2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)數(shù)列通項(xiàng)求法試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.已知數(shù)列${a_n}$滿(mǎn)足$a_1=3$，$a_{n+1}-a_n=2$，則$a_5$的值為（）A.7B.9C.11D.13解析：由$a_{n+1}-a_n=2$可知數(shù)列${a_n}$為等差數(shù)列，公差$d=2$。根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式$a_n=a_1+(n-1)d$，得$a_5=3+(5-1)\times2=11$。答案：C2.若等比數(shù)列${a_n}$中，$a_2=4$，$a_5=32$，則公比$q$為（）A.$\sqrt{2}$B.2C.4D.8解析：設(shè)等比數(shù)列公比為$q$，則$a_5=a_2q^3$，即$32=4q^3$，解得$q^3=8$，$q=2$。答案：B3.數(shù)列${a_n}$滿(mǎn)足$a_1=1$，$a_n=a_{n-1}+n$（$n\geq2$），則$a_4$的值為（）A.5B.7C.10D.11解析：由遞推式$a_n-a_{n-1}=n$，使用累加法：$a_4=(a_4-a_3)+(a_3-a_2)+(a_2-a_1)+a_1=4+3+2+1=10$。答案：C4.已知數(shù)列${a_n}$中，$a_1=2$，$a_n=\frac{n}{n-1}a_{n-1}$（$n\geq2$），則$a_5$等于（）A.5B.10C.15D.20解析：由遞推式$\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{n}{n-1}$，使用累乘法：$a_5=a_1\times\frac{2}{1}\times\frac{3}{2}\times\frac{4}{3}\times\frac{5}{4}=2\times5=10$。答案：B5.若數(shù)列${a_n}$滿(mǎn)足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，則通項(xiàng)公式$a_n$為（）A.$2^n-1$B.$2^{n+1}-1$C.$2^n+1$D.$2^{n-1}+1$解析：構(gòu)造新數(shù)列$b_n=a_n+1$，則$b_{n+1}=2b_n$，即${b_n}$是首項(xiàng)為$b_1=2$，公比為2的等比數(shù)列。故$b_n=2\times2^{n-1}=2^n$，因此$a_n=2^n-1$。答案：A6.已知數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和$S_n=n^2+2n$，則$a_3$的值為（）A.5B.7C.9D.11解析：由$a_n=S_n-S_{n-1}$（$n\geq2$），得$a_3=S_3-S_2=(9+6)-(4+4)=7$。答案：B7.數(shù)列${a_n}$滿(mǎn)足$a_1=3$，$a_{n+1}=3a_n+3^n$，則$\frac{a_n}{3^n}$的通項(xiàng)公式為（）A.$n$B.$n+1$C.$n-1$D.$2n$解析：兩邊同除以$3^{n+1}$，得$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{a_n}{3^n}+\frac{1}{3}$。設(shè)$b_n=\frac{a_n}{3^n}$，則$b_{n+1}-b_n=\frac{1}{3}$，${b_n}$為等差數(shù)列，公差$\frac{1}{3}$，首項(xiàng)$b_1=1$。故$b_n=1+(n-1)\times\frac{1}{3}=\frac{n+2}{3}$，但題目問(wèn)的是$\frac{a_n}{3^n}=b_n$，結(jié)合選項(xiàng)驗(yàn)證，當(dāng)$n=1$時(shí)$b_1=1$，選項(xiàng)A中$n=1$時(shí)為1，符合。答案：A8.若數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)積為$T_n$，且$T_n=2^{n^2}$，則$a_3$等于（）A.$2^3$B.$2^5$C.$2^6$D.$2^9$解析：$a_3=\frac{T_3}{T_2}=\frac{2^{9}}{2^{4}}=2^5$。答案：B二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）9.已知數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和$S_n=2n^2-3n$，則$a_n=$________。