2025年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)每日一練（Day14）一、選擇題（共12題，每題5分，共60分）已知復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})，則其共軛復(fù)數(shù)(\overline{z})的虛部為（）A.(\frac{3}{2})B.(-\frac{3}{2})C.(\frac{1}{2})D.(-\frac{1}{2})解析：先對復(fù)數(shù)(z)進(jìn)行化簡：[z=\frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2+2i+i+i^2}{2}=\frac{1+3i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i]共軛復(fù)數(shù)(\overline{z}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i)，虛部為(-\frac{3}{2})，答案：B。已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec=(m,-1))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}+\vec))，則(m=)（）A.-10B.-5C.5D.10解析：(\vec{a}+\vec=(1+m,1))，由垂直條件得(\vec{a}\cdot(\vec{a}+\vec)=0)：[1\times(1+m)+2\times1=0\implies1+m+2=0\impliesm=-3]答案：無正確選項(xiàng)（題目可能存在印刷錯(cuò)誤，正確解為(m=-3)）。函數(shù)(f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right))的最小正周期和對稱軸方程分別為（）A.(\pi)，(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12}(k\in\mathbb{Z}))B.(2\pi)，(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12}(k\in\mathbb{Z}))C.(\pi)，(x=k\pi+\frac{\pi}{12}(k\in\mathbb{Z}))D.(2\pi)，(x=k\pi+\frac{\pi}{12}(k\in\mathbb{Z}))解析：周期(T=\frac{2\pi}{2}=\pi)；對稱軸滿足(2x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k\pi\impliesx=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12})，答案：A。已知等比數(shù)列({a_n})中，(a_2=2)，(a_5=16)，則公比(q=)（）A.(\sqrt{2})B.2C.4D.8解析：(a_5=a_2q^3\implies16=2q^3\impliesq^3=8\impliesq=2)，答案：B。雙曲線(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{m}=1(m>0))的離心率為(\frac{\sqrt{5}}{2})，則(m=)（）A.1B.2C.3D.4解析：(a^2=4)，(b^2=m)，(c^2=a^2+b^2=4+m)，離心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{4+m}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2})：[\sqrt{4+m}=\sqrt{5}\implies4+m=5\impliesm=1]答案：A。某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則體積為（）（注：此處默認(rèn)三視圖對應(yīng)一個(gè)棱長為2的正方體挖去一個(gè)半徑為1的半球）A.(8-\frac{2\pi}{3})B.(8-\pi)C.(16-\frac{2\pi}{3})D.(16-\pi)解析：正方體體積(2^3=8)，半球體積(\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}\pir^3=\frac{2\pi}{3})，幾何體體積(8-\frac{2\pi}{3})，答案：A。若(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\geq2\x-y\leq0\y\leq3\end{cases})，則(z=2x+y)的最大值為（）A.3B.5C.7D.9解析：可行域頂點(diǎn)為((1,1))、((3,3))、((-1,3))，代入(z)得：((1,1)):(z=3)((3,3)):(z=9)((-1,3)):(z=1)答案：D。已知(\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right))，(\tan\alpha=2)，則(\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=)（）A.(\frac{3\sqrt{10}}{10})B.(\frac{\sqrt{10}}{10})C.(-\frac{\sqrt{10}}{10})D.(-\frac{3\sqrt{10}}{10})解析：由(\tan\alpha=2)得(\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}})，(\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{5}})，[\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha+\sin\alpha)=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}]答案：A。設(shè)(m,n)是兩條不同直線，(\alpha,\beta)是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是（）A.若(m\parallel\alpha)，(n\parallel\alpha)，則(m\paralleln)B.若(m\perp\alpha)，(n\perp\alpha)，則(m\paralleln)C.若(m\parallel\alpha)，(m\parallel\beta)，則(\alpha\parallel\beta)D.若(m\parallel\alpha)，(\alpha\perp\beta)，則(m\perp\beta)解析：A.平行于同一平面的直線可能異面；B.垂直于同一平面的直線平行（線面垂直性質(zhì)定理）；C.平行于同一直線的平面可能相交；D.線面平行不必然推出線垂直于另一平面。答案：B。已知函數(shù)(f(x)=\lnx+\frac{1}{2}x^2-ax)在((0,+\infty))上單調(diào)遞增，則(a)的取值范圍是（）A.((-\infty,2])B.((-\infty,\sqrt{2}])C.([2,+\infty))D.([\sqrt{2},+\infty))解析：(f'(x)=\frac{1}{x}+x-a\geq0)恒成立，即(a\leqx+\frac{1}{x})，由均值不等式(x+\frac{1}{x}\geq2)，故(a\leq2)，答案：A。從5名男生和3名女生中選3人參加志愿者活動(dòng)，要求男女都有，則不同的選法種數(shù)為（）A.45B.56C.70D.80解析：總選法(\text{C}_8^3=56)，全男生選法(\text{C}_5^3=10)，全女生選法(\text{C}_3^3=1)，男女都有的選法(56-10-1=45)，答案：A。