2025年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)柯西不等式應(yīng)用試題一、選擇題（共5小題，每題5分）柯西不等式的三元形式如下：對(duì)實(shí)數(shù)(a,b,c)和(x,y,z)，有((a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\geq(ax+by+cz)^2)，當(dāng)且僅當(dāng)(\frac{a}{x}=\frac{y}=\frac{c}{z})時(shí)等號(hào)成立。已知(2x+3y+z=7)，則(x^2+y^2+z^2)的最小值是（）A．(\frac{49}{14})B．(\frac{49}{13})C．(\frac{49}{12})D．(\frac{49}{11})若實(shí)數(shù)(a,b,c,d)滿足(ab+bc+cd+da=1)，則(a^2+2b^2+3c^2+4d^2)的最小值為（）A．1B．2C．3D．4已知(a>0,b>0,a+b=5)，則(\sqrt{2a+1}+\sqrt{2b+1})的最大值為（）A．(3\sqrt{3})B．(2\sqrt{6})C．(\sqrt{18})D．(3\sqrt{2})設(shè)(x,y,z)為正數(shù)，且(x+y+z=1)，則(\frac{x^2}{1+x}+\frac{y^2}{1+y}+\frac{z^2}{1+z})的最小值為（）A．(\frac{1}{4})B．(\frac{1}{3})C．(\frac{1}{2})D．1已知無窮正數(shù)數(shù)列({a_n})滿足：①存在(M>0)，使得(a_n\leqM)（(n\in\mathbb{N}^)）；②對(duì)任意正整數(shù)(m,n)（(m\neqn)），均有((a_m-a_n)^2+(m-n)^2\geq1)。則對(duì)任意(k\in\mathbb{N}^)，(a_k)的取值范圍是（）A．([k-M,k+M])B．([k-1,k+1])C．([k-\sqrt{M},k+\sqrt{M}])D．([k-\frac{1}{2},k+\frac{1}{2}])二、填空題（共5小題，每題5分）若(x^2+y^2+z^2=1)，則((2x+3y+4z)^2)的最大值為________。已知(a,b,c)為正數(shù)，且(a+b+c=1)，則(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1})的最大值為________。設(shè)(x,y\in\mathbb{R})，則(\frac{2x^2}{x+1}+\frac{3y^2}{y+2})的最小值為________。在棱長(zhǎng)為(\sqrt{3})的正四面體(ABCD)內(nèi)任取一點(diǎn)(P)，點(diǎn)(P)到四個(gè)面的距離分別為(d_1,d_2,d_3,d_4)，則(d_1+d_2+d_3+d_4)的值為________。已知函數(shù)(f(x)=|x-1|+|x+2|)，若存在(x\in\mathbb{R})，使得(f(x)\leqm)成立，則實(shí)數(shù)(m)的最小值為________，此時(shí)(x)的取值范圍是________。三、解答題（共6小題，共75分）11.（12分）（1）寫出柯西不等式的二元形式，并利用向量法證明；（2）設(shè)(a,b,c)為正數(shù)，求證：(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{a+b+c}{2})。12.（12分）已知函數(shù)(f(x)=|2x-1|+|x+2|)。（1）求不等式(f(x)\leq5)的解集；（2）設(shè)(f(x))的最小值為(m)，正實(shí)數(shù)(a,b)滿足(a+2b=m)，證明：(\frac{a^2}{1+a}+\frac{4b^2}{1+b}\geq\frac{4}{3})。13.（12分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)對(duì)應(yīng)的邊分別為(a,b,c)，且滿足(2\sinA\sinB\sinC=\sqrt{3}(\sin^2B+\sin^2C-\sin^2A))。（1）求角(A)的大小；（2）若(a=2)，(M)為(BC)邊中點(diǎn)，(AM=\sqrt{3})，求(b+c)的最大值；（3）在（2）的條件下，(P)是(\triangleABC)內(nèi)一點(diǎn)，過(P)作(AB,BC,AC)的垂線，垂足分別為(D,E,F)，求(\frac{\sqrt{3}}{PD}+\frac{1}{PE}+\frac{\sqrt{3}}{PF})的最小值。14.（13分）已知正實(shí)數(shù)(a,b,c)滿足(a+b+c=3)。（1）求(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1})的最大值；（2）求證：(\frac{a^3}{b^2+c}+\frac{b^3}{c^2+a}+\frac{c^3}{a^2+b}\geq\frac{3}{2})；（3）若(a^2+b^2+c^2=5)，求(ab+bc+ca)的值，并判斷此時(shí)柯西不等式等號(hào)是否成立。15.（13分）（1）已知(x,y,z\in\mathbb{R}^+)，且(x+2y+3z=4)，求(x^2+y^2+z^2)的最小值及此時(shí)(x,y,z)的值；（2）設(shè)(a,b,c)為正數(shù)，且(a^2+b^2+c^2=1)，求證：(\frac{a}{1-a^2}+\frac{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}\geq\frac{3\sqrt{3}}{2})；（3）利用柯西不等式證明：對(duì)任意正整數(shù)(n)，(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<e<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1})（其中(e)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）。16.（13分）已知函數(shù)(f(x)=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{(x-2)^2+4})。（1）求(f(x))的最小值；（2）若關(guān)于(x)的不等式(\sqrt{x^2+a}+\sqrt{(x-2)^2+b}\geq\sqrt{13})對(duì)任意(x\in\mathbb{R})恒成立，求(a+b)的最小值；（3）設(shè)(a,b,c)為正數(shù)，且(a+b+c=1)，利用（1）的結(jié)論證明：(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\geq\sqrt{2})。四、附加題（共2小題，每題10分）17.已知(n)為正整數(shù)，(a_1,a_2,\cdots,a_n)為實(shí)數(shù)，且(\sum_{i=1}^na_i=0)，(\sum_{i=1}^na_i^2=1)。求證：存在(k\in{1,2,\cdots,n})，使得(|a_k|\leq\frac{1}{\sqrt{n}})。18.設(shè)(x_1,x_2,\cdots,x_n)為正數(shù)，且(\sum_{i=1}^nx_i=1)，求證：(\sum_{i=1}^n\frac{x_i^2}{1-x_i}\geq\frac{1}{n-1})。試題設(shè)計(jì)說明：覆蓋核心題型：包含柯西不等式的直接應(yīng)用（選擇1-3）、權(quán)方和不等式（選擇4、填空8）、幾何背景（填空9、解答13）、綜合證明（解答14-16）等，全面覆蓋高二數(shù)學(xué)柯西不等式的教