2025年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)建模初步試題一、選擇題（每題5分，共30分）數(shù)學(xué)建模的核心流程是（）A.問(wèn)題分析→模型假設(shè)→模型建立→模型求解→模型檢驗(yàn)→模型應(yīng)用B.數(shù)據(jù)收集→公式推導(dǎo)→計(jì)算求解→結(jié)果輸出C.問(wèn)題提出→文獻(xiàn)調(diào)研→算法設(shè)計(jì)→程序編寫(xiě)→結(jié)果可視化D.假設(shè)提出→統(tǒng)計(jì)分析→誤差修正→結(jié)論撰寫(xiě)在人口增長(zhǎng)模型中，若假設(shè)人口增長(zhǎng)率與當(dāng)前人口數(shù)量成正比，該模型屬于（）A.指數(shù)增長(zhǎng)模型（Malthus模型）B.Logistic模型C.線性回歸模型D.灰色預(yù)測(cè)模型某超市統(tǒng)計(jì)一周內(nèi)每天的銷售額（單位：萬(wàn)元）分別為：12.5,13.2,11.8,14.5,15.2,16.8,10.5，采用移動(dòng)平均法（窗口大小為3）預(yù)測(cè)下一天銷售額時(shí)，最近三個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為（）A.14.17萬(wàn)元B.14.23萬(wàn)元C.15.50萬(wàn)元D.13.85萬(wàn)元在建立線性回歸模型時(shí)，相關(guān)系數(shù)r的取值范圍及意義是（）A.[-1,1]，|r|越接近1表示線性相關(guān)性越強(qiáng)B.[0,1]，值越大表示因果關(guān)系越顯著C.[-∞,+∞]，絕對(duì)值越大表示擬合效果越好D.[0,100%]，表示解釋變量對(duì)因變量的貢獻(xiàn)率某學(xué)校為優(yōu)化課程表安排，需要考慮教師資源、教室容量、學(xué)生選課需求等因素，這類問(wèn)題屬于數(shù)學(xué)建模中的（）A.優(yōu)化問(wèn)題B.預(yù)測(cè)問(wèn)題C.決策問(wèn)題D.分類問(wèn)題在數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中，下列關(guān)于模型檢驗(yàn)的說(shuō)法正確的是（）A.只需驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果是否正確，無(wú)需考慮實(shí)際意義B.通過(guò)改變假設(shè)條件檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷姆€(wěn)定性屬于敏感性分析C.模型檢驗(yàn)必須使用真實(shí)數(shù)據(jù)，模擬數(shù)據(jù)無(wú)效D.當(dāng)模型誤差超過(guò)10%時(shí)，必須重新建立模型二、填空題（每題6分，共30分）某物體在冷卻過(guò)程中溫度變化滿足牛頓冷卻定律：dT/dt=-k(T-T?)，其中T(t)為物體溫度，T?為環(huán)境溫度，k為常數(shù)。若初始溫度T(0)=100℃，環(huán)境溫度T?=25℃，30分鐘后溫度降至60℃，則k的值為_(kāi)_____（精確到小數(shù)點(diǎn)后4位）。某城市2020-2024年的常住人口（單位：萬(wàn)人）數(shù)據(jù)為：230,238,245,253,260，采用線性回歸模型y=ax+b預(yù)測(cè)2025年人口時(shí)，回歸系數(shù)a=，b=。建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，常用的無(wú)量綱化方法有______、和（列舉三種）。在層次分析法（AHP）中，判斷矩陣需要通過(guò)______一致性檢驗(yàn)，當(dāng)一致性指標(biāo)CI______時(shí)，認(rèn)為矩陣具有滿意一致性。某傳染病模型中，將人群分為易感者（S）、感染者（I）、康復(fù)者（R）三類，該模型的簡(jiǎn)稱是______模型，其基本微分方程組為_(kāi)_____。三、簡(jiǎn)答題（每題10分，共20分）簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)建模中"模型假設(shè)"的作用及基本原則。某小區(qū)要規(guī)劃充電樁安裝位置，現(xiàn)有5個(gè)備選區(qū)域，需考慮居民步行距離、電力負(fù)荷、建設(shè)成本三個(gè)因素。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)層次分析法的結(jié)構(gòu)模型，畫(huà)出層次結(jié)構(gòu)圖并說(shuō)明各層包含的元素。四、建模應(yīng)用題（共70分）校園共享單車(chē)調(diào)度優(yōu)化問(wèn)題（35分）某高校內(nèi)投放了500輛共享單車(chē)，分布在8個(gè)校區(qū)站點(diǎn)。