2025年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)函數(shù)奇偶性與周期性試題一、單項(xiàng)選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減的函數(shù)是（）A.y=2?B.y=√xC.y=|x|D.y=-x2-1設(shè)函數(shù)f(x)=(2?-2??)/2，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A.f(x-2)-1B.f(x-2)+1C.f(x+2)-1D.f(x+2)+1已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且周期為4，f(-1)=-2，則f(2025)=（）A.2B.0C.-2D.-4已知函數(shù)f(x)=sinx+x3+x+3，若f(a)=-1，則f(-a)=（）A.7B.6C.5D.4已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，滿足f(x+2)=f(x)，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)=2?-1，則f(log?12)的值為（）A.1/3B.2/3C.1/4D.3/4已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(x+1)為偶函數(shù)，且當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)=x2，則f(7/2)=（）A.-1/4B.1/4C.-1/2D.1/2已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x+1)是奇函數(shù)，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)=x3，則f(2025/2)=（）A.-1/8B.1/8C.-1/2D.1/2定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x)，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)=2x-1，當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，f(x)=x2，則f(2025)+f(-2026)=（）A.3B.2C.1D.0已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，滿足f(x+2)=f(x-2)，若f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且f(1)=2，則f(2025)+f(2026)=（）A.4B.3C.2D.1定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x)，且當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)=log?(x+1)，則f(-2025.5)=（）A.0B.1C.log?3D.log?5已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且函數(shù)f(x+1)圖象關(guān)于x=1對(duì)稱．當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)=2?-1，則f(2025)+f(-2026)=（）A.-1B.0C.1D.2設(shè)函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽，f(x+1)為奇函數(shù)，f(x+2)為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，f(x)=ax+b，若f(0)+f(3)=6，則f(9/2)=（）A.3/2B.5/2C.4D.5二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(x+2)為偶函數(shù)，且當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)=x2-2x，則f(7)=_________定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+3)=-1/f(x)，且當(dāng)x∈[0,3)時(shí)，f(x)=x2-1，則f(2025)=_________已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x+4)=f(x)-f(2)，若當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)=2x-1，則f(2026)=_________已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f(x+2)=f(x)，當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f(x)=lnx+2x，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,2)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_________三、解答題（共6小題，共70分）（10分）已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x2-2x+3.(1)求f(x)的解析式；(2)若f(a)=6，求實(shí)數(shù)a的值.（12分）已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x=1時(shí)，f(x)取得極值-2.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間.（12分）已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x)，且當(dāng)x∈[-1,1]時(shí)，f(x)=x3-3x.(1)求f(x)在區(qū)間[1,3]上的解析式；(2)若方程f(x)=m在區(qū)間[0,4]上有4個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.（12分）已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x+4)=f(x)，當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)=x2-2x.(1)求f(x)在區(qū)間[-2,0)上的解析式；(2)求f(x)在區(qū)間[2,6]上的解析式；(3)求f(2025)+f(2026)+f(2027)的值.（12分）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意x∈R，都有f(x+2)=f(2-x)，f(x+7)=f(7-x).(1)求證：函數(shù)f(x)是周期函數(shù)；(2)若f(5)=9，求f(2025)的值；(3)若當(dāng)x∈[2,7]時(shí)，f(x)=x2-9x+20，求當(dāng)x∈[-3,2]時(shí)，f(x)的解析式.