2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)探究應(yīng)用試卷一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用題（20分）題目1：某科技公司研發(fā)的智能溫控設(shè)備，其工作時的能耗$y$（單位：千瓦時）與環(huán)境溫度$x$（單位：℃，$-10\leqx\leq30$）的關(guān)系可近似表示為$y=ax^3+bx^2+cx+d$。已知當(dāng)$x=0$時，能耗為2千瓦時；當(dāng)$x=10$時，能耗達到最小值1千瓦時；且該函數(shù)在$x=20$處的導(dǎo)數(shù)值為0.5。（1）求$a,b,c,d$的值；（2）若該設(shè)備在冬季（$-10\leqx\leq10$）和夏季（$20\leqx\leq30$）的使用頻率分別為每天8小時和12小時，且環(huán)境溫度在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)均勻分布，求該設(shè)備一天的平均能耗（精確到0.01千瓦時）；（3）為降低能耗，公司計劃對設(shè)備進行優(yōu)化，將能耗函數(shù)調(diào)整為$y'=kx^2+mx+n$，要求在$x=10$處仍為最小值1千瓦時，且在$x=30$處的能耗不超過3千瓦時，求$k$的取值范圍。題目2：已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax^2-bx-1$，其中$a,b\in\mathbb{R}$。（1）若$a=0,b=1$，證明：當(dāng)$x\geq0$時，$f(x)\geq0$；（2）若$f(x)$在$x=0$處取得極小值，且在$(0,2)$上有兩個零點，求$a$的取值范圍；（3）設(shè)$g(x)=f(x)+ax^2$，若對任意$x_1>x_2>0$，均有$\frac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}>2$，求$b$的最大值。二、立體幾何與空間向量應(yīng)用題（20分）題目3：如圖，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AB=AC=AA_1=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$D$為$BC$的中點，$E$為$A_1C_1$上一點，且$A_1E=2EC_1$。（1）求證：$DE\perp$平面$BCC_1B_1$；（2）求二面角$A_1-BD-E$的余弦值；（3）若點$P$在棱$BB_1$上運動（包含端點），設(shè)$BP=t$，求三棱錐$P-ADE$的體積$V(t)$的最大值及對應(yīng)的$t$值。題目4：某建筑團隊設(shè)計了一個半圓柱形的場館頂部結(jié)構(gòu)，其軸截面為矩形$ABCD$（$AB$為直徑，$O$為圓心），$AB=20$米，$BC=10$米，頂部曲面部分采用玻璃幕墻。為增強穩(wěn)定性，需在曲面內(nèi)側(cè)安裝若干根支撐梁，其中一根支撐梁的一端固定在$A$點，另一端$P$在半圓弧$CD$上（$P$不與$C,D$重合）。（1）以$O$為原點，$AB$所在直線為$x$軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求支撐梁$AP$長度的取值范圍；（2）若在$AP$的中點$Q$處安裝一盞射燈，求射燈到地面$ABCD$的距離$h$與$\angleAOP$（記為$\theta$，$0<\theta<\pi$）的函數(shù)關(guān)系，并求$h$的最大值；（3）若需在曲面$CD$上再取一點$R$，使得$AP\perpAR$，且$PR$長度最短，求此時$PR$的長度。三、解析幾何與概率統(tǒng)計應(yīng)用題（20分）題目5：已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點$(2,1)$。（1）求橢圓$C$的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓右焦點$F$的直線$l$與橢圓交于$M,N$兩點，點$P$在橢圓上，且滿足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{ON}$，求直線$l$的斜率；（3）在（2）的條件下，若點$Q$為坐標(biāo)原點關(guān)于直線$l$的對稱點，求$\triangleQMN$的面積。題目6：某中學(xué)為評估學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，采用“基礎(chǔ)能力測試”和“探究創(chuàng)新測試”相結(jié)合的方式，其中基礎(chǔ)能力測試滿分為100分，探究創(chuàng)新測試滿分為50分?