2025年下學期高中數(shù)學山西版試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|log?(x-1)=0}，則A∩B=（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.?下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是（）A.f(x)=x3B.f(x)=2?C.f(x)=log?xD.f(x)=sinx已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，若a⊥b，則實數(shù)m的值為（）A.-2B.2C.-1/2D.1/2某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.12πcm3B.18πcm3C.24πcm3D.36πcm3已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，則cos(α-π/4)=（）A.-√2/10B.√2/10C.-7√2/10D.7√2/10執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x=2，則輸出的y=（）A.4B.6C.8D.10已知雙曲線C:x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為√3，且過點(2,√3)，則雙曲線C的標準方程為（）A.x2/3-y2/6=1B.x2/6-y2/3=1C.x2/2-y2/4=1D.x2/4-y2/2=1從3名男生和2名女生中隨機選出2人參加社區(qū)服務，則選中的2人都是女生的概率為（）A.1/10B.1/5C.3/10D.2/5已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π/2)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為（）A.f(x)=2sin(2x+π/3)B.f(x)=2sin(2x-π/3)C.f(x)=2sin(x+π/3)D.f(x)=2sin(x-π/3)已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x(a∈R)，若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值，則a的值為（）A.0B.1C.-1D.2在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，若a=2，b=3，c=√7，則△ABC的面積為（）A.3√3/2B.3√3C.2√3D.√3已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|，若關于x的不等式f(x)≥a2-2a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A.[-1,3]B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.[-3,1]D.(-∞,-3]∪[1,+∞)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若復數(shù)z=(1+i)(2-i)，則|z|=______。已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1=1，公比q=2，則S5=______。已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，準線為l，過點F的直線與拋物線C交于A,B兩點，若|AB|=8，則線段AB的中點到準線l的距離為______。已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x+1，若對于任意x1,x2∈[0,2]，都有|f(x1)-f(x2)|≤m，則實數(shù)m的最小值為______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=2，a3+a5=16。（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足bn=2^an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn。（本小題滿分12分）某學校為了解學生的數(shù)學學習情況，隨機抽取了100名學生進行數(shù)學成績調(diào)查，得到如下頻率分布直方圖：（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）估計這100名學生數(shù)學成績的平均數(shù)和中位數(shù)；（3）若從成績在[80,90)和[90,100]的學生中隨機抽取2人，求這2人成績都在[90,100]的概率。（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，點D,E分別是棱BC,CC1的中點。（1）求證：AD⊥平面BCC1B1；（2）求二面角B-AE-D的余弦值。（本小題滿分12分）已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√2/2，且過點(1,√2/2)。（1）求橢圓C的標準方程；（2）設直線l:y=kx+m與橢圓C交于A,B兩點，O為坐標原點，若OA⊥OB，求證：點O到直線l的距離為定值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x(a∈R)。（1）當a=1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值，求實數(shù)a的取值范圍。（本小題滿分12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為{x=2+cosα,y=sinα}(α為參數(shù))，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ=4sinθ。（1）求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程；（2）設點P是曲線C1上的動點，點Q是曲線C2上的動點，求|PQ|的最小值。參考答案及評分標準一、選擇題B2.A3.A4.C5.C6.D7.A8.B9.B10.A11.A12.A二、填空題√1014.3115.416.4三、解答題解：（1）設等差數(shù)列{an}的公差為d，因為a1=2，a3+a5=16，所以2a1+6d=16，即4+6d=16，解得d=2，所以an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n。