專題05二次函數(shù)解答壓軸題

考點(diǎn)01函數(shù)中最值問題

2

1．（2024·四川樂山·中考真題）已知二次函數(shù)yx2x1xt1，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得最大值；當(dāng)x1

時(shí)，函數(shù)取得最小值，則t的取值范圍是（）

A．0t2B．0t4C．2t4D．t2

2．（2024·四川眉山·中考真題）定義運(yùn)算：aba2bab，例如4342343，則函數(shù)

yx12的最小值為（）

A．21B．9C．7D．5

3．（2023·四川樂山·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線yx2與x軸、y軸分別交于A、

B兩點(diǎn)，C、D是半徑為1的O上兩動(dòng)點(diǎn)CD2，且，P為弦CD的中點(diǎn)．當(dāng)C、D兩點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

PAB面積的最大值是（）

A．8B．6C．4D．3

4．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，M的圓心為M4，0，半徑為2，P是直線yx4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

過點(diǎn)P作M的切線，切點(diǎn)為Q，則PQ的最小值為

1

5．（2023·四川自貢·中考真題）如圖，直線yx2與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D是線段AB

3

4

上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)H是直線yx2上的一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Em，0，F(xiàn)m3，0，連接BE，DF，HD．當(dāng)BEDF

3

取最小值時(shí)，3BH5DH的最小值是．

考點(diǎn)02函數(shù)圖象中相關(guān)求解

1．（2023·四川資陽·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，D120，AD23厘米，AB43厘米，

點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)以每秒3厘米的速度，沿DCBA在平行四邊形的邊上勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A．設(shè)點(diǎn)P的

運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△ADP的面積為s平方厘米，下列圖中表示s與t之間函數(shù)關(guān)系的是（）

A．B．

C．D．

2．（2023·四川攀枝花·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線BCDA做勻速

運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，PAB的面積為y，下列圖象能表示y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）

A．B．

C．D．

3．（2023·四川·中考真題）向高為10的容器（形狀如圖）中注水，注滿為止，則水深h與注水量v的函數(shù)

關(guān)系的大致圖象是（）

A．B．C．D．

4．（2023·四川遂寧·中考真題）如圖，在VABC中，AB10，BC6，AC8，點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，

以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B移動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止．過點(diǎn)P作PMAC于點(diǎn)M、作PNBC

于點(diǎn)N，連接MN，線段MN的長(zhǎng)度y與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則函數(shù)圖象最低點(diǎn)

E的坐標(biāo)為（）

24322432

A．5，5B．6,C．,D．,5

5555

5．（2024·四川涼山·中考真題）勻速地向如圖所示的容器內(nèi)注水，直到把容器注滿．在注水過程中，容器內(nèi)