，F(xiàn)從高三年級隨機抽取100名學(xué)生，將兩項測試成績整理成如下表格：探究創(chuàng)新測試成績（分）[0,20)[20,30)[30,40)[40,50]基礎(chǔ)能力測試平均分（分）65758288學(xué)生人數(shù)15353020（1）若基礎(chǔ)能力測試成績$X$服從正態(tài)分布$N(\mu,\sigma^2)$，且$\mu$為樣本平均分，$\sigma^2$為樣本方差（各組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點值為代表），求$P(70<X<90)$（精確到0.01）；（2）定義“綜合素養(yǎng)指數(shù)”$Y=0.6X+0.4Z$，其中$Z$為探究創(chuàng)新測試成績。若$Z$與$X$的相關(guān)系數(shù)$r=0.8$，且$X$的方差為100，$Z$的方差為64，求$Y$的方差；（3）學(xué)校計劃從探究創(chuàng)新測試成績在[40,50]的學(xué)生中隨機選取3人參加省級競賽，記其中基礎(chǔ)能力測試成績不低于90分的人數(shù)為$\xi$，若該組學(xué)生中基礎(chǔ)能力測試成績不低于90分的頻率為0.4，求$\xi$的分布列和數(shù)學(xué)期望。四、數(shù)列與不等式應(yīng)用題（20分）題目7：某企業(yè)為擴大生產(chǎn)，計劃通過技術(shù)改造實現(xiàn)產(chǎn)能提升。設(shè)第$n$年的產(chǎn)能為$a_n$（單位：萬件），初始產(chǎn)能$a_1=100$萬件。技術(shù)改造方案有兩種：方案一：每年投入固定資金，使產(chǎn)能按$a_{n+1}=a_n+20+n$增長；方案二：每年投入遞增資金，使產(chǎn)能按$a_{n+1}=1.1a_n+10$增長。（1）分別求兩種方案下$a_n$的通項公式；（2）若企業(yè)計劃在第10年年底實現(xiàn)產(chǎn)能翻番（即$a_{10}\geq200$），哪種方案更優(yōu)？并說明理由；（3）若方案二中的“1.1”可調(diào)為參數(shù)$k(k>1)$，且要求第5年年底的產(chǎn)能不低于180萬件，求$k$的最小值（精確到0.01）。題目8：已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n+2}$，數(shù)列${b_n}$滿足$b_n=\frac{a_n}{n+1}$。（1）證明：數(shù)列${\frac{1}{a_n}}$是等差數(shù)列，并求${b_n}$的前$n$項和$S_n$；（2）設(shè)$c_n=\frac{S_n}{2^n}$，求證：$\sum_{k=1}^nc_k<2$；（3）若對任意$n\geq2$，不等式$b_n+b_{n+1}+\cdots+b_{2n}\geq\frac{m}{24}$恒成立，求實數(shù)$m$的最大值。五、新情境探究題（20分）題目9：在信息加密傳輸中，常用“RSA加密算法”，其原理基于大素數(shù)分解的困難性。設(shè)$p,q$為兩個不同的素數(shù)，令$n=pq$，$\phi(n)=(p-1)(q-1)$，選取整數(shù)$e(1<e<\phi(n))$，使得$\gcd(e,\phi(n))=1$，再找到整數(shù)$d$，使得$ed\equiv1\mod\phi(n)$。加密時，明文$m$（$0<m<n$）通過$c\equivm^e\modn$轉(zhuǎn)換為密文$c$；解密時，密文$c$通過$m\equivc^d\modn$還原為明文$m$。（1）若$p=3,q=7$，$e=5$，求$d$的值，并對明文$m=4$進行加密和解密驗證；（2）若$n=143$（已知$143=11\times13$），$\phi(n)=120$，且$e=7$，某密文$c=25$，求對應(yīng)的明文$m$；（3）證明：對任意明文$m$，均有$m^{ed}\equivm\modp$（提示：利用費馬小定理）。題目10：定義“分形數(shù)列”如下：第1項為$t_1=1$；第2項為$t_2=1,2$；第3項為$t_3=1,2,1,3$；第4項為$t_4=1,2,1,3,1,2,1,4$；…，其中第$n$項是在第$n-1$項的基礎(chǔ)上，在每個數(shù)后面添加“1,$n$”得到（例如$t_3$是在$t_2=(1,2)$的每個數(shù)后添加“1,3”得到$(1,1,3,2,1,3)$，整理后為$(1,2,1,3)$）。（1）求第$n$項$t_n$的項數(shù)$a_n$及所有項的和$S_n$；（2）若從$t_5$的所有項中隨機選取一項，求該項為“2”的概率；（3）證明：對任意$n\geq2$，$S_n>\frac{1}{2}n^2+n$