2025年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)“數(shù)學(xué)農(nóng)藥”中的數(shù)學(xué)知識(shí)試題（二）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）農(nóng)藥濃度配比問題某農(nóng)藥廠生產(chǎn)的某種殺蟲劑原藥濃度為75%，現(xiàn)需將其稀釋為濃度25%的藥液。若在稀釋過程中，原藥與水的混合體積視為原藥體積與水體積之和，且不考慮溶質(zhì)揮發(fā)，則1000mL原藥需加入水的體積為（）A.1500mLB.2000mLC.2500mLD.3000mL農(nóng)藥噴灑覆蓋面積計(jì)算一臺(tái)自動(dòng)噴霧器的噴幅寬度為2米，工作時(shí)前進(jìn)速度為1.5米/秒。若忽略噴頭重疊區(qū)域，該噴霧器1小時(shí)可噴灑的面積為（）A.10800平方米B.12600平方米C.14400平方米D.16200平方米農(nóng)藥殘留降解模型某有機(jī)磷農(nóng)藥在土壤中的殘留量y（單位：mg/kg）隨時(shí)間t（單位：天）的變化符合函數(shù)模型(y=y_0e^{-kt})，其中(y_0)為初始?xì)埩袅?，k為降解速率常數(shù)。若該農(nóng)藥在20天后殘留量降為初始量的1/4，則k的值為（）A.(\frac{\ln2}{10})B.(\frac{\ln2}{20})C.(\frac{\ln4}{20})D.(\frac{\ln4}{10})農(nóng)藥生產(chǎn)線性規(guī)劃問題某工廠生產(chǎn)A、B兩種農(nóng)藥，生產(chǎn)1噸A需甲原料3噸、乙原料2噸，獲利5萬元；生產(chǎn)1噸B需甲原料1噸、乙原料4噸，獲利3萬元。若工廠每月甲原料最多可用120噸，乙原料最多可用160噸，則每月最大利潤為（）A.180萬元B.200萬元C.220萬元D.240萬元農(nóng)藥毒性概率分布某種農(nóng)藥的急性毒性LD50（半數(shù)致死量）服從正態(tài)分布(N(20,4^2))（單位：mg/kg）。若隨機(jī)抽取一份樣本，其LD50值落在(16,28)區(qū)間內(nèi)的概率為（）（參考數(shù)據(jù)：若(X\simN(\mu,\sigma^2))，則(P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)=0.6827)，(P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)=0.9545)）A.0.8186B.0.8413C.0.9545D.0.9772農(nóng)藥噴霧器流量計(jì)算某手動(dòng)噴霧器的活塞直徑為5cm，行程為10cm，每次壓動(dòng)活塞可將藥液以0.8的效率壓出。若每分鐘壓動(dòng)30次，則噴霧器的流量（單位：L/min）為（）（(\pi\approx3.14)）A.3.768B.4.710C.5.652D.6.280農(nóng)藥配方組合問題某生物農(nóng)藥需由A、B、C三種成分按比例混合，其中A成分不少于40%，B成分不超過30%，且A、B成分比例滿足(A:B=2:1)。若混合后總質(zhì)量為100kg，則C成分的質(zhì)量范圍是（）A.[20kg,30kg]B.[25kg,35kg]C.[30kg,40kg]D.[35kg,45kg]農(nóng)藥生產(chǎn)函數(shù)模型某農(nóng)藥廠的日產(chǎn)量Q（單位：噸）與投入的勞動(dòng)力x（單位：人）和資本y（單位：萬元）的關(guān)系滿足柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)(Q=10x^{0.6}y^{0.4})。