2025年下學期高中數(shù)學預測卷十試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2＜0}，B={x|2x-3＞0}，則A∩B=（）A.（1，3/2）B.（3/2，2）C.（1，+∞）D.（2，+∞）函數(shù)f(x)=ln(x2-4x+3)的定義域是（）A.（-∞，1）∪（3，+∞）B.（1，3）C.（-∞，1]∪[3，+∞）D.[1，3]已知向量a=(2，3)，b=(m，-6)，且a⊥b，則m的值為（）A.-4B.4C.-9D.9已知sinα=3/5，α∈（π/2，π），則cos(α-π/4)=（）A.-√2/10B.√2/10C.7√2/10D.-7√2/10已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1=1，a3+a5=14，則公差d=（）A.1B.2C.3D.4某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A.12B.18C.24D.36執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x=2，則輸出的y=（）A.0B.1C.2D.3已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.a＞0，b＜0，c＞0，d＞0B.a＜0，b＜0，c＞0，d＞0C.a＜0，b＞0，c＜0，d＞0D.a＞0，b＞0，c＜0，d＜0已知雙曲線x2/a2-y2/b2=1（a＞0，b＞0）的離心率為√3，則其漸近線方程為（）A.y=±√2xB.y=±√3xC.y=±(√2/2)xD.y=±(√3/3)x從1，2，3，4，5這5個數(shù)字中隨機抽取3個數(shù)字，則這3個數(shù)字之和為偶數(shù)的概率是（）A.1/5B.2/5C.3/5D.4/5已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)（ω＞0，|φ|＜π/2）的最小正周期為π，且其圖像關(guān)于直線x=π/3對稱，則φ=（）A.-π/6B.π/6C.-π/3D.π/3已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+3x-1，若對于任意x1，x2∈[0，2]，都有|f(x1)-f(x2)|≤m成立，則實數(shù)m的最小值為（）A.0B.1C.2D.3二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知復數(shù)z=(1+i)/(1-i)，則|z|=______。已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3，則f(x)在區(qū)間[0，3]上的最大值為______。已知拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l，點P在拋物線上，且PF⊥l，則|PF|=______。在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=2，b=3，c=√7，則角C=______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）。（1）證明：數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的前n項和Sn。（本小題滿分12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cosA=4/5，b=5，c=3。（1）求a的值；（2）求sinB的值；（3）求△ABC的面積。（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2。（1）求證：平面PBC⊥平面PAB；（2）求三棱錐P-ABC的體積；（3）求二面角P-AC-B的余弦值。（本小題滿分12分）某工廠生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)1件A產(chǎn)品需要甲材料3kg，乙材料2kg；生產(chǎn)1件B產(chǎn)品需要甲材料1kg，乙材料3kg?，F(xiàn)有甲材料120kg，乙材料100kg。已知A產(chǎn)品每件售價100元，B產(chǎn)品每件售價80元。（1）設生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，寫出x，y滿足的約束條件；（2）如何安排生產(chǎn)才能使銷售收入最大？最大銷售收入是多少？（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）的離心率為√3/2，且過點（2，1）。（1）求橢圓C的方程；（2）設直線l：y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點，若OA⊥OB，求m2的取值范圍。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2+（2-a）x（a∈R）。（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個零點，求a的取值范圍；（3）當a=1時，設函數(shù)f(x)的兩個零點為x1，x2（x1＜x2），求證：x1+x2＞2。四、選考題（本大題共2小題，每小題10分，考生任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分）（選修4-4：坐標系與參數(shù)方程）在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為{x=2cosθ，y=sinθ（θ為參數(shù)）。以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos(θ+π/4)=√2。（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；（2）設點P是曲線C上的動點，求點P到直線l的距離的最大值。（選修4-5：不等式選講）已知函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-2|。（1）求不等式f(x)≥5的解集；（2）若關(guān)于x的不等式f(x)＜a的解集為空集，求實數(shù)a的取值范圍。參考答案及評分標準一、選擇題B2.A3.D4.A5.B6.C7.B8.B9.A10.C11.A12.C二、填空題114.615.216.π/3三、解答題（1）證明：因為an+1=2an+1，所以an+1+1=2(an+1)。又因為a1+1=2≠0，所以數(shù)列{an+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列。（5分）（2）解：由（1）知，an+1=2×2n-1=2n，所以an=2n-1。所以Sn=a1+a2+...+an=(21-1)+(22-1)+...+(2n-1)=(21+22+...+2n)-n=2(2n-1)/(2-1)-n=2n+1-n-2。（10分）（1）解：由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=52+32-2×5×3×4/5=25+9-24=10，所以a=√10。