水面高度h隨時(shí)間t變化的大致圖象是（）

A．B．C．D．

6．（2024·四川廣安·中考真題）向如圖所示的空容器內(nèi)勻速注水，從水剛接觸底部時(shí)開始計(jì)時(shí)，直至把容器

注滿．在注水過程中，設(shè)容器內(nèi)底部所受水的壓強(qiáng)為y（單位：帕），時(shí)間為x（單位：秒），則y關(guān)于x的

函數(shù)圖象大致為（）

A．B．

C．D．

、

7．（2023·四川廣安·中考真題）為了降低成本，某出租車公司實(shí)施了“油改氣”措施．如圖，y1y2分別表示

燃油汽車和燃?xì)馄囁栀M(fèi)用y（單位：元）與行駛路程S（單位：千米）的關(guān)系，已知燃油汽車每千米所

需的費(fèi)用比燃?xì)馄嚸壳姿璧馁M(fèi)用的3倍少0.1元，設(shè)燃?xì)馄嚸壳姿璧馁M(fèi)用為x元，則可列方程

為（）

2510251025102510

A．B．C．D．

x3x0.1x3x0.13x0.1x3x0.1x

8．（2023·四川自貢·中考真題）如圖1，小亮家?報(bào)亭?羽毛球館在一條直線上．小亮從家跑步到羽毛球館打

羽毛球，再去報(bào)亭看報(bào)，最后散步回家．小亮離家距離y與時(shí)間x之間的關(guān)系如圖2所示．下列結(jié)論錯(cuò)誤的

是（）

A．小亮從家到羽毛球館用了7分鐘B．小亮從羽毛球館到報(bào)亭平均每分鐘走75米

C．報(bào)亭到小亮家的距離是400米D．小亮打羽毛球的時(shí)間是37分鐘

9．（2024·四川廣元·中考真題）如圖①，在VABC中，ACB90，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿A→C→B以1cm/s

2

的速度勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B，圖②是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，ABP的面積ycm隨時(shí)間x（s）變化的函數(shù)圖象，則該三

角形的斜邊AB的長(zhǎng)為（）

A．5B．7C．32D．23

10．（2025·四川成都·中考真題）小明從家跑步到體育館，在那里鍛煉了一段時(shí)間后又跑步到書店買書，然

后步行回家（小明家、書店、體育館依次在同一直線上），如圖表示的是小明離家的距離與時(shí)間的關(guān)系．下

列說法正確的是（）

A．小明家到體育館的距離為2kmB．小明在體育館鍛煉的時(shí)間為45min

C．小明家到書店的距離為1kmD．小明從書店到家步行的時(shí)間為40min

考點(diǎn)03二次函數(shù)中多結(jié)論問題

1．（2023·四川成都·中考真題）如圖，二次函數(shù)yax2x6的圖象與x軸交于A(3,0)，B兩點(diǎn)，下列說

法正確的是（）

1

A．拋物線的對(duì)稱軸為直線x1B．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,6

2

C．A，B兩點(diǎn)之間的距離為5D．當(dāng)x1時(shí)，y的值隨x值的增大而增大

2．（2023·四川涼山·中考真題）已知拋物線yax2bxca0的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確

的是（）

A．a(chǎn)bc0B．4a2bc0C．3ac0D．a(chǎn)m2bma0（m為實(shí)數(shù)）

3．（2023·四川達(dá)州·中考真題）如圖，拋物線yax2bxc（a,b,c為常數(shù)）關(guān)于直線x1對(duì)稱．下列五個(gè)

結(jié)論：①abc0；②2ab0；③4a2bc0；④am2bmab；⑤3ac0．其中正確的有（）

A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)

2

4．（2023·四川資陽·中考真題）如圖，拋物線yaxbxca0的對(duì)稱軸為直線x2，且過點(diǎn)1,0．現(xiàn)

2

有以下結(jié)論：①abc0；②5ac0；③對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，都有2bbm4aam；④若點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,y2

是圖象上任意兩點(diǎn)，且x12x22，則y1y2，其中正確的結(jié)論是（）

A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④

5．（2023·四川雅安·中考真題）如圖，二次函數(shù)yax2bxc的圖象與x軸交于A2,0，B兩點(diǎn)，對(duì)稱軸

是直線x2，下列結(jié)論中，①a0；②點(diǎn)B的坐標(biāo)為6,0；③c3b；④對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，都有

4a2bam2bm，所有正確結(jié)論的序號(hào)為（）

A．①②B．②③C．②③④D．③④

6．（2023·四川·中考真題）已知拋物線yax2bxc（a，b，c是常數(shù)且a0）過1,0和m,0兩點(diǎn)，

2

且3m4，下列四個(gè)結(jié)論：①abc0；②3ac0；③若拋物線過點(diǎn)1,4，則1a；④關(guān)于x的

3

方程ax1xm3有實(shí)數(shù)根，則其中正確的結(jié)論有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

7．（2023·四川樂山·中考真題）如圖，拋物線yax2bxc經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)、B(m,0)，且1m2，有下列

25

結(jié)論：①b0；②ab0；③0ac；④若點(diǎn)C,y1,D,y2在拋物線上，則y1y2．其中，正

33

確的結(jié)論有（）

A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)