（12分）已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x+2)=-f(x)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)=x2.(1)求證：函數(shù)f(x)是周期函數(shù)；(2)求f(x)在區(qū)間[1,3]上的解析式；(3)若方程f(x)=kx+1在區(qū)間[-1,3]上有3個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.參考答案及解析一、單項(xiàng)選擇題D解析：y=2?是非奇非偶函數(shù)，在(0,+∞)上單調(diào)遞增；y=√x是非奇非偶函數(shù)，在(0,+∞)上單調(diào)遞增；y=|x|是偶函數(shù)，在(0,+∞)上單調(diào)遞增；y=-x2-1是偶函數(shù)，在(0,+∞)上單調(diào)遞減，故選D.C解析：f(x)=(2?-2??)/2是奇函數(shù)，f(x+2)-1的定義域?yàn)镽，記g(x)=f(x+2)-1，則g(-x)=f(-x+2)-1=-f(x-2)-1，若g(x)為奇函數(shù)，則g(-x)=-g(x)，即-f(x-2)-1=-[f(x+2)-1]，整理得f(x+2)+f(x-2)=2，而f(x+2)+f(x-2)=(2??2-2???2)/2+(2??2-2???2)/2=(4·2?-2??/4)/2+(2?/4-4·2??)/2=2·2?-2??/8+2?/8-2·2??，顯然不等于2，故排除A；同理可驗(yàn)證B、C、D選項(xiàng)，最終可得C選項(xiàng)正確.A解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f(x)是奇函數(shù)，f(-x)=-f(x)，又f(x)的周期為4，所以f(x+4)=f(x)，f(2025)=f(4×506+1)=f(1)=-f(-1)=2，故選A.A解析：令g(x)=sinx+x3+x，則g(x)是奇函數(shù)，f(x)=g(x)+3，f(a)=g(a)+3=-1，所以g(a)=-4，g(-a)=-g(a)=4，f(-a)=g(-a)+3=4+3=7，故選A.B解析：因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x)，又f(x+2)=f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期為2，log?12=log?(4×3)=2+log?3，因?yàn)閘og?3∈(1,2)，所以log?12-2×2=log?12-4=log?(12/16)=log?(3/4)∈(-1,0)，f(log?12)=f(log?12-4)=f(log?(3/4))=f(-log?(4/3))=f(log?(4/3))=2^(log?(4/3))-1=4/3-1=1/3，故選A.（注：原解析有誤，正確答案應(yīng)為1/3，選項(xiàng)A）A解析：因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x)，又f(x+1)是偶函數(shù)，所以f(-x+1)=f(x+1)，即f(x+2)=f(-x)=-f(x)，所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，函數(shù)f(x)的周期為4，f(7/2)=f(7/2-4)=f(-1/2)=-f(1/2)=-(1/2)2=-1/4，故選A.A解析：因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x)，又f(x+1)是奇函數(shù)，所以f(-x+1)=-f(x+1)，即f(x+2)=-f(-x)=-f(x)，所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，函數(shù)f(x)的周期為4，f(2025/2)=f(1012×2+1/2)=f(1/2)=(1/2)3=1/8，又因?yàn)閒(x+2)=-f(x)，所以f(1/2)=-f(5/2)=1/8，f(5/2)=-1/8，而f(2025/2)=f(506×4+1/2)=f(1/2)=1/8，故選B.（注：原解析有誤，正確答案應(yīng)為1/8，選項(xiàng)B）C解析：由f(x+2)=-f(x)得f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，函數(shù)f(x)的周期為4，f(2025)=f(4×506+1)=f(1)=2×1-1=1，f(-2026)=f(-2026+4×507)=f(2)=22=4，所以f(2025)+f(-2026)=1+4=5，無(wú)正確選項(xiàng).（注：題目可能存在錯(cuò)誤，若當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，f(x)=x，則f(2)=2，f(2025)+f(-2026)=1+2=3，選A）A解析：由f(x+2)=f(x-2)得f(x+4)=f(x)，函數(shù)f(x)的周期為4，又f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱，所以f(1+x)=f(1-x)，f(2025)=f(4×506+1)=f(1)=2，f(2026)=f(4×506+2)=f(2)=f(0)，因?yàn)閒(0)=f(4)=f(2)，又f(1)=2，無(wú)法確定f(0)的值，故題目可能存在信息缺失.（注：若補(bǔ)充條件f(0)=2，則f(2025)+f(2026)=2+2=4，選A）B解析：因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x)，又f(x+2)=f(x)，函數(shù)f(x)的周期為2，f(-2025.5)=f(2025.5)=f(2×1012+1.5)=f(1.5)=f(-0.5)=f(0.5)=log?(0.5+1)=log?1.5，無(wú)正確選項(xiàng).（注：若函數(shù)周期為1，則f(-2025.5)=f(0.5)=log?1.5，仍無(wú)正確選項(xiàng)，題目可能存在錯(cuò)誤）C解析：因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x)，又f(x+1)的圖像關(guān)于x=1對(duì)稱，所以f(2-x)=f(x)，即f(x+2)=f(-x)=-f(x)，所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，函數(shù)f(x)的周期為4，f(2025)=f(4×506+1)=f(1)=21-1=1，f(-2026)=-f(2026)=-f(4×506+2)=-f(2)=-f(0)=0，所以f(2025)+f(-2026)=1+0=1，選C.B解析：因?yàn)閒(x+1)為奇函數(shù)，所以f(-x+1)=-f(x+1)，令x=0得f(1)=-f(1)，所以f(1)=0，即a+b=0；f(x+2)為偶函數(shù)，所以f(-x+2)=f(x+2)，令x=1得f(1)=f(3)，所以f(3)=0，即4a+b=0；聯(lián)立得a=0，b=0，與x∈[1,2]時(shí)f(x)=ax+b矛盾，題目可能存在錯(cuò)誤.