2025年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)正態(tài)分布初步試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.下列關(guān)于正態(tài)分布的說(shuō)法中，正確的是（）A.正態(tài)分布的概率密度曲線一定關(guān)于y軸對(duì)稱B.若隨機(jī)變量X~N(μ,σ2)，則P(X≤μ)=0.5C.正態(tài)分布中的參數(shù)σ越大，曲線越“瘦高”D.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為φ(x)=1/(√(2π))e^(-(x-μ)2/(2σ2))2.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,4)，則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線的對(duì)稱軸為x=4B.P(X<3)=0.5C.σ=3D.該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)在x=3處取得最小值3.設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,1)，則P(-1<X≤1)的值約為（）A.0.6827B.0.9545C.0.9973D.0.47724.已知某班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布N(80,25)，則該班數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?5~85分之間的學(xué)生占比約為（）A.34.13%B.68.27%C.95.45%D.99.73%5.若隨機(jī)變量X~N(μ,σ2)，且P(X>μ+2σ)=0.0228，則P(X<μ-2σ)的值為（）A.0.0228B.0.0456C.0.9544D.0.97726.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(5,σ2)，若P(X>7)=0.2，則P(3≤X≤5)的值為（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.47.某廠生產(chǎn)的零件尺寸服從正態(tài)分布N(20,0.04)（單位：mm），若規(guī)定尺寸在(19.4,20.6]內(nèi)的零件為合格品，則合格品的概率約為（）A.0.6827B.0.9545C.0.9973D.0.99998.已知隨機(jī)變量X~N(μ,σ2)，且P(X≤μ-σ)=0.1587，則P(μ≤X≤μ+2σ)的值為（）A.0.3413B.0.4772C.0.8185D.0.95459.若隨機(jī)變量X~N(1,4)，Y=2X+3，則Y服從的正態(tài)分布為（）A.N(5,8)B.N(5,16)C.N(5,19)D.N(2,16)10.下列四個(gè)命題中，假命題是（）A.若X~N(μ,σ2)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a>0，P(μ-a<X<μ+a)隨a的增大而增大B.正態(tài)分布的概率密度曲線與x軸所圍成的面積為1C.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是偶函數(shù)D.若X~N(μ,σ2)，則σ越小，隨機(jī)變量X在μ附近取值的概率越小二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）11.已知隨機(jī)變量X~N(10,σ2)，且P(X<8)=0.2，則P(10≤X<12)=________。12.某地區(qū)高二學(xué)生的物理成績(jī)服從正態(tài)分布N(75,36)，若從中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，則該學(xué)生成績(jī)?cè)?1分以上的概率為_(kāi)_______。13.設(shè)隨機(jī)變量X~N(μ,σ2)，且P(X>μ+σ)=0.1587，P(X>μ+2σ)=0.0228，則P(μ-σ<X≤μ+2σ)=________。14.已知X~N(0,1)，且P(X≤a)=0.975，則a的值為_(kāi)_______（精確到0.01）。三、解答題（本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.（12分）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(5,9)，求：（1）P(X≤2)；（2）P(4<X≤7)；（3）P(|X-5|>3)。16.（13分）某中學(xué)高三學(xué)生的體重（單位：kg）服從正態(tài)分布N(55,25)，該校高三學(xué)生共有1000人，試估計(jì)：（1）體重在50~60kg之間的學(xué)生人數(shù)；（2）體重超過(guò)65kg的學(xué)生人數(shù)；（3）體重低于45kg的學(xué)生人數(shù)。17.（13分）已知隨機(jī)變量X~N(μ,σ2)，且P(X<4)=0.1，P(X>10)=0.2，求μ和σ的值（精確到0.01）。18.