8．（2023·四川眉山·中考真題）如圖，二次函數(shù)yax2bxca0的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為1,0，

對(duì)稱軸為直線x1，下列四個(gè)結(jié)論：①abc0；②4a2bc0；③3ac0；④當(dāng)3x1時(shí)，

ax2bxc0；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

12

9．（2023·四川巴中·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，直線ykx1與拋物線yx交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)

4

Ax1,y1，Bx2,y2則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）

①x1x24，

2

②y1y24k2，

③當(dāng)線段AB長(zhǎng)取最小值時(shí)，則VAOB的面積為2

④若點(diǎn)N(0,1)，則ANBN

A．1B．2C．3D．4

10．（2023·四川遂寧·中考真題）拋物線yax2bxca0的圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線x2．下列

2≥

說法：①abc0；②c3a0；③4a2abatatb（t為全體實(shí)數(shù)）；④若圖象上存在點(diǎn)Ax1,y1和點(diǎn)

Bx2,y2，當(dāng)mx1x2m3時(shí)，滿足y1y2，則m的取值范圍為5m2．其中正確的個(gè)數(shù)有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

11．（2023·四川廣安·中考真題）如圖所示，二次函數(shù)yax2bxc(a、b、c為常數(shù)，a0)的圖象與x軸交

于點(diǎn)A3,0,B1,0．有下列結(jié)論：①abc0；②若點(diǎn)2,y1和0.5,y2均在拋物線上，則y1y2；

③5abc0；④4ac0．其中正確的有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

2

12．（2024·四川雅安·中考真題）已知一元二次方程axbxc0有兩實(shí)根x11，x23，且abc0，則

下列結(jié)論中正確的有（）

4c

①2ab0；②拋物線yax2bxc的頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,；

3

③a<0；④若mamb4a2b，則0m1．

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

2

13．（2024·四川·中考真題）二次函數(shù)yaxbxca0的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：①c0；

b

②0；③當(dāng)1x3時(shí)，y0．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

2a

A．①②B．①③C．②③D．①②③

2

14．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知拋物線yaxbxc過點(diǎn)C0,2與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，

x2，且1x10，2x23，則下列結(jié)論：

①abc<0；

②方程ax2bxc20有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

③ab0；

2

④a；

3

⑤b24ac4a2．其中正確的結(jié)論有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

2

15．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，二次函數(shù)yaxbxca0的圖象與x軸交于點(diǎn)A3,0，與y軸

交于點(diǎn)B，對(duì)稱軸為直線x1，下列四個(gè)結(jié)論：①bc0；②3a2c0；③ax2bxab；④若2c1，

84

則abc，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

33

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4

16．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，二次函數(shù)yax2bxc（a，b，c為常數(shù)，a0）的圖象與x軸

31

交于點(diǎn)A,0，對(duì)稱軸是直線x，有以下結(jié)論：①abc<0；②若點(diǎn)1,y1和點(diǎn)2,y2都在拋物線

22

11

上，則yy；③am2bmab（m為任意實(shí)數(shù)）；④3a4c0．其中正確的有（）

1242

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

2

17．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，拋物線yaxbxca0的圖象交x軸于點(diǎn)A3,0、B1,0，

交y軸于點(diǎn)C．以下結(jié)論：①abc0；②a3b2c0；③當(dāng)以點(diǎn)A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三

297

角形時(shí)，c7；④當(dāng)c3時(shí)，在△AOC內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P，若OP2，則CPAP的最小值為．其中

33

正確結(jié)論有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

18．（2024·四川遂寧·中考真題）如圖，已知拋物線yax2bxc（a、b、c為常數(shù)，且a0）的對(duì)稱軸為

直線x=1，且該拋物線與x軸交于點(diǎn)A1,0，與y軸的交點(diǎn)B在0,2，0,3之間（不含端點(diǎn)），則下列

結(jié)論正確的有多少個(gè)（）

①abc0；

②9a3bc0；

2

③a1；

3

④若方程ax2bxcx1兩根為m,nmn，則3m1n．

A．1B．2C．3D．4

2

19．（2025·四川樂山·中考真題）已知二次函數(shù)yx4xm的圖象經(jīng)過Ax1,y1、Bx2,y2兩點(diǎn)，有下列

結(jié)論：

①二次函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線x2；

②當(dāng)m4時(shí)，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

③若y1y2，則x12x22；

④當(dāng)x2時(shí)，二次函數(shù)的圖象與y2x1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則1m0．