（注：若f(x+1)為奇函數(shù)，則f(-x+1)=-f(x+1)，令x=1得f(0)=-f(2)，f(x+2)為偶函數(shù)，令x=0得f(2)=f(2)，無(wú)法得出新信息，若當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，f(x)=x2+ax+b，可繼續(xù)求解）二、填空題-1解析：因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x)，f(x+2)為偶函數(shù)，所以f(-x+2)=f(x+2)，即f(x+4)=f(-x)=-f(x)，所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，函數(shù)f(x)的周期為8，f(7)=f(7-8)=f(-1)=-f(1)=-(12-2×1)=1.（注：原解析有誤，正確答案應(yīng)為1）2解析：由f(x+3)=-1/f(x)得f(x+6)=-1/f(x+3)=f(x)，函數(shù)f(x)的周期為6，f(2025)=f(6×337+3)=f(3)=-1/f(0)=-1/(02-1)=1.（注：原解析有誤，正確答案應(yīng)為1）3解析：令x=0得f(4)=f(0)-f(2)，因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(0)=f(4)，f(2)=f(-2)，又f(4)=f(0)，所以f(2)=0，f(x+4)=f(x)，函數(shù)f(x)的周期為4，f(2026)=f(4×506+2)=f(2)=0.（注：原解析有誤，正確答案應(yīng)為0）5解析：因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(0)=0，f(-x)=-f(x)，又f(x+2)=f(x)，函數(shù)f(x)的周期為2，當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f(x)=lnx+2x，f(1)=ln1+2×1=2>0，f(1/e)=ln(1/e)+2/e=-1+2/e<0，所以在(1/e,1)內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)，在(-1,-1/e)內(nèi)也存在一個(gè)零點(diǎn)，又f(2)=f(0)=0，f(-2)=0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,2)內(nèi)的零點(diǎn)為-2,-1/e,0,1/e,2，共5個(gè)，故答案為5.三、解答題解：(1)當(dāng)x<0時(shí)，-x>0，f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3，因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(x)=f(-x)=x2+2x+3，綜上，f(x)={x2-2x+3,x≥0x2+2x+3,x<0}(2)當(dāng)a≥0時(shí)，f(a)=a2-2a+3=6，解得a=3或a=-1（舍去）；當(dāng)a<0時(shí)，f(a)=a2+2a+3=6，解得a=-3或a=1（舍去），綜上，a=±3.解：(1)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x)，即-ax3+bx2-cx+d=-ax3-bx2-cx-d，所以bx2+d=0對(duì)任意x∈R恒成立，所以b=0，d=0，f(x)=ax3+cx，f'(x)=3ax2+c，因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí)，f(x)取得極值-2，所以f'(1)=3a+c=0，f(1)=a+c=-2，解得a=1，c=-3，所以f(x)=x3-3x.(2)f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)，令f'(x)>0，得x<-1或x>1；令f'(x)<0，得-1<x<1，所以f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上單調(diào)遞增，在(-1,1)上單調(diào)遞減.解：(1)因?yàn)閒(x+2)=f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期為2，當(dāng)x∈[1,3]時(shí)，x-2∈[-1,1]，所以f(x)=f(x-2)=(x-2)3-3(x-2)=x3-6x2+12x-8-3x+6=x3-6x2+9x-2.(2)由周期性可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,4]上的圖象是由[0,2]和[2,4]兩段組成，其中[2,4]上的圖象與[0,2]上的圖象相同，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)=x3-3x，f'(x)=3x2-3≤0，f(x)單調(diào)遞減，f(0)=0，f(1)=-2；當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，f(x)=(x-2)3-3(x-2)=x3-6x2+9x-2，f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3)，當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，f'(x)≤0，f(x)單調(diào)遞減，f(2)=f(0)=0，所以函數(shù)f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減，值域?yàn)閇-2,0]，在[2,4]上也單調(diào)遞減，值域?yàn)閇-2,0]，所以方程f(x)=m在區(qū)間[0,4]上有4個(gè)不同的實(shí)根時(shí)，m∈(-2,0).解：(1)當(dāng)x∈[-2,0)時(shí)，-x∈(0,2]，f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x，因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(x)=-f(-x)=-x2-2x.(2)因?yàn)閒(x+4)=f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期為4，當(dāng)x∈[2,6]時(shí)，x-4∈[-2,2]，當(dāng)x∈[2,4]時(shí)，x-4∈[-2,0)，f(x)=f(x-4)=-(x-4)2-2(x-4)=-x2+8x-16-2x+8=-x2+6x-8；當(dāng)x∈[4,6]時(shí)，x-4∈[0,2]，f(x)=f(x-4)=(x-4)2-2(x-4)=x2-8x+16-2x+8=x2-10x+24.(3)f(2025)=f(4×506+1)=f(1)=12-2×1=-1，f(2026)=f(4×506+2)=f(2)=0，f(2027)=f(4×506+3)=f(3)=-32+6×3-8=-1，所以f(2025)+f(2026)+f(2027)=-1+0+(-1)=-2.解：(1)因?yàn)閒(x+2)=f(2-x)，f(x+7)=f(7-x)，所以f(x+10)=f(7+(x+3))=f(7-(x+3))=f(4-x)=f(2+(2-x))=f(2-(2-x))=f(x)，所以函