2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)思想方法試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）函數(shù)與方程思想已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+ax+b$在$x=1$處取得極值，且其圖像與直線$y=3x-2$相切，則$a+b$的值為（）A.-1B.0C.1D.2數(shù)形結(jié)合思想在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)$A(1,2)$，$B(3,4)$，動(dòng)點(diǎn)$P(x,y)$滿足$|PA|=|PB|$，則動(dòng)點(diǎn)$P$的軌跡與直線$y=x$的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3分類討論思想若關(guān)于$x$的方程$kx^2-2x+1=0$有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)$k$的取值范圍是（）A.$k\leq1$B.$k<1$且$k\neq0$C.$k\leq1$且$k\neq0$D.$k\geq1$轉(zhuǎn)化與化歸思想已知三棱錐$P-ABC$的三條側(cè)棱$PA$，$PB$，$PC$兩兩垂直，且$PA=PB=PC=2$，則該三棱錐外接球的表面積為（）A.$4\pi$B.$8\pi$C.$12\pi$D.$16\pi$整體思想若實(shí)數(shù)$x$，$y$滿足$x+y=5$，$xy=3$，則$x^2+y^2$的值為（）A.19B.22C.25D.31歸納推理思想觀察下列等式：$1=1^2$，$1+3=2^2$，$1+3+5=3^2$，$1+3+5+7=4^2$，…據(jù)此規(guī)律，第$n$個(gè)等式為（）A.$1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2$B.$1+3+5+\dots+(2n+1)=(n+1)^2$C.$1+3+5+\dots+(n-1)=\left(\frac{n}{2}\right)^2$D.$1+3+5+\dots+(n+1)=\left(\frac{n+2}{2}\right)^2$類比思想在平面幾何中，“若$\triangleABC$的三邊長(zhǎng)分別為$a$，$b$，$c$，內(nèi)切圓半徑為$r$，則三角形面積$S=\frac{1}{2}(a+b+c)r$”，類比到立體幾何中，若四面體$ABCD$的四個(gè)面的面積分別為$S_1$，$S_2$，$S_3$，$S_4$，內(nèi)切球半徑為$R$，則四面體體積$V=$（）A.$\frac{1}{2}(S_1+S_2+S_3+S_4)R$B.$\frac{1}{3}(S_1+S_2+S_3+S_4)R$C.$(S_1+S_2+S_3+S_4)R$D.$\frac{1}{4}(S_1+S_2+S_3+S_4)R$參數(shù)思想直線$l$過點(diǎn)$P(1,2)$，且與圓$x^2+y^2=5$相切，則直線$l$的方程為（）A.$x+2y-5=0$B.$2x-y=0$C.$x+2y-5=0$或$2x-y=0$D.$x-2y+3=0$或$2x+y-4=0$函數(shù)與方程思想若函數(shù)$f(x)=x^2-2ax+a$在區(qū)間$(-\infty,1)$上有最小值，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是（）A.$a<1$B.$a\leq1$C.$a>1$D.$a\geq1$極限思想函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$處的極限值為（）A.0B.1C.2D.不存在二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）數(shù)形結(jié)合思想函數(shù)$f(x)=|x-1|+|x+2|$的最小值為________.分類討論思想已知數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和$S_n=n^2+kn$，若該數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)$k$的取值范圍是________.轉(zhuǎn)化與化歸思想若不等式$x^2-ax+1>0$對(duì)任意$x\in(0,+\infty)$恒成立，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是________.概率與統(tǒng)計(jì)思想從1，2，3，4，5這5個(gè)數(shù)字中隨機(jī)抽取2個(gè)數(shù)字，則這2個(gè)數(shù)字之和為偶數(shù)的概率是________.數(shù)學(xué)建模思想某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月產(chǎn)量$x$（噸）與每噸產(chǎn)品的價(jià)格$P$（元/噸）之間的關(guān)系為$P=24200-\frac{1}{5}x^2$，且生產(chǎn)$x$噸的成本為$C=50000+200x$元.則該工廠每月生產(chǎn)________噸產(chǎn)品才能使利潤達(dá)到最大.三、解答題（本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）函數(shù)與方程思想、分類討論思想（12分）已知函數(shù)$f(x)=ax^2-2x+1$（$a\in\mathbf{R}$）.（1）若函數(shù)$f(x)$有兩個(gè)零點(diǎn)，求$a$的取值范圍；（2）若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(0,2)$內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求$a$的取值范圍.數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想（12分）已知圓$C$：$x^2+y^2-4x-6y+9=0$，直線$l$：$kx-y+3-2k=0$.（1）求證：直線$l$與圓$C$必相交；（2）求直線$l$被圓$C$截得的弦長(zhǎng)的最小值及此時(shí)直線$l$的方程.數(shù)列與不等式、歸納推理思想（12分）已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$（$n\in\mathbf{N}^*$）.（1）求數(shù)列${a_n}$的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)$b_n=\frac{a_n+1}{a_na_{n+1}}$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$，并證明$S_n<\frac{1}{2}$.立體幾何、空間想象能力（13分）如圖，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AB=AC=AA_1=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$D$是$BC$的中點(diǎn).（1）求證：$A_1B\parallel$平面$ADC_1$；（2）求二面角$C_1-AD-C$的余弦值.概率統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建模思想（13分）某學(xué)校為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，從高二年級(jí)隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)成績(jī)調(diào)查，得到如下頻率分布表：成績(jī)分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻率0.050.150.300.350.15（1）求這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)和方差（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）若從成績(jī)?cè)赱80,100]的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求這2人成績(jī)都在[90,100]的概率.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、分類討論思想（14分）已知函數(shù)$f(x)=\lnx-ax+\frac{1-a}{x}-1$（$a\in\mathbf{R}$）.（1）當(dāng)$a=1$時(shí)，求函數(shù)$f(x)$的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(0,1)$上單調(diào)遞增，求$a$的取值范圍；（3）設(shè)$g(x)=x^2-2bx+4$，當(dāng)$a=\frac{1}{4}$時(shí)，若對(duì)任意$x_1\in(0,2)$，存在$x_2\in[1,2]$，使$f(x_1)\geqg(x_2)$，求實(shí)數(shù)$b$的取值范圍.參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（此處省略，實(shí)際試卷需附詳細(xì)解析）命題說明：試卷緊扣2025年高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱要求，突出對(duì)函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等核心數(shù)學(xué)思