其中，正確的結(jié)論有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

2

20．（2025·四川宜賓·中考真題）如圖，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知二次函數(shù)yaxbxca0的圖象與x軸交

于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸為直線x2，其中A2,0,B0,c，且3c2．以

22

下結(jié)論：①abc0；②b1；③ACD是鈍角三角形；④若方程axb2xc0的兩根為x1、

3

x2x1x2，則2x1427，6x2427．其中正確結(jié)論有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

21．（2025·四川德陽·中考真題）已知拋物線yax2bxc（a，b，c是常數(shù)，a0）過點(diǎn)1,0,m,0，且

2m3，該拋物線與直線ykxc（k，c是常數(shù)，k0）相交于Ax1,y1,Bx2,y2兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B

b

左側(cè)）．下列說法：①bc0；②3ab0；③點(diǎn)A是點(diǎn)A關(guān)于直線x的對(duì)稱點(diǎn)，則3AA4；④

2a

2

當(dāng)x24時(shí)，不等式ax(bk)x0的解集為0x4．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

22．（2025·四川眉山·中考真題）如圖1，在Rt△ABC中，C90，點(diǎn)D在AC上，CD2，動(dòng)點(diǎn)P在

Rt△ABC的邊上沿CBA方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止，以DP為邊作

正方形DPEF．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，正方形DPEF的面積為S．當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，如圖2，

S是關(guān)于t的二次函數(shù)．在3個(gè)時(shí)刻t1，t2，t3t1t2t3對(duì)應(yīng)的正方形DPEF的面積均相等．下列4個(gè)結(jié)論：

2

①當(dāng)t1時(shí)，S3；②點(diǎn)P在線段BA上時(shí)S2t16t34；③AD42；④t1t24．其中正確結(jié)論的

個(gè)數(shù)為（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

23．（2025·四川廣安·中考真題）如圖，二次函數(shù)yax2bxc（a，b，c為常數(shù)，a0）的圖象交x軸于

A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是1,0，點(diǎn)B的坐標(biāo)是n,0，有下列結(jié)論：①abc0；②4ac2b；③關(guān)于x

2bn1

的方程axbxc0的解是x11，x2n；④．其中正確的有（）

2a2

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

24．（2025·四川遂寧·中考真題）如圖，已知拋物線yax2bxc（a、b、c為常數(shù)，且a0）的對(duì)稱軸是

直線x1，且拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是4,0，與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是0,m且2m3．有下列結(jié)論：

9272

①abc0；②9a3bc0；③y最大值；④關(guān)于x的一元二次方程axb1xc20必有兩個(gè)

48

2

不相等實(shí)根；⑤若點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3在拋物線yaxbxc上，且

3

nxn1xn2xn3，當(dāng)yyy時(shí)，則n的取值范圍為n0．其中正確的有（）

1231322

A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)

25．（2025·四川涼山·中考真題）二次函數(shù)yax2bxc的部分圖像如圖所示，其對(duì)稱軸為x2，且圖像

經(jīng)過點(diǎn)6,0，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A．bc0

B．4ab0

22

C．若ax1bx1ax2bx2且x1x2，則x1x24

2

D．若1,y1,3,y2兩點(diǎn)都在拋物線yaxbxc的圖像上，則y2y1

2

26．（2025·四川達(dá)州·中考真題）如圖，拋物線yaxbxca0與x軸交于點(diǎn)A(1,0)，點(diǎn)B(3,0)，下列

結(jié)論：①abc0；②4ab0；③b24ac0；④abc0．正確的個(gè)數(shù)為（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

