2025年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)目標(biāo)設(shè)定評估試題一、選擇題（共10題，每題6分，共60分）已知函數(shù)$f(x)=\frac{\lnx}{x}+ax^2$在$x=1$處取得極值，且$f'(2)=3$，則實(shí)數(shù)$a$的值為（）A.$-1$B.$0$C.$1$D.$2$在等差數(shù)列${a_n}$中，$a_3+a_7=18$，前9項(xiàng)和$S_9=81$，則$a_5$的值為（）A.$7$B.$8$C.$9$D.$10$函數(shù)$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的最小正周期和對稱軸方程分別為（）A.$\pi$，$x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12}(k\in\mathbb{Z})$B.$2\pi$，$x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12}(k\in\mathbb{Z})$C.$\pi$，$x=k\pi+\frac{\pi}{12}(k\in\mathbb{Z})$D.$2\pi$，$x=k\pi+\frac{\pi}{12}(k\in\mathbb{Z})$已知空間向量$\vec{a}=(1,2,-1)$，$\vec=(m,1,3)$，若$\vec{a}\perp\vec$，則$m$的值為（）A.$-3$B.$-1$C.$1$D.$3$雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$的漸近線方程和離心率分別為（）A.$y=\pm\frac{3}{2}x$，$e=\frac{\sqrt{13}}{2}$B.$y=\pm\frac{2}{3}x$，$e=\frac{\sqrt{13}}{3}$C.$y=\pm\frac{3}{2}x$，$e=\frac{\sqrt{5}}{2}$D.$y=\pm\frac{2}{3}x$，$e=\frac{\sqrt{5}}{3}$函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$在區(qū)間$[-1,3]$上的最大值為（）A.$2$B.$0$C.$-2$D.$-4$在$\triangleABC$中，角$A,B,C$所對的邊分別為$a,b,c$，若$a=2$，$b=3$，$\cosC=\frac{1}{4}$，則$c$的值為（）A.$\sqrt{10}$B.$\sqrt{13}$C.$4$D.$5$已知正四棱錐的底面邊長為$2$，側(cè)棱長為$\sqrt{5}$，則該棱錐的體積為（）A.$\frac{4}{3}$B.$\frac{8}{3}$C.$4$D.$8$若數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，則$a_5$的值為（）A.$15$B.$31$C.$63$D.$127$拋物線$y^2=4x$上一點(diǎn)$P$到焦點(diǎn)的距離為$5$，則點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為（）A.$(4,4)$或$(4,-4)$B.$(5,2\sqrt{5})$或$(5,-2\sqrt{5})$C.$(3,2\sqrt{3})$或$(3,-2\sqrt{3})$D.$(2,2\sqrt{2})$或$(2,-2\sqrt{2})$二、填空題（共6題，每題5分，共30分）函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$的定義域?yàn)開_______，值域?yàn)開_______。曲線$y=x^3-2x+1$在點(diǎn)$(1,0)$處的切線方程為________。已知$\tan\alpha=2$，則$\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=$________。若直線$l:y=kx+1$與圓$C:x^2+y^2-2x-3=0$相切，則$k$的值為________。在$\triangleABC$中，$D$為$BC$中點(diǎn)，$\vec{AB}=\vec{a}$，$\vec{AC}=\vec$，則$\vec{AD}=$________（用$\vec{a},\vec$表示）。若函數(shù)$f(x)=\log_a(x+1)(a>0,a\neq1)$在區(qū)間$[0,1]$上的最大值與最小值之和為$2$，則$a$的值為________。三、解答題（共6題，共60分）（10分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，求：（1）函數(shù)$f(x)$的單調(diào)區(qū)間；（2）函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[-1,2]$上的最值。（10分）在等差數(shù)列${a_n}$中，$a_1=2$，公差$d=2$，數(shù)列${b_n}$滿足$b_n=2^{a_n}$。（1）求數(shù)列${a_n}$和${b_n}$的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列${b_n}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$。（10分）已知函數(shù)$f(x)=A\sin(\omegax+\varphi)(A>0,\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2})$的部分圖像如圖所示，其中最高點(diǎn)為$(\frac{\pi}{6},2)$，相鄰對稱軸之間的距離為$\frac{\pi}{2}$。（1）求函數(shù)$f(x)$的解析式；（2）求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[0,\frac{\pi}{2}]$上的取值范圍。（10分）如圖，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AB=AC=AA_1=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$D$為$BC$中點(diǎn)。（1）求證：$A_1D\perp$平面$BCC_1B_1$；（2）求直線$A_1B$與平面$ADC_1$所成角的正弦值。（10分）已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點(diǎn)$(2,1)$。（1）求橢圓$C$的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線$l:y=kx+m$與橢圓$C$交于$A,B$兩點(diǎn)，若$OA\perpOB$（$O$為坐標(biāo)原點(diǎn)），求$m$的取值范圍。（10分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件成本為$40$元，銷售單價(jià)為$60$元，每月可銷售$1000$件。為了擴(kuò)大銷售，工廠決定降價(jià)促銷，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，銷售單價(jià)每降低$1$元，每月銷量可增加$100$件。設(shè)銷售單價(jià)降低$x$元（$x\geq0$），每月利潤為$y$元。（1）求$y$與$x$的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月利潤最大？最大利潤為多少？參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題C2.C3.A4.B5.A6.A7.B8.A9.B10.A二、填空題$(-\infty,2)\cup(2,+\infty)$，$(-\infty,4)\cup(4,+\infty)$12.$y=x-1$13.$3$14.$\pm1$15.$\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec$16.$2$三、解答題（1）$f'(x)=3x^2-6x+2$，令$f'(x)=0$得$x=1\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$。單調(diào)遞增區(qū)間為$(-\infty,1-\frac{\sqrt{3}}{3})$，$(1+\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty)$；單調(diào)遞減區(qū)間為$(1-\frac{\sqrt{3}}{3},1+\frac{\sqrt{3}}{3})$。（5分）（2）$f(-1)=-5$，$f(1-\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{2\sqrt{3}}{9}+1$，$f(1+\frac{\sqrt{3}}{3})=-\frac{2\sqrt{3}}{9}+1$，$f(2)=1$。最大值為$1$，最小值為$-5$。（5分）（1）$a_n=2n$，$b_n=4^n$。（5分）（2）$S_n=\frac{4(4^n-1)}{3}$。（5分）（1）$A=2$，$\omega=2$，$\varphi=\frac{\pi}{6}$，$f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})$。（5分）（2）取值范圍為$[1,2]$。（5分）（1）證明：以$A$為原點(diǎn)，$AB,AC,AA_1$為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，$A_1(0,0,2)$，$D(1,1,0)$，$\vec{A_1D}=(1,1,-2)$，$\vec{BC}=(-2,2,0)$，$\vec{BB_1}=(0,0,2)$，$\vec{A_1D}\cdot\vec{BC}=0$，$\vec{A_1D}\cdot\vec{BB_1}=0$，故$A_1D\perp$平面$BCC_1B_1$。（5分）（2）直線$A_1B$與平面$ADC_1$所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$。（5分）（1）$a^2=8$，$b^2=2$，橢圓方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$。（5分）（2）$