2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)資格性考試試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題6分，共60分）已知函數(shù)$f(x)=\frac{\lnx}{x}$，則其在區(qū)間$(1,e)$上的單調(diào)性為（）A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.先增后減D.先減后增空間直角坐標(biāo)系中，向量$\vec{a}=(1,2,-3)$與$\vec=(2,m,1)$垂直，則$m$的值為（）A.-1B.0C.1D.2某外賣(mài)平臺(tái)騎手在一次配送中，需從A地到B地再到C地，其中A到B的距離為3km，B到C的距離為4km，若$\angleABC=90^\circ$，則A到C的最短路徑距離為（）A.5kmB.7kmC.$\sqrt{25-24\cos\theta}$km（$\theta$為可變角）D.無(wú)法確定已知復(fù)數(shù)$z$滿(mǎn)足$|z-2i|=3$，則$|z|$的最大值為（）A.3B.5C.$\sqrt{13}$D.不存在某學(xué)校為評(píng)估學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，其中喜歡函數(shù)模塊的有60人，喜歡幾何模塊的有50人，兩個(gè)模塊都喜歡的有30人，則兩個(gè)模塊都不喜歡的學(xué)生人數(shù)為（）A.10B.20C.30D.40函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$的最小正周期和最大值分別為（）A.$\pi$，1B.$2\pi$，$\sqrt{2}$C.$\pi$，$\sqrt{2}$D.$2\pi$，2在空間直角坐標(biāo)系中，平面$3x-2y+z-6=0$與平面$x+y-z+2=0$的交線(xiàn)方向向量可取為（）A.(1,4,5)B.(1,-4,5)C.(1,4,-5)D.(-1,4,5)某工廠(chǎng)生產(chǎn)的零件尺寸服從正態(tài)分布$N(50,4)$，則尺寸在區(qū)間$(48,54]$內(nèi)的概率約為（）（參考數(shù)據(jù)：$\Phi(1)=0.8413$，$\Phi(2)=0.9772$）A.0.8185B.0.9544C.0.8413D.0.9772已知數(shù)列${a_n}$滿(mǎn)足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，則其通項(xiàng)公式為（）A.$a_n=2^n-1$B.$a_n=2^{n+1}-1$C.$a_n=2^n+1$D.$a_n=2^{n-1}-1$數(shù)學(xué)史上，劉徽在《九章算術(shù)注》中提出的“割圓術(shù)”體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）A.極限思想B.分類(lèi)討論思想C.數(shù)形結(jié)合思想D.公理化思想二、填空題（本大題共6小題，每小題6分，共36分）函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$的定義域?yàn)開(kāi)_______，當(dāng)$x\to2$時(shí)的極限值為_(kāi)_______。已知拋物線(xiàn)$y^2=4x$的焦點(diǎn)為$F$，點(diǎn)$P(3,m)$在拋物線(xiàn)上，則$|PF|=$，過(guò)點(diǎn)$P$的切線(xiàn)方程為。某學(xué)校高二年級(jí)5個(gè)班的數(shù)學(xué)平均分分別為82，85，88，90，92，則這組數(shù)據(jù)的方差為_(kāi)_______，若每個(gè)班人數(shù)相同，從中隨機(jī)抽取兩個(gè)班的平均分作差，差的絕對(duì)值大于5的概率為_(kāi)_______。在$\triangleABC$中，角$A,B,C$所對(duì)的邊分別為$a,b,c$，若$a=3$，$b=4$，$\cosC=\frac{1}{5}$，則$c=$，$\sinA=$。已知矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}$，則$A$的逆矩陣$A^{-1}=$，行列式$|2A|=$。若關(guān)于$x$的不等式$x^2-ax+1>0$在$x\in[1,2]$上恒成立，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍為_(kāi)_______。三、解答題（本大題共6小題，共84分）（本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x$。（1）求函數(shù)$f(x)$的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[-1,2]$上的最大值和最小值；（3）若方程$f(x)=m$有三個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)$m$的取值范圍。（本小題滿(mǎn)分14分）如圖，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AB=AC=AA_1=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$D$為$BC$中點(diǎn)。（1）求證：$A_1D\perp$平面$B_1C_1D$；（2）求二面角$A_1-B_1D-C_1$的余弦值；（3）若點(diǎn)$E$在線(xiàn)段$A_1B_1$上，且$A_1E=\lambdaA_1B_1$，當(dāng)$DE\parallel$平面$ACC_1A_1$時(shí)，求$\lambda$的值。（本小題滿(mǎn)分14分）某電商平臺(tái)為提升用戶(hù)體驗(yàn)，對(duì)配送時(shí)間進(jìn)行優(yōu)化。已知某區(qū)域內(nèi)配送員甲、乙的日配送量分別服從正態(tài)分布$N(80,25)$和$N(70,16)$，單位：?jiǎn)?天。（1）求甲日配送量超過(guò)85單的概率及乙日配送量在62~78單的概率；（參考數(shù)據(jù)：$\Phi(1)=0.8413$，$\Phi(2)=0.9772$）（2）若該平臺(tái)從兩人中隨機(jī)選一人完成3天配送任務(wù)，記$X$為配送量超過(guò)80單的天數(shù)，求$X$的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)長(zhǎng)期數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲的配送準(zhǔn)時(shí)率為0.9，乙的配送準(zhǔn)時(shí)率為0.85，現(xiàn)有一緊急訂單需在1小時(shí)內(nèi)送達(dá)，平臺(tái)應(yīng)選擇哪位配送員更合適？說(shuō)明理由。（本小題滿(mǎn)分14分）已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過(guò)點(diǎn)$(2,1)$。（1）求橢圓$C$的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)$P(0,2)$的直線(xiàn)$l$與橢圓$C$交于$A,B$兩點(diǎn)，若以$AB$為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)$O$，求直線(xiàn)$l$的方程；（3）在（2）的條件下，求$\triangleAOB$的面積。（本小題滿(mǎn)分14分）已知數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，且滿(mǎn)足$S_n=2a_n-n$。（1）求數(shù)列${a_n}$的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)$b_n=\frac{a_n+1}{a_na_{n+1}}$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項(xiàng)和$T_n$；（3）若不等式$(-1)^n\lambda<T_n+\frac{n}{2^{n+1}}$對(duì)任意$n\in\mathbb{N}^*$恒成立，求實(shí)數(shù)$\lambda$的取值范圍。（本小題滿(mǎn)分16分）數(shù)學(xué)建模小組對(duì)校園內(nèi)共享單車(chē)使用情況進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)單車(chē)日均使用次數(shù)$y$與停放點(diǎn)到教學(xué)樓的距離$x$（單位：百米）滿(mǎn)足關(guān)系$y=\frac{k}{x^2}+m$（$k,m$為常數(shù)，$x>0$）。（1）若當(dāng)$x=1$時(shí)，$y=12$；當(dāng)$x=2$時(shí)，$y=5$，求$k,m$的值及日均使用次數(shù)的最大值；（2）為提高使用率，學(xué)校計(jì)劃在距離教學(xué)樓1~3百米內(nèi)新增一個(gè)停放點(diǎn)，要求該點(diǎn)日均使用次數(shù)不低于8次，求停放點(diǎn)距離$x$的取值范圍；（3）建模小組發(fā)現(xiàn)實(shí)際使用中還存在“高峰效應(yīng)”，即早7:00-9:00的使用次數(shù)占日均使用次數(shù)的$\frac{1}{3}+\frac{1}{x+1}$，若新增停放點(diǎn)距離為2百米，求早高峰時(shí)段的使用次數(shù)，并從優(yōu)化資源配置角度提出一