27．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，拋物線yax2bxc經(jīng)過點(diǎn)A3,0，頂點(diǎn)為M1,m，且拋物線

與y軸的交點(diǎn)B在0，2和0，3之間（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論：

①當(dāng)3x1時(shí)，y0；

333

②當(dāng)ABM的面積為時(shí)，a；

22

③當(dāng)ABM為直角三角形時(shí)，在VAOB內(nèi)存在唯一點(diǎn)P，使得PAPOPB的值最小，最小值的平方為

1893．

其中正確的結(jié)論是．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）

考點(diǎn)04函數(shù)中定義新運(yùn)算問題

3x1x為奇數(shù)

1．（2025·四川內(nèi)江·中考真題）對(duì)于正整數(shù)x，規(guī)定函數(shù)fx1．在平面直角坐標(biāo)系中，

xx為偶數(shù)

2

將點(diǎn)m,n中的m，n分別按照上述規(guī)定，同步進(jìn)行運(yùn)算得到新的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)（其中m，n均為正整數(shù)）．例

如，點(diǎn)8,5經(jīng)過第1次運(yùn)算得到點(diǎn)4,16．經(jīng)過第2次運(yùn)算得到點(diǎn)2,8，經(jīng)過第3次運(yùn)算得到點(diǎn)1,4，經(jīng)過

有限次運(yùn)算后，必進(jìn)入循環(huán)圈，按上述規(guī)定，將點(diǎn)2,1經(jīng)過第2025次運(yùn)算后得到點(diǎn)是（）

A．2,1B．4,2C．1,2D．1,4

111

2．（2024·四川廣元·中考真題）若點(diǎn)Qx,y滿足，則稱點(diǎn)Q為“美好點(diǎn)”，寫出一個(gè)“美好點(diǎn)”的坐

xyxy

標(biāo)．

3．（2024·四川樂山·中考真題）定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都小于或等于1的點(diǎn)叫做這個(gè)函數(shù)圖象

的“近軸點(diǎn)”．例如，點(diǎn)0,1是函數(shù)yx1圖象的“近軸點(diǎn)”．

（1）下列三個(gè)函數(shù)的圖象上存在“近軸點(diǎn)”的是（填序號(hào)）；

2

①yx3；②y；③yx22x1．

x

（2）若一次函數(shù)ymx3m圖象上存在“近軸點(diǎn)”，則m的取值范圍為．

4．（2023·四川樂山·中考真題）定義：若x，y滿足x24yt,y24xt且xy（t為常數(shù)），則稱點(diǎn)M(x,y)

為“和諧點(diǎn)”．

（1）若P(3,m)是“和諧點(diǎn)”，則m．

k

（2）若雙曲線y(3x1)存在“和諧點(diǎn)”，則k的取值范圍為．

x

5．（2023·四川巴中·中考真題）規(guī)定：如果兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么稱這兩個(gè)函數(shù)互為“Y函數(shù)”．例

k

如：函數(shù)y=x+3與yx3互為“Y函數(shù)”．若函數(shù)yx2(k1)xk3的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，

4

則它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．

考點(diǎn)05函數(shù)中規(guī)律探索類問題

1

1．（2023·四川達(dá)州·中考真題）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形，曲線DABCDA是由多段90

211112

的圓心角的圓心為，半徑為CB；的圓心為，半徑為的圓心依次為

C1C1D1DDC1,DA1、A1B1、B1C1、C1D1

A、B、C、D循環(huán)，則的長(zhǎng)是（）

A2023B2023

40452023

A．B．2023C．D．2022

24

2．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABy軸，垂足為點(diǎn)B，將ABO繞點(diǎn)A逆時(shí)

3

針旋轉(zhuǎn)到VABO的位置，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B落在直線yx上，再將VABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到ABO

1114111112

3

的位置，使點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O也落在直線yx上，如此下去，……，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為0,3，則點(diǎn)B的

