2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃模擬試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|\log_2(x-1)<1})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,3))C.((1,3))D.((2,+\infty))若復(fù)數(shù)(z=\frac{2i}{1+i})（(i)為虛數(shù)單位），則(|z|+z^2=)（）A.(1+i)B.(1-i)C.(-1+i)D.(-1-i)已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec=(m,1))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec))，則實(shí)數(shù)(m=)（）A.3B.5C.7D.9函數(shù)(f(x)=\frac{x^2\sinx}{e^{|x|}})的部分圖像大致為（）A.（圖像選項(xiàng)略，提示：奇函數(shù)，x>0時(shí)f(x)>0，x→+∞時(shí)f(x)→0）已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，則(a_7+a_8+a_9=)（）A.128B.256C.512D.1024在三棱錐(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB\perpBC)，(PA=AB=BC=2)，則三棱錐外接球的表面積為（）A.(8\pi)B.(12\pi)C.(16\pi)D.(20\pi)已知雙曲線(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的左、右焦點(diǎn)分別為(F_1,F_2)，過(guò)(F_2)的直線與雙曲線右支交于(A,B)兩點(diǎn)，若(|AF_1|=3|AF_2|)，且(\angleF_1AF_2=60^\circ)，則雙曲線的離心率為（）A.(\sqrt{2})B.(\sqrt{3})C.2D.(\sqrt{5})已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\leq0,\\ln(x+1),&x>0,\end{cases})若關(guān)于(x)的方程(f(x)=kx+1)有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)(k)的取值范圍是（）A.((-∞,-2-2\sqrt{2})\cup(-2+2\sqrt{2},0))B.((-2-2\sqrt{2},-2+2\sqrt{2}))C.((-∞,-2-2\sqrt{2})\cup(0,+∞))D.((-2+2\sqrt{2},0))二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）二項(xiàng)式((x-\frac{2}{x})^6)的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_______（用數(shù)字作答）。若(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\geq2,\x-y\leq0,\y\leq3,\end{cases})則(z=2x+y)的最大值為_(kāi)_______。已知函數(shù)(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}))的圖像關(guān)于直線(x=\frac{\pi}{3})對(duì)稱，且相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為(\frac{\pi}{2})，則(f(\frac{\pi}{6})=)________。從5名男生和4名女生中選出3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，要求至少有1名女生，且男生甲與女生乙不能同時(shí)參加，則不同的選法種數(shù)為_(kāi)_______。已知定義在(R)上的函數(shù)(f(x))滿足(f(x+2)=f(x))，且當(dāng)(x\in[0,2))時(shí)，(f(x)=x^2-2x)，則不等式(f(x)>0)的解集為_(kāi)_______。已知正實(shí)數(shù)(a,b)滿足(a+b=1)，則(\frac{a^2+1}{ab}+\frac{a})的最小值為_(kāi)_______。三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.（本小題滿分10分）在(\triangleABC)中，內(nèi)角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，已知(a=2\sqrt{3})，(b=2)，(\cosA=-\frac{1}{2})。（1）求角(B)的大?。唬?）求(\triangleABC)的面積。解答思路：（1）由余弦定理求邊(c)，再由正弦定理求(\sinB)，結(jié)合(a>b)得(B)為銳角；（2）利用(S=\frac{1}{2}ac\sinB)計(jì)算面積。16.（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AC=BC=1)，(\angleACB=90^\circ)，(AA_1=2)，(D)為(A_1B_1)的中點(diǎn)。（1）求證：(C_1D\perp)平面(A_1B_1BA)；（2）求二面角(A-DC-C_1)的余弦值。解答思路：（1）通過(guò)線面垂直判定定理證明(C_1D\perpA_1B_1)且(C_1D\perpAA_1)；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角余弦值。17.（本小題滿分12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過(guò)點(diǎn)((2,1))。（1）求橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)(P(0,1))的直線(l)與橢圓(C)交于(A,B)兩點(diǎn)，若(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=-3)（(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線(l)的方程。解答思路：（1）由離心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})及(a^2=b^2+c^2)，結(jié)合點(diǎn)((2,1))代入方程求解；（2）設(shè)直線(l:y=kx+1)，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積公式求(k)。18.（本小題滿分12分）某工廠生產(chǎn)一種精密儀器，已知該儀器的合格率為(p)（(0<p<1)），且各臺(tái)儀器是否合格相互獨(dú)立。（1）若(p=0.8)，現(xiàn)生產(chǎn)5臺(tái)儀器，求至少有2臺(tái)合格的概率；（2）若生產(chǎn)一臺(tái)合格儀器盈利500元，不合格儀器虧損100元，為使工廠盈利的期望不低于2萬(wàn)元，求(p)的最小值（精確到0.01）。解答思路：（1）利用二項(xiàng)分布公式(P(X\geq2)=1-P(X=0)-P(X=1))計(jì)算；（2）設(shè)生產(chǎn)(n)臺(tái)儀器，盈利期望(E(X)=500np-100n(1-p)\geq20000)，解不等式求(p)。19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\inR)）。（1）當(dāng)(a=1)時(shí)，求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))在(x=1)處取得極大值，求實(shí)數(shù)(a)的取值范圍。解答思路：（1）求導(dǎo)(f'(x)=\lnx-2x+1)，分析導(dǎo)數(shù)符號(hào)確定單調(diào)區(qū)間；（2）求導(dǎo)(f'(x)=\lnx-2ax+2a)，討論(a)的取值對(duì)(f'(x))在(x=1)附近符號(hào)的影響，滿足極大值條件時(shí)(f'(1)=0)且左側(cè)正右側(cè)負(fù)。20.（本小題滿分12分）已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n+2})（(n\inN^*)）。（1）證明：數(shù)列({\frac{1}{a_n}})是等差數(shù)列，并求({a_n})的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)(b_n=a_n\cdota_{n+1})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項(xiàng)和(T_n)，并證明：(T_n<1)。解答思路：（1）對(duì)遞推式兩邊取倒數(shù)，得(\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2})，從而證明等差數(shù)列并求通項(xiàng)；（2）裂項(xiàng)相消法求和(T_n=\sum_{k=1}^n(\frac{2}{k}-\frac{2}{k+2}))，化簡(jiǎn)后證明(T_n<1)。附加題（共20分，不計(jì)入總分，供學(xué)有余力的學(xué)生選做）已知(x,y,z>0)，且(x+y+z=1)，求證：(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\geq\frac{1}{2})。設(shè)函數(shù)(f(x)=e^x-ax-b)（(a,b\inR)），若對(duì)任意(x\inR)，(f(x)\geq0)恒成立，求(ab)的最大值。在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(C)的參數(shù)方程為(\begin{cases}x=2+\cos\theta,\y=\sin\theta\end{cases})（(\theta)為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，(x)軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求曲線(C)的極坐標(biāo)方程。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（部分提示）一、選擇題：1.A2.B3.C4.A5.C6.D7.B8.D二、填空題：9.-16010.911.(\frac{\sqrt{3}}{2})12.8013.((2k,2k+2)\setminus{2k+1}(k\inZ))14.5三、解答題：15.（1）(B=\frac{\pi}{6})；（2）(S=\sqrt{3})16.（2）二面角余弦值為(\frac{\sqrt{6}}{6})17.（1）(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)；（2）(y=\pmx+1)1