2025年下學期高中數(shù)學知識遷移應用試卷一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）函數(shù)與方程的遷移應用某新能源汽車制造商研發(fā)的新型電池能量密度(y)（單位：Wh/kg）與充電次數(shù)(x)的關系滿足函數(shù)(y=\frac{800}{1+e^{0.1x-5}}+200)。若要使電池能量密度保持在初始值的80%以上，則充電次數(shù)最多不應超過（）A.35次B.42次C.50次D.63次幾何與代數(shù)的綜合遷移在空間直角坐標系中，已知直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)的底面(ABC)為等腰直角三角形，(AB=AC=2)，側棱長(AA_1=3)。若點(P)為線段(B_1C)上的動點，則(AP+PC_1)的最小值為（）A.(\sqrt{26})B.(3\sqrt{3})C.(\sqrt{34})D.(5\sqrt{2})概率統(tǒng)計與實際問題的遷移某電商平臺根據(jù)用戶歷史數(shù)據(jù)建立消費預測模型：用戶購買商品的概率(P)與瀏覽時長(t)（單位：分鐘）的關系為(P=1-e^{-0.05t})。若隨機抽取100名瀏覽時長為20分鐘的用戶，記其中購買商品的人數(shù)為(X)，則(X)的方差為（）A.5B.10C.15D.20三角學與物理情境的遷移如圖1，秋千蕩到最高點時與鉛垂線夾角為(\theta)，已知秋千繩長為(L)，忽略空氣阻力，若秋千從靜止釋放后擺到最低點的時間為(T)，則(T)與(\theta)的函數(shù)關系為（）A.(T=\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{L}{g}})（與(\theta)無關）B.(T=\sqrt{\frac{L}{g}}\arccos(\cos\theta))C.(T=2\sqrt{\frac{L}{g}}\sin\frac{\theta}{2})D.(T=\sqrt{\frac{2L}{g(1-\cos\theta)}})數(shù)列與經(jīng)濟模型的遷移某企業(yè)進行技術改造，每年投入的研發(fā)資金成等比數(shù)列，已知第1年投入200萬元，第3年投入288萬元。設該數(shù)列的公比為(q)，若研發(fā)資金的年平均增長率為(r)，則(r=)（）A.(q-1)B.(\sqrt{q}-1)C.(q^2-1)D.(\lnq)向量與幾何證明的遷移在平行四邊形(ABCD)中，(\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a})，(\overrightarrow{AD}=\boldsymbol)，點(E)為(CD)中點，若(\overrightarrow{AE}\perp\overrightarrow{BE})，則(|\boldsymbol{a}|)與(|\boldsymbol|)的關系為（）A.(|\boldsymbol{a}|=2|\boldsymbol|)B.(|\boldsymbol{a}|=\sqrt{2}|\boldsymbol|)C.(|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol|)D.(|\boldsymbol{a}|=\frac{\sqrt{2}}{2}|\boldsymbol|)導數(shù)與優(yōu)化問題的遷移某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品(A)和(B)，生產(chǎn)(x)件(A)和(y)件(B)的成本函數(shù)為(C(x,y)=x^2+2y^2-xy+100)，若每天總產(chǎn)量固定為30件，則最低成本為（）A.400B.450C.500D.550立體幾何與空間想象的遷移某幾何體的三視圖如圖2所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.(12\pi)B.(16\pi)C.(20\pi)D.(24\pi)不等式與資源分配的遷移某農(nóng)場計劃種植甲、乙兩種作物，種植面積分別為(x)畝和(y)畝，已知每畝甲作物需化肥2kg，每畝乙作物需化肥3kg，且化肥總量不超過120kg。若甲作物每畝利潤為400元，乙作物每畝利潤為500元，則總利潤的最大值為（）A.20000元B.22000元C.24000元D.26000元復數(shù)與幾何變換的遷移設復數(shù)(z=a+bi)對應復平面上的點(Z)，將點(Z)繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)(60^\circ)后得到點(Z')，若(Z')對應的復數(shù)為(1+\sqrt{3}i)，則(|z|=)（）A.1B.2C.(\sqrt{3})D.(2\sqrt{3})函數(shù)建模與生態(tài)問題的遷移某湖泊治理后，藍藻數(shù)量(N(t))（單位：萬個/L）與時間(t)（單位：月）的關系為(N(t)=N_0e^{-kt})，已知治理后第1個月藍藻數(shù)量減少50%，則第6個月藍藻數(shù)量為初始值的（）A.