{A_1D}\cdot\vec{n}|}{|\overrightarrow{A_1D}|\cdot|\vec{n}|}=\frac{\sqrt{3}}{3})。（12分）（1）焦點F(1,0)，直線l：(y=x-1)。聯(lián)立(\begin{cases}y=x-1,\y^2=4x,\end{cases})得(x^2-6x+1=0)，則(|AB|=x_1+x_2+2=6+2=8)。（6分）（2）設(shè)直線l：(x=my+1)，(A(x_1,y_1))，(B(x_2,y_2))，M(-1,t)。聯(lián)立拋物線方程得(y^2-4my-4=0)，則(y_1+y_2=4m)，(y_1y_2=-4)。由(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0)，得((x_1+1)(x_2+1)+(y_1-t)(y_2-t)=0)，化簡得(t^2-4mt=0)，故t=0或t=4m。當t=0時，M(-1,0)，直線AB過定點(1,0)；當t=4m時，直線AB：(x=my+1)恒過定點(1,0)。綜上，直線AB過定點(1,0)。（12分）（1）當(a=1)時，(f(x)=x\lnx-x^2+x)，(f'(x)=\lnx-2x+2)。令(g(x)=\lnx-2x+2)，則(g'(x)=\frac{1}{x}-2)。當(x\in(0,\frac{1}{2}))時，(g'(x)>0)；當(x\in(\frac{1}{2},+\infty))時，(g'(x)<0)。故(g(x))在(x=\frac{1}{2})處取得最大值(g(\frac{1}{2})=1-\ln2>0)，又(g(1)=0)，(g(\frac{1}{4})=-2\ln2+\frac{3}{2}<0)，則(f(x))在((0,\frac{1}{4}))遞減，((\frac{1}{4},1))遞增，((1,+\infty))遞減。（6分）（2）(f'(x)=\lnx-2ax+2a\leq0)在((1,+\infty))恒成立，即(2a\geq\frac{\lnx}{x-1})。令(h(x)=\frac{\lnx}{x-1})（(x>1)），則(h'(x)=\frac{\frac{x-1}{x}-\lnx}{(x-1)^2})。令(t(x)=\frac{x-1}{x}-\lnx)，則(t'(x)=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}<0)，故(h(x))在((1,+\infty))遞減，(h(x)<h(1)=1)，則(2a\geq1)，即(a\geq\frac{1}{2