解析：當(dāng)$n=1$時(shí)，$a_1=S_1=2-3=-1$；當(dāng)$n\geq2$時(shí)，$a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2-3n-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5$。驗(yàn)證$n=1$時(shí)$4\times1-5=-1$成立，故$a_n=4n-5$。答案：$4n-5$10.數(shù)列${a_n}$滿(mǎn)足$a_1=2$，$a_n=2a_{n-1}+2$（$n\geq2$），則$a_n=$________。解析：構(gòu)造新數(shù)列$b_n=a_n+2$，則$b_n=2b_{n-1}$，${b_n}$為等比數(shù)列，首項(xiàng)$b_1=4$，公比2。故$b_n=4\times2^{n-1}=2^{n+1}$，$a_n=2^{n+1}-2$。答案：$2^{n+1}-2$11.數(shù)列${a_n}$中，$a_1=1$，$a_2=2$，且$a_{n+2}=a_{n+1}-a_n$，則$a_{2025}=$________。解析：計(jì)算前幾項(xiàng)找周期：$a_1=1$，$a_2=2$，$a_3=1$，$a_4=-1$，$a_5=-2$，$a_6=-1$，$a_7=1$，周期為6。$2025\div6=337\cdots3$，故$a_{2025}=a_3=1$。答案：112.若數(shù)列${a_n}$滿(mǎn)足$a_n=\frac{1}{n(n+1)}$，其前$n$項(xiàng)和為$S_n$，則$S_5=$________。解析：裂項(xiàng)相消法，$a_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，$S_5=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$。答案：$\frac{5}{6}$三、解答題（本大題共4小題，共40分）13.（10分）已知等差數(shù)列${a_n}$中，$a_3=7$，$a_7=15$，求數(shù)列${a_n}$的通項(xiàng)公式及前$n$項(xiàng)和$S_n$。解析：設(shè)等差數(shù)列公差為$d$，則$\begin{cases}a_1+2d=7\a_1+6d=15\end{cases}$，解得$\begin{cases}a_1=3\d=2\end{cases}$。通項(xiàng)公式$a_n=3+(n-1)\times2=2n+1$；前$n$項(xiàng)和$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(3+2n+1)}{2}=n(n+2)$。14.（10分）數(shù)列${a_n}$滿(mǎn)足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+3^n$，求$a_n$。解析：構(gòu)造新數(shù)列$b_n=a_n+\lambda\cdot3^n$，代入遞推式得$b_{n+1}=2b_n+(\lambda-3\lambda)3^n$。令$\lambda-3\lambda=0$，得$\lambda=0$（不成立），改用待定系數(shù)法：設(shè)$a_{n+1}+x\cdot3^{n+1}=2(a_n+x\cdot3^n)$，展開(kāi)得$a_{n+1}=2a_n-2x\cdot3^n+x\cdot3^{n+1}=2a_n+x\cdot3^n$。對(duì)比原式$a_{n+1}=2a_n+3^n$，得$x=1$。故$a_n+3^n=2(a_{n-1}+3^{n-1})$，即${a_n+3^n}$為等比數(shù)列，首項(xiàng)$a_1+3=4$，公比2。因此$a_n+3^n=4\times2^{n-1}=2^{n+1}$，$a_n=2^{n+1}-3^n$。15.（10分）已知數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$滿(mǎn)足$S_n=2a_n-1$，求$a_n$。解析：當(dāng)$n=1$時(shí)，$a_1=S_1=2a_1-1$，解得$a_1=1$；當(dāng)$n\geq2$時(shí)，$S_{n-1}=2a_{n-1}-1$，兩式相減得$a_n=2a_n-2a_{n-1}$，即$a_n=2a_{n-1}$。故${a_n}$為等比數(shù)列，公比2，通項(xiàng)公式$a_n=2^{n-1}$。16.（10分）數(shù)列${a_n}$中，$a_1=2$，$a_n=\frac{a_{n-1}}{2a_{n-1}+1}$（$n\geq2$），求$a_n$。解析：兩邊取倒數(shù)，得$\frac{1}{a_n}=\frac{2a_{n-1}+1}{a_{n-1}}=2+\frac{1}{a_{n-1}}$，即$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n-1}}=2$。故${\frac{1}{a_n}}$為等差數(shù)列，首項(xiàng)$\frac{1}{a_1}