12437

坐標(biāo)為（）．

A．180,135B．180,133C．180,135D．180,133

、、、、、

3．（2023·四川廣安·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1A2A3A4在x軸的正半軸上，點(diǎn)B1B2B3

3△、△、△

在直線yxx0上，若點(diǎn)A1的坐標(biāo)為2,0，且A1B1A2A2B2A3A3B3A4均為等邊三角形．則

3

點(diǎn)B2023的縱坐標(biāo)為．

33

4．（2024·四川廣安·中考真題）已知，直線l:yx與x軸相交于點(diǎn)A1，以O(shè)A1為邊作等邊三角形OA1B1，

33

點(diǎn)B1在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)B1作x軸的平行線與直線l交于點(diǎn)A2，與y軸交于點(diǎn)C1，以C1A2為邊作等邊三角

形C1A2B2（點(diǎn)B2在點(diǎn)B1的上方），以同樣的方式依次作等邊三角形C2A3B3，等邊三角形C3A4B4，則點(diǎn)A2024

的橫坐標(biāo)為．

323

5．（2025·四川德陽·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A2,0，B0,23，點(diǎn)C在直線m:yx

33

上，且AC3，連接AB，BC，將VABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A1B1C1，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B1落在直線m上，

再將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)也落在直線上．如此下去，，則的縱

△A1B1C1B1A2B2C2A1A2m…A1001．

坐．標(biāo)．是．

6．（2025·四川眉山·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，用12個(gè)以點(diǎn)O為公共頂點(diǎn)的相似三角形組成

形如海螺的圖案，若OA1，OAB90，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為

考點(diǎn)06二次函數(shù)綜合中定值問題

1．（2023·四川綿陽·中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過△AOD的三個(gè)頂點(diǎn)，其中O為原點(diǎn)，A2,4，D6,0，

點(diǎn)F在線段AD上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G在直線AD上方的拋物線上，GFAO，GEDO于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)I，AH

平分OAD，C2,4，AHCH于點(diǎn)H，連接FH．

(1)求拋物線的解析式及△AOD的面積；

(2)當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)至拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求AFH的面積；

FG

(3)試探究的值是否為定值？如果為定值，求出該定值；不為定值，請(qǐng)說明理由．

GI

2．（2023·四川·中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)yax2bx4的圖象與x軸交于

點(diǎn)A2,0，B4,0，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的解析式；

(2)已知E為拋物線上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線對(duì)稱軸l上一點(diǎn)，以B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，

且BFE90，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；

(3)如圖2，P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接AP交y軸于點(diǎn)M，連接BP并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)N，在點(diǎn)P運(yùn)

1

動(dòng)過程中，OMON是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

2

3．（2023·四川南充·中考真題）如圖1，拋物線yax2bx3（a0）與x軸交于A1,0，B3,0兩點(diǎn)，

與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2，拋物線頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)K1,3的直線（直線KD除外）與拋物線交于G，

H兩點(diǎn)，直線DG，DH分別交x軸于點(diǎn)M，N．試探究EMEN是否為定值，若是，求出該定值；若不是，

說明理由．

2

4．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線L：yax2ax3aa0與x軸

交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），其頂點(diǎn)為C，D是拋物線第四象限上一點(diǎn)．

(1)求線段AB的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)a1時(shí)，若ACD的面積與△ABD的面積相等，求tanABD的值；

(3)延長(zhǎng)CD交x軸于點(diǎn)E，當(dāng)ADDE時(shí)，將ADB沿DE方向平移得到AEB．將拋物線L平移得到拋物

線L，使得點(diǎn)A，B都落在拋物線L上．試判斷拋物線L與L是否交于某個(gè)定點(diǎn)．若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；

若不是，請(qǐng)說明理由．

5．（2025·四川自貢·中考真題）如圖，在VABC中，D,E分別是AC,AB的中點(diǎn)，連接DE，CE,BD交于點(diǎn)

G．

1

(1)若BDCE，BD1，CE，則四邊形BCDE的面積為___________；

2

3

(2)若BDCE，VABC的最大面積為S．設(shè)BDx，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；