（2）由（1）知，bn=2^an=2^(2n)=4^n，所以數(shù)列{bn}是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列，所以Sn=4(1-4^n)/(1-4)=(4^(n+1)-4)/3。解：（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得，(0.005+0.015+0.020+a+0.010)×10=1，解得a=0.050。（2）平均數(shù)為：55×0.05+65×0.15+75×0.20+85×0.50+95×0.10=78.5，設中位數(shù)為x，因為0.05+0.15+0.20=0.40<0.5，0.40+0.50×(x-80)/10=0.5，解得x=82。（3）成績在[80,90)的學生有0.50×100=50人，成績在[90,100]的學生有0.10×100=10人，從這60名學生中隨機抽取2人，基本事件總數(shù)為C(60,2)=1770，這2人成績都在[90,100]包含的基本事件個數(shù)為C(10,2)=45，所以這2人成績都在[90,100]的概率為45/1770=3/118。（1）證明：因為AA1⊥平面ABC，AD?平面ABC，所以AA1⊥AD，因為AB=AC，點D是棱BC的中點，所以AD⊥BC，因為BC∩AA1=A，BC,AA1?平面BCC1B1，所以AD⊥平面BCC1B1。（2）解：以A為坐標原點，AB,AC,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸，建立空間直角坐標系Axyz，則A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,2),B1(2,0,2),C1(0,2,2)，因為點D,E分別是棱BC,CC1的中點，所以D(1,1,0),E(0,2,1)，所以AE=(0,2,1),AD=(1,1,0),AB=(2,0,0)，設平面ABE的法向量為n=(x,y,z)，則{n·AB=0,n·AE=0}，即{2x=0,2y+z=0}，令y=1，則z=-2，所以n=(0,1,-2)，設平面ADE的法向量為m=(a,b,c)，則{m·AD=0,m·AE=0}，即{a+b=0,2b+c=0}，令b=1，則a=-1，c=-2，所以m=(-1,1,-2)，所以cos<n,m>=n·m/(|n||m|)=(0×(-1)+1×1+(-2)×(-2))/(√(02+12+(-2)2)√((-1)2+12+(-2)2))=(0+1+4)/(√5×√6)=5/√30=√30/6，因為二面角B-AE-D為銳角，所以二面角B-AE-D的余弦值為√30/6。（1）解：因為橢圓C的離心率為√2/2，所以e=c/a=√2/2，即c=√2/2a，因為a2=b2+c2，所以a2=b2+1/2a2，即b2=1/2a2，因為橢圓C過點(1,√2/2)，所以1/a2+(1/2)/b2=1，即1/a2+1/(2b2)=1，將b2=1/2a2代入上式，得1/a2+1/a2=1，即2/a2=1，解得a2=2，所以b2=1，所以橢圓C的標準方程為x2/2+y2=1。（2）證明：設A(x1,y1),B(x2,y2)，聯(lián)立{y=kx+m,x2/2+y2=1}，消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0，所以Δ=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-2)=16k2m2-8(1+2k2)(m2-1)=8(2k2-m2+1)>0，即2k2-m2+1>0，x1+x2=-4km/(1+2k2)，x1x2=(2m2-2)/(1+2k2)，所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2(2m2-2)/(1+2k2)+km(-4km)/(1+2k2)+m2=(2k2m2-2k2-4k2m2+m2+2k2m2)/(1+2k2)=(m2-2k2)/(1+2k2)，因為OA⊥OB，所以OA·OB=x1x2+y1y2=0，即(2m2-2)/(1+2k2)+(m2-2k2)/(1+2k2)=0，所以2m2-2+m2-2k2=0，即3m2-2k2-2=0，所以m2=(2k2+2)/3，所以點O到直線l的距離d=|m|/√(k2+1)=√(m2/(k2+1))=√((2k2+2)/(3(k2+1)))=√(2/3)=√6/3，所以點O到直線l的距離為定值√6/3。解：（1）當a=1時，f(x)=xlnx-x2+x，定義域為(0,+∞)，f'(x)=lnx+1-2x+1=lnx-2x+2，令g(x)=lnx-2x+2，則g'(x)=1/x-2，令g'(x)=0，得x=1/2，當x∈(0,1/2)時，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，當x∈(1/2,+∞)時，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，所以g(x)≤g(1/2)=ln(1/2)-2×(1/2)+2=-ln2-1+2=1-ln2>0，所以f'(x)=g(x)>0，所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間。（2）f'(x)=lnx+1-2ax+2a-1=lnx-2ax+2a，因為函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值，所以f'(1)=0，且當x∈(0,1)時，f'(x)>0，當x∈(1,+∞)時，f'(x)<0，f'(1)=ln1-2a×1+2a=0-2a+2a=0，滿足條件，令h(x)=lnx-2ax+2a，則h'(x)=1/x-2a，①當a≤0時，h'(x)=1/x-2a>0，所以h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，因為h(1)=0，所以當x∈(0,1)時，h(x)<0，即f'(x)<0，當x∈(1,+∞)時，h(x)>0，即f'(x)>0，所以函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值，不符合題意；②當a>0時，令h'(x)=0，得x=1/(2a)，當x∈(0,1/(2a))時，h'(x)>0，h(x)單調(diào)遞增，當x∈(1/(2a),+∞)時，h'(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，因為h(1)=0，所以要使當x∈(0,1)時，h(x)>0，當x∈(1,+∞)時，h(x)<0，則1/(2a)>1，即0<a<1/2，綜上，實數(shù)a的取值范圍為(0,1/2)。解：（1）因為曲線C1的參數(shù)方程為{x=2+cosα,y=sinα}(α為參數(shù))，所以(x-2)2+y2=cos2α+sin2α=1，所以曲線C1的普通方程為(x-2)2+y2=1，因為曲線C2的極坐標方程為ρ=4sinθ，所以