若勞動(dòng)力投入增加1%，資本投入增加2%，則日產(chǎn)量約增加（）A.1.2%B.1.4%C.1.6%D.1.8%農(nóng)藥擴(kuò)散微分方程在無風(fēng)環(huán)境下，農(nóng)藥霧滴在空氣中的擴(kuò)散濃度(C(x,t))滿足一維擴(kuò)散方程(\frac{\partialC}{\partialt}=D\frac{\partial^2C}{\partialx^2})，其中D為擴(kuò)散系數(shù)。若初始時(shí)刻(t=0)時(shí)霧滴集中在原點(diǎn)(x=0)處，則該方程的通解形式為（）A.(C(x,t)=\frac{M}{\sqrt{4\piDt}}e^{-\frac{x^2}{4Dt}})B.(C(x,t)=\frac{M}{\sqrt{2\piDt}}e^{-\frac{x^2}{2Dt}})C.(C(x,t)=Me^{-Dt}\cos(x))D.(C(x,t)=Me^{-Dx}\sin(t))農(nóng)藥殘留檢測誤差分析用氣相色譜法檢測農(nóng)藥殘留量，測量值X服從正態(tài)分布(N(\mu,\sigma^2))。若重復(fù)測量3次，記3次測量值的平均值為(\bar{X})，則(\bar{X})的方差為（）A.(\sigma^2)B.(\frac{\sigma^2}{3})C.(\frac{\sigma^2}{\sqrt{3}})D.(3\sigma^2)農(nóng)藥包裝成本優(yōu)化某圓柱形農(nóng)藥瓶的容積為500mL，若不計(jì)瓶底和瓶蓋的厚度，僅考慮瓶身側(cè)面材料成本，則當(dāng)?shù)酌姘霃絩與高h(yuǎn)的比值為（）時(shí)，側(cè)面面積最小。A.1:1B.1:2C.2:1D.1:4農(nóng)藥藥效回歸分析某種除草劑的施用量x（單位：g/畝）與雜草死亡率y（單位：%）的關(guān)系經(jīng)回歸分析得經(jīng)驗(yàn)公式(y=\frac{100}{1+e^{-0.02x+0.5}})。當(dāng)施用量為100g/畝時(shí)，雜草死亡率的預(yù)測值為（）A.62.2%B.73.1%C.88.1%D.95.3%二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）農(nóng)藥噴霧均勻度計(jì)算某地塊按5m×5m劃分網(wǎng)格，測得16個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)的農(nóng)藥沉積量（單位：μg/cm2）如下：25,28,30,26,29,32,27,24,23,31,28,29,30,25,26,28則該組數(shù)據(jù)的方差為________（精確到小數(shù)點(diǎn)后一位）。農(nóng)藥降解半衰期計(jì)算某擬除蟲菊酯類農(nóng)藥的降解模型為(y=y_0\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}})，其中T為半衰期。若該農(nóng)藥在土壤中經(jīng)過60天后殘留量為初始量的1/8，則半衰期T為________天。農(nóng)藥生產(chǎn)排列組合問題某農(nóng)藥生產(chǎn)線有3道工序，每道工序可由A、B、C三臺(tái)設(shè)備中的任意一臺(tái)完成，且每臺(tái)設(shè)備至多承擔(dān)一道工序，則不同的工序分配方案共有________種。農(nóng)藥霧滴運(yùn)動(dòng)軌跡忽略空氣阻力時(shí)，農(nóng)藥霧滴的平拋運(yùn)動(dòng)軌跡滿足(y=-\frac{g}{2v_0^2}x^2)，其中(v_0)為水平初速度，g=10m/s2。若霧滴從離地面2m高處以5m/s的速度水平噴出，則霧滴落地時(shí)的水平位移為________米。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（10分）農(nóng)藥濃度稀釋問題某果園需配制濃度為0.3%的波爾多液（硫酸銅溶液），現(xiàn)有以下兩種方案：方案一：直接用硫酸銅晶體（CuSO?