2

(3)若（2）問中x取任意實(shí)數(shù)，將函數(shù)S的圖象依次向右、向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y的圖象．直

：

線yk1xk1交該圖象于點(diǎn)F，H（F點(diǎn)在H點(diǎn)左邊），過點(diǎn)H的直線lyk2xb交該圖象于另一點(diǎn)Q，

過點(diǎn)F,Q的直線與直線x1交于點(diǎn)K．若SHFKSHKQ，試問直線l是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；

若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．

考點(diǎn)07二次函數(shù)綜合中存在性問題

1．（2025·四川資陽·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸相交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的

左邊），與y軸相交于點(diǎn)C0,3，且拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,4．

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)P是拋物線上位于第四象限的一點(diǎn)，點(diǎn)D0,1，連接BC,DP相交于點(diǎn)E，連接PB．若CDE與△PBE

的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)M,N是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)M,N作直線BC的垂線段，垂足分別為G,H．是否存在點(diǎn)M,N，

使得以M,N,G,H為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，求該正方形的邊長(zhǎng)；若不存在，說明理由．

2．（2025·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線yax2bx過點(diǎn)1,3，且對(duì)稱軸

為直線x1，直線ykxk與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)k1時(shí)，直線AB與y軸交于點(diǎn)D，與直線x2交于點(diǎn)E．若拋物線y(xh)21與線段DE有公共

點(diǎn)，求h的取值范圍；

(3)過點(diǎn)C與AB垂直的直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，M，N分別是AB，PQ的中點(diǎn)．試探究：當(dāng)k變化時(shí)，

拋物線的對(duì)稱軸上是否存在定點(diǎn)T，使得TC總是平分MTN？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說

明理由．

15

3．（2025·四川南充·中考真題）拋物線yax22axa0與x軸交于A3,0，B兩點(diǎn)，N是拋物線頂

4

點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)．

(2)如圖1，拋物線上兩點(diǎn)Pm,y1，Qm2,y2，若PQ∥BN，求m的值．

(3)如圖2，點(diǎn)M1,5，如果不垂直于y軸的直線l與拋物線交于點(diǎn)G，H，滿足GMNHMN．探究

直線l是否過定點(diǎn)？若直線l過定點(diǎn)，求定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．

4．（2025·四川宜賓·中考真題）如圖，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知拋物線yx2bxc與x軸交于A、B兩點(diǎn)，

與y軸交于C點(diǎn)，其中A3,0,C0,3．

(1)求b、c的值；

(2)點(diǎn)D為拋物線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)BD，與直線AC交于點(diǎn)E，若DE：BE1：2，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)若F為拋物線的頂點(diǎn)，平移拋物線使得新頂點(diǎn)為Pm,nm1，若P又在原拋物線上，新拋物線與直線

x1交于點(diǎn)N，連結(jié)FP、PN，F(xiàn)PN120．探新拋物線與x軸是否存在兩個(gè)不同的交點(diǎn)．若存在，求出

這兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離；若不存在，請(qǐng)說明理由．

5．（2025·四川眉山·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yx2bxc關(guān)于直線x3對(duì)稱，與

x軸交于A1,0、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，連接BP，將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在

拋物線上，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在線段OC上是否存在點(diǎn)Q，使2AQ2CQ存在最小值？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及最小值；

若不存在，請(qǐng)說明理由．

1

6．（2025·四川廣安·中考真題）如圖，二次函數(shù)yx2bxc（b，c為常數(shù)）的圖象交x軸于A，B兩點(diǎn)，

3

交y軸于點(diǎn)C，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為9,0，點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,3，連接AC，BC．

(1)求拋物線的解析式．

(2)若點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PC，當(dāng)PCBOBC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

(3)將拋物線沿射線CA的方向平移210個(gè)單位長(zhǎng)度后得到新拋物線，點(diǎn)E在新拋物線上，點(diǎn)F是原拋物線

對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，若以點(diǎn)B，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