（3分）（2）解：因為cosA=4/5，0＜A＜π，所以sinA=3/5。由正弦定理得a/sinA=b/sinB，所以sinB=bsinA/a=5×3/5/√10=3√10/10。（7分）（3）解：△ABC的面積S=1/2bcsinA=1/2×5×3×3/5=9/2。（12分）（1）證明：因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC。又因為AB⊥BC，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB。因為BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB。（4分）（2）解：三棱錐P-ABC的體積V=1/3S△ABC·PA=1/3×1/2×AB×BC×PA=1/3×1/2×2×2×2=4/3。（8分）（3）解：以A為原點，AB，AC，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2）。所以向量AC=（0，2，0），向量AP=（0，0，2）。設平面PAC的法向量為n=（x，y，z），則{n·AC=0，n·AP=0}，即{2y=0，2z=0}，令x=1，得n=（1，0，0）。平面ABC的一個法向量為m=（0，0，1）。所以cos〈n，m〉=n·m/|n||m|=0，所以二面角P-AC-B的余弦值為0。（12分）（1）解：x，y滿足的約束條件為{3x+y≤120，2x+3y≤100，x≥0，y≥0，x，y∈N}。（4分）（2）解：設銷售收入為z元，則z=100x+80y。作出可行域如圖所示，由z=100x+80y得y=-5/4x+z/80。平移直線y=-5/4x，當直線經(jīng)過點A（20，20）時，z取得最大值，zmax=100×20+80×20=3600。所以生產(chǎn)A產(chǎn)品20件，B產(chǎn)品20件時，銷售收入最大，最大銷售收入是3600元。（12分）（1）解：因為橢圓C的離心率為√3/2，所以c/a=√3/2，即c=√3/2a。又因為a2=b2+c2，所以a2=b2+3/4a2，即b2=1/4a2。因為橢圓C過點（2，1），所以4/a2+1/b2=1，即4/a2+4/a2=1，解得a2=8，所以b2=2。所以橢圓C的方程為x2/8+y2/2=1。（4分）（2）解：設A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立{y=kx+m，x2/8+y2/2=1}，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-8=0。所以x1+x2=-8km/(1+4k2)，x1x2=(4m2-8)/(1+4k2)。因為OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0。又因為y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，所以x1x2+k2x1x2+km（x1+x2）+m2=0，即（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0。所以（1+k2）（4m2-8）/(1+4k2)-8k2m2/(1+4k2)+m2=0，整理得5m2=8（1+k2），所以m2=8（1+k2）/5。因為直線l與橢圓C交于A，B兩點，所以△=（8km）2-4（1+4k2）（4m2-8）=64k2m2-16（1+4k2）（m2-2）=16[4k2m2-（1+4k2）（m2-2）]=16[4k2m2-m2+2-4k2m2+8k2]=16[8k2-m2+2]＞0，所以8k2-m2+2＞0，即8k2-8（1+k2）/5+2＞0，整理得32k2+2＞0，顯然成立。又因為m2=8（1+k2）/5≥8/5，所以m2的取值范圍是[8/5，+∞）。（12分）（1）解：函數(shù)f(x)的定義域為（0，+∞），f'(x)=1/x-2ax+（2-a）=（-2ax2+（2-a）x+1）/x=（-ax+1）（2x+1）/x。①當a≤0時，因為x＞0，所以-ax+1＞0，2x+1＞0，所以f'(x)＞0，所以函數(shù)f(x)在（0，+∞）上單調(diào)遞增。②當a＞0時，令f'(x)=0，得x=1/a。當0＜x＜1/a時，f'(x)＞0；當x＞1/a時，f'(x)＜0。所以函數(shù)f(x)在（0，1/a）上單調(diào)遞增，在（1/a，+∞）上單調(diào)遞減。（4分）（2）解：①當a≤0時，函數(shù)f(x)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)至多有一個零點，不符合題意。②當a＞0時，函數(shù)f(x)在（0，1/a）上單調(diào)遞增，在（1/a，+∞）上單調(diào)遞減，所以f(x)max=f(1/a)=ln(1/a)-a(1/a)2+（2-a）（1/a）=-lna-1/a+2/a-1=-lna+1/a-1。要使函數(shù)f(x)有兩個零點，需f(x)max＞0，即-lna+1/a-1＞0。令g(a)=-lna+1/a-1（a＞0），則g'(a)=-1/a-1/a2＜0，所以函數(shù)g(a)在（0，+∞）上單調(diào)遞減。又因為g(1)=-ln1+1/1-1=0，所以當0＜a＜1時，g(a)＞0；當a=1時，g(a)=0；當a＞1時，g(a)＜0。所以當0＜a＜1時，f(x)max＞0，函數(shù)f(x)有兩個零點。綜上，a的取值范圍是（0，1）。（8分）（3）證明：當a=1時，函數(shù)f(x)=lnx-x2+x。由（2）知，函數(shù)f(x)的兩個零點為x1，x2（0＜x1＜1＜x2）。令F(x)=f(x)-f(2-x)，x∈（0，1），則F'(x)=f'(x)+f'(2-x)=（1/x-2x+1）+（1/(2-x)-2(2-x)+1）=（1/x+1/(2-x)）-2x-2(2-x)+2=2/[x(2-x)]-4+2=2/[x(2-x)]-2。因為x∈（0，1），所以x(2-x)=-x2+2x=-(x-1)2+1＜1，所以2/[x(2-x)]＞2，所以F'(x)＞0，所以函數(shù)F(x)在（0，1）上單調(diào)遞增。因為0＜x1＜1，所以F(x1)＜F(1)=0，即f(x1)-f(2-x1)＜0，所以f(x1)＜f(2-x1)。因為f(x1)=f(x2)=0，所以f(x2)＜f(2-x1)。因為x2＞1，2-x1＞1，函數(shù)f(x)在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以x2＞2-x1，即x1+x2＞2。（12分）（1）解：曲線C的普通方程為x2/4+y2=1。直線l的極坐標方程為ρcos(θ+π/4)=√2，即ρcosθcosπ/4-ρsinθsinπ/4=√2，所以ρcosθ-ρsinθ=2，所以直線l的直角坐標方程為x-y-2=0。（5分）（2）解：設點P的坐標為（2cosθ，sinθ），則點P到直線l的距離d=|2cosθ-sinθ-2|/√2=|√5cos(θ+φ)-2|/√2，其中tanφ=1/2。當cos(θ+φ)=-1時，d取得最大值，dmax=|-√5-2|/√2=（√5+2）/√2=√10/2+√2。（10分）（1）解：當x＜-1時，f(x)=-(x+1)-(x