·5H?O，純度98%）溶于水配制；方案二：先用98%的濃硫酸（密度1.84g/cm3）與銅反應(yīng)制備硫酸銅溶液（反應(yīng)方程式：(Cu+2H_2SO_4(\text{濃})\xlongequal{\Delta}CuSO_4+SO_2\uparrow+2H_2O)），再稀釋至目標(biāo)濃度。（1）若配制100L波爾多液，方案一需稱取硫酸銅晶體的質(zhì)量為多少克？（結(jié)果保留整數(shù)）（2）若方案二中，濃硫酸的利用率為80%，制備上述所需硫酸銅需消耗濃硫酸的體積為多少毫升？（結(jié)果保留一位小數(shù)）（12分）農(nóng)藥噴灑路徑規(guī)劃某農(nóng)田為矩形區(qū)域，長200m，寬100m，如圖所示。一臺(tái)無人噴霧機(jī)從A點(diǎn)出發(fā)，需沿平行于寬的方向噴灑，噴幅寬度為5m，且每次轉(zhuǎn)向需沿垂直方向移動(dòng)5m（轉(zhuǎn)向路徑不噴灑）。（1）求噴霧機(jī)完成整個(gè)農(nóng)田噴灑所需的總路徑長度；（2）若噴霧機(jī)噴灑速度為1m/s，轉(zhuǎn)向時(shí)間忽略不計(jì)，求完成噴灑所需的總時(shí)間。（注：農(nóng)田邊緣需完整覆蓋，不考慮重疊區(qū)域）（12分）農(nóng)藥殘留統(tǒng)計(jì)分析為評估某蔬菜中農(nóng)藥殘留情況，隨機(jī)抽取10份樣品，檢測結(jié)果（單位：mg/kg）如下：0.02,0.05,0.03,0.01,0.04,0.06,0.03,0.02,0.05,0.04（1）計(jì)算該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差；（結(jié)果保留兩位小數(shù)）（2）若該農(nóng)藥的安全限值為0.05mg/kg，以樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體，求隨機(jī)抽取一份樣品殘留量超標(biāo)的概率；（3）若殘留量服從正態(tài)分布(N(\mu,\sigma^2))，其中(\mu)為樣本平均數(shù)，(\sigma^2)為樣本方差，求殘留量落在(0.02,0.05)區(qū)間內(nèi)的概率。（12分）農(nóng)藥生產(chǎn)最優(yōu)化問題某農(nóng)藥廠生產(chǎn)一種新型殺菌劑，其生產(chǎn)成本C（單位：萬元）與產(chǎn)量x（單位：噸）的關(guān)系為(C(x)=2x^2-12x+50)，銷售價(jià)格p（單位：萬元/噸）與產(chǎn)量x的關(guān)系為(p(x)=20-x)（x≤15）。（1）求利潤函數(shù)L(x)的表達(dá)式；（2）求產(chǎn)量x為何值時(shí)，利潤最大？最大利潤是多少？（3）若每噸產(chǎn)品需繳納環(huán)保稅t萬元，為確保利潤不低于40萬元，求t的最大值。（12分）農(nóng)藥擴(kuò)散偏微分方程在一維無限長空間中，初始時(shí)刻(t=0)時(shí)，農(nóng)藥在(x=0)處的濃度為(C_0)，其他位置濃度為0。擴(kuò)散過程滿足方程(\frac{\partialC}{\partialt}=D\frac{\partial^2C}{\partialx^2})，其中D=1m2/s。（1）寫出該方程的定解條件；（2）利用傅里葉變換求解濃度分布函數(shù)(C(x,t))；（3）計(jì)算t=1s時(shí)，x=1m處的濃度值（結(jié)果用含π的式子表示）。（12分）農(nóng)藥藥效數(shù)學(xué)模型某種殺蟲劑的藥效y（單位：%）與濃度c（單位：mg/L）和作用時(shí)間t（單位：h）的關(guān)系滿足模型(y=100\left(1-e^{-ktc}\right))，其中k為常數(shù)。（1）若當(dāng)c=10mg/L，t=2h時(shí)，y=50%，求k的值；（2）當(dāng)濃度c=20mg/L時(shí)，求藥效達(dá)到90%所需的時(shí)間；（3）若作用時(shí)間固定為t=4h，為使藥效達(dá)到80%，求最低濃度c的值（精確到0.1mg/L）。四、附加