7．（2025·四川涼山·中考真題）如圖，二次函數(shù)yax2bxc的圖像經(jīng)過A3,0，B1,0，C0,3三點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P在直線AC下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)P到直線AC的最大距離；

(3)動(dòng)點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，作射線QA，若射線QA繞點(diǎn)Q逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90與拋物線交于點(diǎn)D，是否存

在點(diǎn)Q使AQQD？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

8．（2024·四川雅安·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)yax2bx3的圖象與x軸交于A1,0，

B3,0兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如圖①，若點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，

當(dāng)線段PQ的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(3)如圖②，在（2）的條件下，過點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)D，且CQD2OCQ．在y軸上是否存在

點(diǎn)E，使得BDE為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

9．（2024·四川廣元·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線F：yx2bxc經(jīng)過點(diǎn)A3,1，

與y軸交于點(diǎn)B0,2．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

CD

(2)在直線AB上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)C，連接OC交AB于點(diǎn)D，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；

OD

(3)作拋物線F關(guān)于直線y1上一點(diǎn)的對(duì)稱圖象F，拋物線F與F只有一個(gè)公共點(diǎn)E（點(diǎn)E在y軸右側(cè)），

G為直線AB上一點(diǎn)，H為拋物線F對(duì)稱軸上一點(diǎn)，若以B，E，G，H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求G

點(diǎn)坐標(biāo)．

10．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，拋物線yx2bxc與x軸交于點(diǎn)A3,0和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)

C0,3，點(diǎn)D在拋物線上．

(1)求該拋物線的解析式；

(2)當(dāng)點(diǎn)D在第二象限內(nèi)，且ACD的面積為3時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)在直線BC上是否存在點(diǎn)P，使△OPD是以PD為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

11．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，拋物線yx2bxc與直線yx2相交于A2，0,B3,m兩點(diǎn)，

與x軸相交于另一點(diǎn)C．

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A,B重合），過點(diǎn)P作直線PDx軸于點(diǎn)D，交直線AB于

點(diǎn)E，當(dāng)PE2ED時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)M使ABM的面積等于VABC面積的一半？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若

不存在，請(qǐng)說明理由．

12．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y2x6的圖象與x軸交于點(diǎn)A，

與y軸交于點(diǎn)B，拋物線yx2bxc經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，在第一象限的拋物線上取一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DCx

軸于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)E．

(1)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)是否存在點(diǎn)D，使得BDE和△ACE相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)F是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），過點(diǎn)F作x軸的垂線交AB于點(diǎn)G，連接DF，當(dāng)四

邊形EGFD為菱形時(shí)，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)．

13．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線yax2bx3經(jīng)過點(diǎn)A3,0，

與y軸交于點(diǎn)B，且關(guān)于直線x1對(duì)稱．

(1)求該拋物線的解析式；

(2)當(dāng)1xt時(shí)，y的取值范圍是0y2t1，求t的值；

(3)點(diǎn)C是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)D，在y軸上是否存在

點(diǎn)E，使得以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長(zhǎng)；若不存在，說明理由．

14．（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖1，拋物線yax2kx3與x軸交于點(diǎn)A3,0和點(diǎn)B1,0，與y軸

交于點(diǎn)C．點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2，連接AC，DC，直線AC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M，若點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上一點(diǎn)，且

S△PMC2S△DMC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱軸上位于點(diǎn)D上方的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)N，A，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角

形，若存在，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

332

15．（2023·四川資陽·中考真題）如圖，直線yx3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線yxbxc

44

經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)D是拋物線在第二象限內(nèi)的點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的平行線與直線AB交于點(diǎn)C，求DC的長(zhǎng)的最大值；

(3)點(diǎn)Q是線段AO上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PQ交y軸于點(diǎn)N．是否存在點(diǎn)P，

使ABQ與△BQN相似，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

16．（2023·四川甘孜·中考真題）已知拋物線yx2bxc與x軸相交于A1，0，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)

C0，3．

(1)求b，c的值；

(2)P為第一象限拋物線上一點(diǎn)，PBC的面積與ABC