近期學(xué)生反映"高峰時(shí)段用車(chē)難"和"部分站點(diǎn)車(chē)輛積壓"問(wèn)題，后勤部門(mén)收集到以下數(shù)據(jù)：表1：工作日早高峰（7:00-9:00）各站點(diǎn)借還量統(tǒng)計(jì)|站點(diǎn)編號(hào)|1|2|3|4|5|6|7|8||----------|---|---|---|---|---|---|---|---||借車(chē)量（輛）|45|38|22|55|18|30|25|40||還車(chē)量（輛）|15|20|35|10|42|25|30|28|表2：各站點(diǎn)之間的平均距離（單位：米）|站點(diǎn)|1|2|3|4|5|6|7|8||------|---|---|---|---|---|---|---|---||1|0|300|800|500|1200|600|900|700||2|300|0|500|400|900|300|600|400||3|800|500|0|700|400|600|300|500||4|500|400|700|0|1000|500|800|600||5|1200|900|400|1000|0|800|500|700||6|600|300|600|500|800|0|300|200||7|900|600|300|800|500|300|0|300||8|700|400|500|600|700|200|300|0|已知每輛調(diào)度車(chē)一次可運(yùn)輸20輛單車(chē)，運(yùn)輸成本與距離成正比（1元/米·車(chē)），且早高峰前可調(diào)度時(shí)間為1小時(shí)（即需在7:00前完成調(diào)度）。（1）建立數(shù)學(xué)模型分析當(dāng)前站點(diǎn)的供需失衡情況，計(jì)算各站點(diǎn)的盈余/缺口數(shù)量；（2）以"最小化調(diào)度總成本"為目標(biāo)，建立車(chē)輛調(diào)度優(yōu)化模型（需明確變量、目標(biāo)函數(shù)及約束條件）；（3）若考慮調(diào)度時(shí)間限制（平均車(chē)速20公里/小時(shí)），模型需增加哪些約束條件？（4）簡(jiǎn)述模型求解后的應(yīng)用方案，包括調(diào)度路線建議及長(zhǎng)期優(yōu)化措施。學(xué)習(xí)時(shí)間分配與成績(jī)關(guān)系研究（35分）某高二班級(jí)40名學(xué)生的數(shù)學(xué)、物理、英語(yǔ)三科周學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)）及期末考試成績(jī)?nèi)缦卤恚ü?jié)選）：表3：部分學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)間與成績(jī)數(shù)據(jù)|學(xué)生編號(hào)|數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間|物理學(xué)習(xí)時(shí)間|英語(yǔ)學(xué)習(xí)時(shí)間|數(shù)學(xué)成績(jī)|物理成績(jī)|英語(yǔ)成績(jī)||----------|--------------|--------------|--------------|----------|----------|----------||1|12|8|10|92|85|88||2|8|10|12|78|90|95||3|6|6|8|65|70|75||4|15|12|6|95|92|70||...|...|...|...|...|...|...|（1）若要分析數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間與數(shù)學(xué)成績(jī)的關(guān)系，應(yīng)選擇何種模型？寫(xiě)出建模步驟并解釋模型參數(shù)意義；（2）建立多元線性回歸模型，分析三科學(xué)習(xí)時(shí)間對(duì)總成績(jī)（三科平均分）的影響，寫(xiě)出回歸方程的一般形式；（3）假設(shè)某學(xué)生每周可用于這三科的學(xué)習(xí)總時(shí)間為25小時(shí)，如何分配時(shí)間才能最大化總成績(jī)？建立優(yōu)化模型并說(shuō)明求解思路；（4）在模型檢驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)"學(xué)習(xí)時(shí)間超過(guò)15小時(shí)后成績(jī)提升不顯著"，如何修正模型以體現(xiàn)這一規(guī)律？五、開(kāi)放性建模題（30分）校園快遞包裝回收利用系統(tǒng)設(shè)計(jì)隨著電子商務(wù)發(fā)展，大學(xué)校園內(nèi)快遞數(shù)量激增，2024年某高校日均快遞量達(dá)5000件，產(chǎn)生大量紙箱、塑料包裝等廢棄物?，F(xiàn)需設(shè)計(jì)一個(gè)"快遞包裝回收-再利用"系統(tǒng)，考慮以下問(wèn)題：（1）分析校園快遞包裝的來(lái)源、種類及回收現(xiàn)狀；