已知拋物線(y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，點(diǎn)(A(2,2))，(P)為拋物線上一點(diǎn)，則(|PA|+|PF|)的最小值為（）A.3B.4C.5D.6解析：拋物線準(zhǔn)線為(x=-1)，根據(jù)定義(|PF|=d)（(d)為(P)到準(zhǔn)線距離），(|PA|+|PF|=|PA|+d\geq)點(diǎn)(A)到準(zhǔn)線距離(2-(-1)=3)，答案：A。二、填空題（共4題，每題5分，共20分）函數(shù)(f(x)=\frac{\ln(x-1)}{\sqrt{4-x^2}})的定義域?yàn)開_______。解析：需滿足(\begin{cases}x-1>0\4-x^2>0\end{cases}\implies\begin{cases}x>1\-2<x<2\end{cases}\implies(1,2))答案：((1,2))已知(f(x))是奇函數(shù)，當(dāng)(x>0)時(shí)，(f(x)=x^2-2x)，則(f(-3)=)________。解析：(f(-3)=-f(3)=-(9-6)=-3)答案：(-3)在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對邊分別為(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(\cosC=-\frac{1}{4})，則(c=)________。解析：由余弦定理：[c^2=a^2+b^2-2ab\cosC=4+9-2\times2\times3\times\left(-\frac{1}{4}\right)=13+3=16\impliesc=4]答案：(4)已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}2^x,x\leq0\\log_2x,x>0\end{cases})，則(f(f(-1))=)；若(f(a)=1)，則(a=)。解析：(f(-1)=2^{-1}=\frac{1}{2})，(f(f(-1))=f\left(\frac{1}{2}\right)=\log_2\frac{1}{2}=-1)；(f(a)=1\implies\begin{cases}2^a=1\impliesa=0\\log_2a=1\impliesa=2\end{cases})答案：(-1)；(0)或(2)三、解答題（共6題，共70分）（10分）已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)。（1）證明：({a_n+1})是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和(S_n)。解析：（1）(a_{n+1}+1=2(a_n+1))，且(a_1+1=2)，故({a_n+1})是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列。（2）(a_n+1=2^n\impliesa_n=2^n-1)，[S_n=\sum_{k=1}^n(2^k-1)=\sum2^k-\sum1=2(2^n-1)-(n)=2^{n+1}-n-2]答案：（1）見解析；（2）(S_n=2^{n+1}-n-2)。（12分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對邊分別為(a,b,c)，已知(\sinA+\sinB=2\sinC)，且(c=2)。（1）求(a+b)的取值范圍；（2）若(\triangleABC)面積為(\frac{4}{3}\sqrt{3})，求角(C)。解析：（1）由正弦定理(a+b=2c=4)（題目條件可能存在錯(cuò)誤，若(\sinA+\sinB=2\sinC)，則(a+b=2c=4)，為定值）。（2）(S=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{4}{3}\sqrt{3})，由余弦定理(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC)，若(a+b=4)，則(ab=\frac{16-4}{2(1+\cosC)}=\frac{6}{1+\cosC})，代入面積公式：[\frac{1}{2}\times\frac{6}{1+\cosC}\times\sinC=\frac{4}{3}\sqrt{3}\implies\frac{3\sinC}{1+\cosC}=\frac{4}{3}\sqrt{3}]解得(C=\frac{\pi}{3})（過程略）。答案：（1）(a+b=4)；（2）(C=\frac{\pi}{3})。（12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)為(BC)中點(diǎn)。（1）求證：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求二面角(A-DC_1-C)的余弦值。解析：（1）連接(A_1C)交(AC_1)于(O)，則(O)為中點(diǎn)，(OD\parallelA_1B)，由線面平行判定定理得證。（2）建立空間直角坐標(biāo)系，(A(0,0,0))，(D(1,1,0))，(C_1(0,2,2))，(C(0,2,0))，平面(ADC_1)法向量(\vec{n_1}=(1,-1,1))，平面(DCC_1)法向量(\vec{n_2}=(1,0,0))，余弦值(\cos\theta=\frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3})。答案：（1）見解析；（2）(\frac{\sqrt{3}}{3})。（12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點(diǎn)((2,1))。（1）求橢圓(C)的方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓交于(A,B)兩點(diǎn)，(O)為原點(diǎn)，若(k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{4})，求證：(\triangleAOB)面積為定值。解析：（1）(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\impliesc=\frac{\sqrt{3}}{2}a)，(b^2=a^2-c^2=\frac{a^2}{4})，代入點(diǎn)((2,1))：(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{a^2}{4}}=1\impliesa^2=8)，(b^2=2)，橢圓方程：(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。（2）聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理及(k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{4})得(4m^2=a^2k^2+b^2=8k^2+2)，弦長公式及原點(diǎn)到直線距離得面積(S=\sqrt{2})（過程略）。答案：（1）(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)；（2）面積為(\sqrt{2})。（12分）某工廠生產(chǎn)一種零件，其質(zhì)量指標(biāo)(X)服從正態(tài)分布(N(100,\sigma^2))，若(P(X<98)=0.2)，(P(98\leqX\leq102)=0.6)。（1）求(\sigma)的值；（2）若從該零件中隨機(jī)抽取10個(gè)，求至少有2個(gè)零件質(zhì)量指標(biāo)在((102,+\infty))的概率。解析：（1）(P(X>102)=1-P(X<98)-P(98\leqX\leq102)=0.2)，由對稱性知(\mu=100)，(P(X<98)=\Phi\left(\frac{98-100}{\sigma}\right)=0.2\implies\sigma