(\frac{1}{32})B.(\frac{1}{64})C.(\frac{1}{128})D.(\frac{1}{256})矩陣與圖像變換的遷移若將平面直角坐標系中的點((x,y))經(jīng)過矩陣(\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix})變換后得到點((2,5))，則原坐標((x,y)=)（）A.((-1,1.5))B.((1,-0.5))C.((3,-2))D.((-2,2))二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）數(shù)列與算法的遷移執(zhí)行如圖3所示的程序框圖，若輸入(n=10)，則輸出的(S=)________。解析幾何與光學原理的遷移拋物線(y^2=4x)上一點(P)到焦點(F)的距離為5，若光線從(P)點出發(fā)經(jīng)(x)軸反射后經(jīng)過焦點(F)，則反射光線的斜率為________。立體幾何與體積計算的遷移在棱長為2的正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，點(M)為棱(BB_1)的中點，過(A,M,C_1)三點的平面截正方體所得截面的面積為________。概率與決策問題的遷移某投資項目有A、B兩個方案，收益（單位：萬元）的分布列如下：|方案|概率0.2|概率0.5|概率0.3||------|---------|---------|---------||A|-10|20|30||B|0|15|40|若以收益的期望值為決策依據(jù)，則應選擇方案________（填“A”或“B”）。三、解答題（共6小題，共70分）17.（10分）函數(shù)與物理情境的綜合遷移某物體做直線運動，速度(v(t)=t^2-4t+3)（單位：m/s），時間(t\in[0,4])。（1）求物體在(t=2)時的加速度；（2）求物體在([0,4])內(nèi)的位移。18.（12分）三角學與幾何證明的遷移在(\triangleABC)中，角(A,B,C)的對邊分別為(a,b,c)，已知(\sinA+\sinC=2\sinB)，且(b=2)。（1）求證：(a+c\leq4)；（2）若(\triangleABC)的面積為(\sqrt{3})，求(\cosB)。19.（12分）概率統(tǒng)計與社會調(diào)查的遷移某社區(qū)開展“垃圾分類”宣傳活動，隨機抽取100戶家庭進行調(diào)查，得到如下2×2列聯(lián)表：||支持|不支持|合計||----------|------|--------|------||年輕人|40|10|50||中老年人|25|25|50||合計|65|35|100|（1）根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認為“支持垃圾分類與年齡有關”；（2）從支持的65戶中按年齡分層抽樣選取13戶，再從這13戶中隨機抽取2戶，求至少有1戶為中老年人的概率。（參考公式：(K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)})，其中(n=a+b+c+d)）（臨界值表：(P(K^2\geq3.841)=0.05)）20.（12分）解析幾何與運動軌跡的遷移已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點((2,1))。（1）求橢圓(C)的方程；（2）過點(P(0,1))的直線(l)與橢圓(C)交于(A,B)兩點，若(Q)為線段(AB)的中點，求點(Q)的軌跡方程。21.（12分）導數(shù)與優(yōu)化問題的遷移某工廠生產(chǎn)一種精密儀器，已知生產(chǎn)(x)臺儀器的成本為(C(x)=20x+\frac{x^2}{100})（單位：萬元），銷售收入為(R(x)=50x-0.01x^2)（單位：萬元）。（1）求利潤函數(shù)(L(x))的表達式；（2）當產(chǎn)量(x)為何值時，利潤最大？并求出最大利潤。22.（12分）立體幾何與空間向量的遷移在直四棱柱(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，底面(ABCD)為菱形，(\angleBAD=60^\circ)，(AA_1=AB=2)，點(E)為棱(DD_1)的中點。（1）證明：(BD_1\perp)平面(AEC)；（2）求二面角(E-AC-D)的余弦值。參考答案及評分標準（部分）一、選擇題B2.C3.C4.A5.A6.BB8.D9.C10.B11.B12.A二、填空題5514.(\pm\sqrt{3})15.(3\sqrt{2})16.B三、解答題（部分詳解）17.（1）加速度(a(t)=v'(t)=2t-4)，當(t=2)時，(a=0)m/s2；（2）位移(s=\int_0^4(t^2-4t+3)dt=\left[\frac{t^3}{3}-2t^2+3t\right]_0^4=\frac{16}{3})m。19.（1）(K^2=\frac{100(40×25-10×25)^2}{50×50×65×35}\approx4.83>3.841)，有95%的把握認