（14分）某商場(chǎng)的日銷售額（單位：萬(wàn)元）服從正態(tài)分布N(50,100)，若以95%的概率保證日銷售額在區(qū)間(a,b)內(nèi)，求a和b的值（精確到0.01）。19.（14分）某廠生產(chǎn)的電子元件壽命（單位：小時(shí)）服從正態(tài)分布N(1000,400)，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取25個(gè)元件，求：（1）單個(gè)元件壽命在980~1020小時(shí)之間的概率；（2）25個(gè)元件的平均壽命在990~1010小時(shí)之間的概率（提示：樣本均值服從N(μ,σ2/n)）。20.（16分）為了研究某型號(hào)電池的續(xù)航時(shí)間（單位：小時(shí)），隨機(jī)抽取100節(jié)電池進(jìn)行測(cè)試，得到續(xù)航時(shí)間服從正態(tài)分布N(20,4)。（1）求續(xù)航時(shí)間在18~22小時(shí)之間的電池?cái)?shù)量；（2）若規(guī)定續(xù)航時(shí)間低于16小時(shí)的電池為不合格品，求不合格品的概率；（3）若要使99%的電池續(xù)航時(shí)間在區(qū)間(20-a,20+a)內(nèi)，求a的值（精確到0.01）。參考答案及解析一、選擇題B解析：正態(tài)分布的對(duì)稱軸為x=μ，只有當(dāng)μ=0時(shí)才關(guān)于y軸對(duì)稱，A錯(cuò)誤；σ越大，曲線越“矮胖”，C錯(cuò)誤；標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的μ=0，σ=1，D錯(cuò)誤；由正態(tài)分布的對(duì)稱性知P(X≤μ)=0.5，B正確。B解析：X~N(3,4)，則對(duì)稱軸為x=3，σ=2，A、C錯(cuò)誤；概率密度函數(shù)在x=μ處取得最大值，D錯(cuò)誤；P(X<3)=0.5，B正確。A解析：X~N(0,1)，P(-1<X≤1)=Φ(1)-Φ(-1)=2Φ(1)-1≈2×0.8413-1=0.6826，A正確。B解析：μ=80，σ=5，75=μ-σ，85=μ+σ，P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6827，B正確。A解析：正態(tài)分布關(guān)于x=μ對(duì)稱，P(X>μ+2σ)=P(X<μ-2σ)=0.0228，A正確。C解析：對(duì)稱軸為x=5，P(X>7)=P(X<3)=0.2，P(3≤X≤5)=0.5-P(X<3)=0.5-0.2=0.3，C正確。C解析：μ=20，σ=0.2，19.4=μ-3σ，20.6=μ+3σ，P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9973，C正確。C解析：P(X≤μ-σ)=0.1587，則P(X≥μ+σ)=0.1587，P(μ≤X≤μ+2σ)=0.5-P(μ+σ<X<μ+2σ)=0.5-(0.4772-0.3413)=0.8185，C正確。B解析：E(Y)=2E(X)+3=2×1+3=5，D(Y)=4D(X)=4×4=16，故Y~N(5,16)，B正確。D解析：σ越小，曲線越“瘦高”，X在μ附近取值的概率越大，D錯(cuò)誤。二、填空題0.3解析：由對(duì)稱性知P(X>12)=P(X<8)=0.2，P(8≤X<12)=1-2×0.2=0.6，故P(10≤X<12)=0.6/2=0.3。0.1587解析：μ=75，σ=6，81=μ+σ，P(X>81)=1-Φ(1)=1-0.8413=0.1587。0.8185解析：P(μ-σ<X≤μ+2σ)=P(X≤μ+2σ)-P(X≤μ-σ)=0.9772-0.1587=0.8185。1.96解析：P(X≤a)=0.975，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得a≈1.96。三、解答題解：X~N(5,9)，則μ=5，σ=3。（1）P(X≤2)=Φ((2-5)/3)=Φ(-1)=1-Φ(1)=1-0.8413=0.1587；（2）P(4<X≤7)=Φ((7-5)/3)-Φ((4-5)/3)=Φ(0.67)-Φ(-0.33)≈0.7486-0.3707=0.3779；（3）P(|X-5|>3)=P(X<2或X>8)=2Φ(-1)=2×0.1587=0.3174。解：μ=55，σ=5，學(xué)生總數(shù)1000人。（1）50=μ-σ，60=μ+σ，概率≈0.6827，人數(shù)≈1000×0.6827≈683；（2）65=μ+2σ，P(X>65)=0.0228，人數(shù)≈1000×0.0228≈23；（3）45=μ-2σ，P(X<45)=0.0228，人數(shù)≈1000×0.0228≈23。解：由P(X<4)=Φ((4-μ)/σ)=0.1，得(4-μ)/σ≈-1.28；由P(X>10)=1-Φ((10-μ)/σ)=0.2，得(10-μ)/σ≈0.84；聯(lián)立解得μ≈7.16，σ≈2.47。解：μ=50，σ=10，95%對(duì)應(yīng)的區(qū)間為(μ-1.96σ,μ+1.96σ)，a=50-1.96×10=30.40，b=50+1.96×10=69.60。解：（1）μ=1000，σ=20，980=μ-σ，1020=μ+σ，概率≈0.6827；（2）樣本均值服從N(1000,400/25)=N(1000,16